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1、精品文档保三角形问题第一题1第二题3第三题4第一题13、 ( 北京市海淀区2008 年高三统一练习一) 一个函数fx ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a, b, c 都在 fx 的定义域内，就有fa , fb , fc 也是某个三角形的三边长，则称fx 为 “保三角形函数 ”（ I ）判断 f1xx ， f2 xx ， f 3xx2 中，哪些是 “保三角形函数 ”，哪些不是，并说明理由；（ II ）如果 g x是定义在 R 上的周期函数，且值域为0,，证明 gx不是 “保三角形函数 ”；（ III ）若函数 Fxsin x ， x0, A是 “保三角形函数 ”，求 A 的最大值（可以利用
2、公式 sin xsin y2sinxy cos xy ）22解：（ I ） f1x , f2 x是“保三角形函数” ， f 3x 不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为a, b,c ，则 a bc ，不妨假设 a 剟c,bc ，由于 ababc0 ，所以 f1x , f2x是“保三角形函数” .3 分对于 f 3x ， 3， 3， 5 可作为一个三角形的三边长，但323252 ，所以不存在三角形以 32 ,3 2 ,5 2 为三边长，故 f3x 不是“保三角形函数” 4分（ II ）设 T0 为 gx 的一个周期，由于其值域为0,，所以，存在nm0 ，使得 g m1, gn2
3、，取正整数nm，可知Tm,Tm, n 这三个数可作为一个三角形的三边长，T但 g T m1， gT m1, gn2不能作为任何一个三角形的三边长故gx。1 欢迎下载精品文档不是 “保三角形函数 ”8分（ III ） A 的最大值为 5 9分56一方面，若 A，下证 Fx 不是 “保三角形函数 ”.65 5取 , ,0, A ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但266sin5151Fx 不是1,sin6,sin6不能作为任何一个三角形的三边长，故222“保三角形函数 ”.另一方面，以下证明5是 “保三角形函数 ”A时， F x65对任意三角形的三边a,b, c ，若 a, b, c(0,
4、) ，则分类讨论如下：（1） a bc 2，6此时 a 2b c255，同理， b,c，6633a, b, c ( ,5，故sa i b n c1s ， in,),11362sin a sin b21sin c 2同理可证其余两式. sin a,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长（2） a bc2此时， abc，可得如下两种情况：22ab 时，由于 ab c ，所以， 0c a2b .2222由 sin x 在 (0, 上的单调性可得0sin csin a2b 1；ab2cab2时，220222同样，由 sinx 在 0,上的单调性可得0sin csin ab 1 ；222总之，
5、0sin csin ab 1.252又由 abc0,上单调递减，得及余弦函数在6cos abcosa bcos ccos 50 ，22212。2 欢迎下载精品文档 sin a sinb 2sin a b cosab2sin c cos csin c 22225同理可证其余两式，所以sin a,sin b,sin c 也是某个三角形的三边长故 A时，6F x 是 “保三角形函数 ”综上， A的最大值为 56第二题。3 欢迎下载精品文档第三题一道调研试题的解法及思考江苏泰兴市第二高级中学（225400）叶玉明题目：（江苏南通2009 年高三第一次调研测试）如果对任意一个三角形，只要它的三边长 a，
6、 b， c 都在函数 f ( x) 的定义域内，就有 f ( a) ， f ( b) ，f ( c) 也是某个三角形的三边长，则称 f ( x) 为 “保三角形函数 ”.（ 1）判断下列函数是不是 “保三角形函数 ”，并证明你的结论： f ( x) x； g( x) sinx ( x (0 ， ).（ 2）若函数() lnx(x ， ) 是保三角形函数，求的最小值 .h xMM（ 1）【答】f(x) x是保三角形函数， () sinx(x (0 ， ) 不是保三角形函数 .g x【证明】 f ( x) x是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a， b， c，则 a b c， bc a， c
7、a b，f ( a) a， f ( b) b， f ( c) c.因为 ( a b) 2 a 2ab b c 2ab (c) 2，所以ab c.同理可以证明：bca， ca b.所以 f ( a) 、 f ( b) 、 f ( c) 也是某个三角形的三边长，故f ( x) x是保三角形函数 . g( x) sin x ( x (0 ， )不是保三角形函数 .取 5 50， ，显然这三个数2，66能作为一个三角形的三条边的长. 而 sin 1，sin15 ，不能作为一个三角形的三边长 .262所以 () sinx(x (0 ，) 不是保三角形函数 .g x(2) 【解】 M的最小值为 2.(i)
