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1、1.（辽宁）（本小题满分 12 分）圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面: x2y2积最小时，切点为 P（如图），双曲线 C122 1过点 P 且离心率为 3 .ab（ 1）求 C1 的方程；（ 2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P，求 l 的方程 .2.（福建）（本小题满分 13 分）已知双曲线 E : x2y21(a 0,b 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y 2x, l2 : y2x .a2b2（ 1）求双曲线 E 的离心率；（ 2
2、）如图， O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1 ,l 2 于 A, B 两点（ A, B 分别在第一， 四象限），且只有一个公共点的双曲线由。OAB 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且 E ？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在， 说明理1 / 143.（天津）（本小题满分 13 分）设椭圆 x2y21（ a b0 ）的左、右焦点为 F1, F2 ，右顶点为 A ，上顶点为 B .a2b23已知 AB =F1F2 .（ ）求椭圆的离心率；（ ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1 ，经过原点的直线 l 与该圆相切 .求直线的斜率 .4.
3、（江苏） (本小题满分 14 分 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 , F1, F 2 分别是椭圆 x2y31(a b 0) 的左、右a 2b 2焦点，顶点 B 的坐标为 (0, b) ，连结 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1 C .y(1)若点 C 的坐标为 (4,1) ,且 BF22,求椭圆的方程；B33(2)若 F1C AB, 求椭圆离心率 e 的值 .C5（陕西）（本小题满分13 分）F1 OF2x如图，曲线 C 由上半椭圆y2x21(a b 0, y0)AC1 :22ab(第 17 题)和部分抛物线 C2 : yx21(y0
4、)连接而成， C1,C2 的公共点为 A, B ，其中 C1 的离心率为3 .2（ 1）求 a,b 的值；（ 2）过点 B 的直线 l 与 C1, C2 分别交于 P,Q （均异于点 A, B ），若 APAQ ，求直线 l 的方程 .2 / 146.（新课标二 20.）（本小题满分 12 分）,x2y2与 x设 F1F2分别是椭圆 a2b2 1 a b 0 的左右焦点， M 是 C 上一点且 MF2轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率；4（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN5 F1 N ，求 a,b.7.（北京
5、19）（本小题 14 分）已知椭圆 C : x22y24 ，（ 1）求椭圆 C 的离心率 .（ 2）设 O 为原点，若点 A在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB ，求直线 AB 与圆 x2y22的位置关系，并证明你的结论 .x2y21(ab 0)F1, F2 ，8（.重庆 21）如题（21）图，设椭圆 a2b2的左右焦点分别为| F1F2|22DF1F1F22DF1F2点 D 在椭圆上，| DF |，的面积为2 .1（ 1）求该椭圆的标准方程；（ 2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆
6、的半径.3 / 14x2y21(a b 0) 的一个焦点为 (5,0) ，离9.（广东 20）（ 14 分）已知椭圆 C :2b2a心率为5 ，3（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 .10.（湖北）（满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F 1,0 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹为 C 的方程(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p 2,1 ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 k 的相应取
7、值范围。4 / 14参考答案1.解：（）设切点坐标为 ( x0 , y0 )(x00, y00) ，则切线斜率为x0 ，切线方程y0为 yy0x0(xx0 ) ，即 x0 xy0 y4 ，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成y0的三角形面积为 S1448.由 x02y0242x0 y0 知当且仅当2x0y0x0 y0x0y02 时 x0 y0 有最大值，即 S有最小值，因此点 P 得坐标为 ( 2,2)，由题意知221解得 a21,b22 ，故 C1 方程为 x2y2a2b21 .a2b23a22（ ） 由 （ ） 知 C2的 焦 点 坐 标 为 (3,0),(3,0)， 由 此 C 2 的 方