8、 首先证明当 M 2 时，函数 h( x) ln x ( x M， ) 是保三角形函数 .对任意一个三角形三边长a， b， c M， ) ，且 a bc， b c a， ca b，则 h( a) ln a，h( b) ln b， h( c) ln c.因为 a 2， b 2，a b c，所以 ( a 1)( b 1) 1，所以 ab a b c，所以 ln abln c，即 ln a ln b ln c.同理可证明ln b ln c ln a， ln cln a ln b.所以 ln a， ln b，ln c 是一个三角形的三边长.故函数 h( x) ln x ( x M， ) ， M2) ，
9、是保三角形函数.(ii)其次证明当0M 2 时， h( x) ln x ( x M， ) 不是保三角形函数.。4 欢迎下载精品文档当 0M 2 时，取三个数2M， M， M M， ) ，22因为 0 M 2，所以 M M 2M M，所以M， M，M 是某个三角形的三条边长，22而 ln M ln M 2ln M ln M，所以 ln M，lnM， ln M 不能为某个三角形的三边长，所以 h( x) lnx 不是保三角形函数 .所以，当 2 时，(x) lnx(x ， ) 不是保三角形函数 .MhM综上所述：的最小值为 2.M思考 1、如果 gx是定义在 R 上的周期函数，且值域为0,，则 g
10、x是不是 “保三角形函数 ”？设 T0为 gx 的一个周期，由于其值域为0,，所以，存在 nm0 ，使得g m1, g n2，取正整数nm，可知Tm,Tm, n 这三个数可作为一个三角形的三边长，T但 gTm1 ， gTm1, g n2不能作为任何一个三角形的三边长故g x不是 “保三角形函数 ”思考 2、由解法可知g xsin x 不是保三角形函数，但是在定义域的某个区间上能不能成为保三角形函数？比如 g xsin x x0, A是保三角形函数，求A 的最大值。（可以利用公式sin xsin y2sin xy cos x y ）22分析： A 的最大值为 565一方面，若A，下证 gx 不是
11、 “保三角形函数 ”.6取, 5, 50, A，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但266sin1,sin 51 ,sin 51不能作为任何一个三角形的三边长，故 gx 不是 “保26262三角形函数 ”.另一方面，以下证明A5时， g x 是 “保三角形函数 ”6(0, 5 ) ，则分类讨论如下：对任意三角形的三边a,b, c ，若 a, b, c（1） abc 26，此时 a 2 bc55，同理， b,c，26633。5 欢迎下载精品文档a, b, c ( ,5，故1s ， in,)s a i b n c,11362sin c sin a sin b122同理可证其余两式. sin a
12、,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长（2） a bc2此时， abc，可得如下两种情况：22ab 时，由于 ab c ，所以，0c a2b .2222由 sin x 在 (0, 上的单调性可得 0sin csin a2b 1；ab2cab2时，220222同样，由 sinx 在 0,上的单调性可得0sin csin a b 1 ；222总之，0sin csin ab 1.252又由 abc0,上单调递减，得及余弦函数在6cos abcosa bcos ccos 50，22212 sin asinb2sin ab cosab2sin c cos csin c 22225同理可证其余
13、两式，所以 sin a,sin b,sin c也是某个三角形的三边长故 A时，6g x 是 “保三角形函数 ”综上， A的最大值为 56第四题例 2设 kR ， f ( x)x4kx21，若对任意实数 a,b, c ，都存在以 f (a), f (b), f (c) 为边的x4x21三角形，则实数k 的取值范围是（）A.1,1B .1,4)1D . 以上都不对(C . ( ,4)22。6 欢迎下载精品文档解：第一次分离常数将函数f ( x) 变形为 f ( x)1(k1)x2x2，再次x4x2，令 g ( x)x21x41分离常数得 g( x)1，易知 g( x)(0, 1 ，下面分类讨论：x
14、2113x2（1）当 k 1时， f ( x) maxk2 ， f ( x) min1 ，若 f ( a), f ( b), f ( c) 构成三角形的三边，3则有 2 f ( x) min1 f ( x)max ，即 2k2 ，得 1k4 .3（2）当 k 1时， f ( x) max1 ， f ( x)mink2，则由 2 f ( x)min 1f ( x) max 得13k 12综上可知实数 k 的取值范围是(1,4) ，选 C2江苏苏锡常镇四市2013 界高三教学情况调研（一）14 设 函 数f ( x)ln x的 定 义 域 为M ,， 且 M0 ， 对 于 任 意 a ， b ，c(M ,) ，若 a ， b ， c 是直角三角形的三条边长，且f ( a) ， f (b) ， f (c) 也能成为三角形的三条边长，那么M 的最小值为。7 欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习资料等等打造全网一站式需求。8 欢迎下载