8、 程 为x2y 21，其中 b10 .3 b12b12由 P(2,2)在 C2 上，得221，3b12b12解得 b2，因此C2方程为 x2y211 =363显然， l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+3 ，点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )xmy3得 ( m22) y2由x2y2123my30 ， 又 y1, y2是 方程 的 根， 因此63y1y223mm22，由x1my13, x2my23得3y1 y2m225 / 14x1 x2m( y143y2 ) 2 32m2x1x2m2 y1 y23m( y1 y2 ) 366m2m22uuuruuuruuur
9、uuur因 AP ( 2 x1, 2 y1 ), BP ( 2 x2 , 2y2 ) 由 题 意 知 AP BP0 ， 所 以x1x22( x1x2 )y1 y22( y1y2 )40，将，代入式整理得 2m226m46 110 ，解得 m361或 m361，因此直线22l 的方程为 x( 361) y30，或 x( 361) y30 .222. 解法一： (1) 因为双曲线 E 的渐近线分别为和 y2x, y2x .所以 b2,c2a22,c5a ,aa从而双曲线 E 的离心率 e5 .(2) 由 (1) 知, 双曲线 E 的方程为 x2y21 .a24a2设直线 l 与 x 轴相交于点 C
10、.当 lx 轴时 , 若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点 ,则 OC a, AB 4a ,又因为 OAB 的面积为 8,所以 1 OC AB8, 1 a 4a 8,a 2 .22此时双曲线 E 的方程为 x2y21 .416若存在满足条件的双曲线E, 则 E 的方程只能为 x2y21 .416以下证明 : 当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E： x2y21 也满足条件 .4166 / 14设直线 l 的方程为 ykxm , 依题意 , 得 k2 或 k-2.则 C ( m ,0) ，记 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) .k由 y2x, 得 y12m , 同理得
11、y22m. 由 S OAB1 OCy1y2 得,ykxm2k2k21m2m2m8即 m24 4k 24(k 24) .2k2k2kykxmk2 )x2m2k 2由 x2y2得 ,(42kmx160 . 因为 40 ,4161所以4k 2m24(4k2 )(m216)16(4 k2m216) ,又因为 m24(k 24) . 所以0, 即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点 .因此 , 存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线E, 且 E 的方程为 x2y21.4163.解：（ ）解：设 椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c,0). 由 AB =32F1 F2 ，可得22= 3c2222，则c2
12、1. 所以，椭圆的离心率2a+ b，又 b= a- ca2 =2e =.2a2 + b2 =3c ，所以 2a2 -c2 = 3c2，解得 a =2c ， e =2 .222（ ）解： 由（ ）知 a2 =2c2 ， b2 =c2 . 故椭圆方程为 x 2+y2 = 1.2cc7 / 14uuuruuur设 P(x0 , y0 ) . 由 F1 (- c,0) ， B(0,c)，有 F1P = (x0 + c, y0 ) ， F1 B = (c, c).uuuruuur0 ，即 (x0 + c)c + y0c = 0 . 又 c 1由已知，有 FP1?FB10 ，故有x0 + y0 + c =
13、 0 .又因为点 P 在椭圆上，故x0 2+ y02= 1.2c2c2由和可得 3x02 + 4cx0 = 0 . 而点 P 不是椭圆的顶点，故 x0= -4c ，代入得3c骣 4cc，即点?y0 =,.P 的坐标为 -?3?3桫 3-4 c + 02c + c2设圆的圆心为 T (x1 , y1 ) ，则 x1 =3= -c ， y1 =3=c ，进而圆的半2323径 r = (x1 - 0)225+ (y1 - c) =c .3设直线 l 的斜率为 k ，依题意，直线 l 的方程为 y = kx .骣 2c2c?-k ?-kx1 - y1?35由 l 与圆相切，可得=r ，即桫 3k 2
14、+ 1k 2 + 1=c ，3整理得 k 2 - 8k + 1=0 ，解得 k = 4 ?15.所以，直线 l 的斜率为 4 + 15 或 4 -15.48 / 145.【解析】（1）抛物线2交于点，又c3 22+ c2y = - x+ 1(-1,0), (1,0) b = 1.=, a= ba22 联立解得 a = 2,b = 1, c2 = 3, 椭圆方程为 y + x2 = 1 49 / 14设过 B(1,0)的直线方程为 y = k (x - 1), P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ), 与 y2+ x2 = 1联立得4k 2 ( x2 - 2x + 1)+ 4x2 =
15、 4,即 (k 2 + 4) x2 - 2k 2 x+ k 2 - 4 = 0，k 2 - 4- 8kk 2 - 4 - 8k由韦达定理得 x1= 2+ 4,y1= k( x1 -1) = 2+ 4,即 P(2,2)kkk+ 4 k+ 4与 y = -x2 + 1联立得 : x2 + kx - k - 1= 0,（ 2）由韦达定理得 x2= -k - 1,y 2 = k( x2 -1) = -k2- 2k ,即 Q (-k - 1,-k2- 2k )k 2 - 4- 8k2- 2k ) = 0,A(-1,0), AP AQ AP ?AQ = 0,即 (2+ 4+ 1, 2) ?( -k, -
16、kkk+ 4即 (k,-4)(1, k + 2) = k - 4(k + 2) = 0,解得 k = - 8. 38所以，所求直线方程为y = -( x -1)36.解：（ 1）b2MF131 3且222联立整理得：2，由题知，=? = ,F1F24aa = b + c .2e + 3e- 2 = 02c 4解得 e= 1 . C的离心率为 1 .22（ 2）由三角形中位线知识可知， MF 2= 2?2，即 b2= 4.a设 F1 N = m,由题可知 MF1= 4m.由两直角三角形相似，可得M , N两点横坐标分别为c,- 3 c.由焦半径公式可得 :2MF1 = a + ec, NF1 =
17、 a + e(-3cc)，且 MF1 : NF1 = 4 :1,e =,2aa 2 = b2 + c2 .联立解得 a = 7,b = 27.所以， a = 7,b = 2 710 / 1411 / 148.解：（）设 F1 c,0, F2 c,0，其中 c2a 2b2 ，由F1F222 得 DF1F1F22cDF1222从而 S DF1F21 DF1 F1F22 c22 , 故 c 1 .222从而 DF12 ，由 DF1F1F22229 ，因此 DF23 2 .得 DF 2DF1F1F2222所以 2aDF1 DF222 ，故 a2, b2a2c212x因此，所求椭圆的标准方程为：y212
18、x2（）如答（ 21）图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆y1相交，P1x1, y1 , P2 x2 , y2是两个交点， y10, y20 ， F1P1 , F2 P2 是圆 C 的切线，且11F2P2 由圆和椭圆的对称性，易知x2x1 , y1y2F PPP122 | x1 |. ，uuuuruuuur由（）知 F11,0, F21,0，所以 F1 P1x1 1, y1, F2 P2x11, y1 ，再由222F P2x13x24x0F2P2 得x110 ，由椭圆方程得 1x11，11y12，即 1112 / 14解得 x14 或 x10 .3当 x10 时， P1 , P2 重合，此时
19、题设要求的圆不存在 .当 x4 时，过 P1, P2 分别与 F1P1 , F2 P2 垂直的直线的交点即为圆心 C .13由 F1 P1, F P 是圆 C 的切线，且F1P1F P ，知 CPCP ，又 |CP1 | | CP2 |故圆 C 的2 22 221半径 CP12 PP122 x14 223解 : (1)c5, ec55,a 3, b2a2c29 5 4,aa3椭圆 C的标准方程为 : x2y21.9 4(2) 若一切线垂直 x轴,则另一切线垂直于 y轴,则这样的点 P共 4个 ,它们的坐标分别为 ( 3, 2),(3, 2).若两切线不垂直于坐标轴 , 设切线方程为 yy0k(
20、 x x0 ),即yk (xx0 ) y0 , 将之代入椭圆方程x2y21中并整理得 :94(9k 24) x218k ( y0kx0 ) x9 ( y0kx0 )240,依题意 ,0,即 : (18k )2 ( y0kx0 ) 236 ( y0kx0 ) 24 (9k 24)0,即4( y0kx0 ) 24(9k 24) 0,2(x029)k 2 2x0 y0k y02 4 0,Q 两切线相互垂直 , k1k2 1,即 : y0 2 4 1, x0 9x0 2y0 213,显然 ( 3, 2),(3,2)这四点也满足以上方程,点 P的轨迹方程为 x2 y2 13.10. 解：（ I ）设点M
21、 (x, y) ，依题意， | MF | x |1，即 ( x1)2y 2 | x | 1，整理的 y22(| x |x) ，所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y24x( x0).o, ( x0)（ II ）在点 M 的轨迹 C 中，记 C1 : y24x(x0) ， C2 : y0( x0) ，依题意，设直线 l 的方程为 y1k (x2) ，由方程组y 1k (x 2)24 y4(2k 1)0y2得 ky4x13 / 14当 k 0时，此时 y1，把 y 1代入轨迹 C 的方程得 x1，1 ,1) .4所以此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 (4当k 0时，方程 的判别式为16(22
22、1)kk设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ,0)，则由 y 1k( x2) ，令 y0 ，得 x02k 1 k（ i）若01 或 k1 .x0，由 解得 k02即当 k(,1)(1 ,) 时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点，2故此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 .（ ii）若00 1, 1 或1k 0 ，x0或x0，由 解得 k0022即当 k1, 1 时，直线 l 与 C1 有一个共点，与 C2 有一个公共点 .2当 k 1 ,0) 时 ，直线 l 与 C1 有两个共点，与 C2 没有公共点 .21, 11 ,0) 时，故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点 .故当 k