初中数学数与式总复习.docx

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1、初中数学数与式总复习实数的有关概念(1)实数的组成正整数整数零有理数负整数有尽小数或无尽循环小数实数正分数分数负分数正无理数无尽不循环小数无理数负无理数注意： 1.最简分数是有理数。 2. 、最简根式、 e 等是无理数。(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 (画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一个不可 )，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，(3)相反数实数的相反数是一对数 (只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零 )从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称(4)绝对值a ( a0 )| a |0 ( a0

2、 )a ( a0 )从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(5)倒数1实数 a(a 的0)倒数是(乘积为 1 的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数【例题经典】理解实数的有关概念例 1 a 的相反数是 - 1则a的倒数是,_5实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示 :b0a则化简 b-a+ (ab)2 =_去年泉州市林业用地面积约为10200000 亩 ,用科学记数法表示为约_【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解1例 2.(-2)3 与-23()(A)相等(B)互为相反数(C)互为倒数(D)它们的和为 16分析：考查相反数的概念，明确相反数的

3、意义。例 3.-3 的绝对值是；-3 1 的倒数是；4 的平方根是29分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。答案： 3， -2/7，2/3例 4.下列各组数中，互为相反数的是()A-3 与 3B -3与一 1C -3与 1D -3 与 (-3) 233分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念掌握实数的分类22 、例1下列实数sin60、（2 ） 0、-9、（-7 ）-2、8 中无733.14159理数有（）个A 1B 2C 3D4【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断实数的运算(1)加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相

4、加。 取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。(2)减法a-b=a+(-b)(3)乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 零乘以任何数都得零 即| a | | b | (a,b同号 )ab| a | | b | (a,b异号 )0( a或 b为零 )(4)除法aa1 (b0)ba nb(5)乘方aaan个开方如果2 x； 如果 x3，那么3 a 且 x0，那么a(6)x=aa x在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面3实数的运算律(1)加法交换律a+b b+a(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c

5、)2(3)乘法交换律abba(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)(5)分配律a(b+c)=ab+ac其中 a、b、c 表示任意实数运用运算律有时可使运算简便【例题经典】例 1、若家用电冰箱冷藏室的温度是 4，冷冻室的温度比冷藏室的温度低 22，则冷冻室的温度（）可列式计算为A 4 22 18 22 4 18 22（4） 26 4 22 26点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调 “列式 ”，即过程。例 2我国宇航员杨利伟乘 “神州五号 ”绕地球飞行了14 周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为 671103 千米，总航程约为 ( 取 314，保留 3 个

6、有效数字 )()A5 90105 千米B 5 90106 千米C5 89105 千米D 5 89106 千米分析：本题考查科学记数法例 3.化简3的结果是 ()72(A) 7 -2(B) 7 +2 (C)3(7 -2)(D)3( 7 +2)分析：考查实数的运算。例 4.实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示， 下列式子中正确的有 ( ) b+c0a+ba+cbcacabac(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。例 5 计算： - 11+（-2）2（ -1）0- 12 3【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。例 5.校学生会生活

7、委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重， 于是决定写一张标语贴在食堂门口， 告诫大家不要浪费粮食 请你帮他把标语中的有关数据填上 (已知 1 克大米约 52 粒)如果每人每天浪费1 粒大米，全国13 亿人口，每天就要大约浪费吨大米分析：本题考查实数的运算。例 7.阳阳和明明玩上楼梯游戏， 规定一步只能上一级或二级台阶， 玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级 逐步增加时，楼梯的上法数依次为： 1，2， 3， 5， 8， 13，21，(这就是著名的斐波那契数列)请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10 级台阶共有种上法分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和例 8.观察下列

8、等式 (式子中的 “!是”一种数学运算符号 )31!=1，2!=2 1， 3!=3 21，4!=4 321，计算： 100! =98!分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98 ！整 式【回顾与思考】知识点代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、 零指数幂、负整数指数幂。大纲要求考查重点1代数式的有关概念(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子单独的一个数或者一个字母也是代数式(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的

9、结果p 叫做代数式的值求代数式的值可以直接代入、计算如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值(3)代数式的分类2整式的有关概念1、单项式的有关概念（ 1）单项式： 由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。单独的一个数或字母 也叫做单项式。例如： 3a, m2 n, abx,4x3 ,9, a注意：单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算（ 2）单项式的系数： 单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。例如：单项式1 x2 y, 7 xy 2 的系数分别是 1 , 7 ，当单项式系数是 1 或 1 时，“ 1通”常省略不写，22如 ab 就是 1 ab ，系数是 1；n 就是1

10、 n ，系数是 1.4（ 3）单项式的次数（指数）：一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 4x 的次数是 1，3x2 y 3z 的次数是 2+3+16；数学的次数是 0，如 3， 9 等可以当作 0 次单项式。一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如1 a 2b2 中， a 与 b 的指数和为4，3122则a b 是四次单项式。例 1：指出下列各单项式的系数和次数a223x 2 y 3,5ab, a bc,37提示：圆周率 是常数，当单项式中含有 时， 是单项式的系数，且在计算单项式的次数时应注意不要加上 的指数。2、多项式的有关概念（ 1）多项式：几个单项式的和叫做多项

11、式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。如3x22x5 是多项式，它的项分别是3x2 ，2x 和5，其中 5 是常数项。（ 2）多项式的次数： 多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。如2 y 43x22 的次为是 3，即“2x3 ”的次数。一个多项式中含有几项，最高次数是几次就叫几次几项式。如 2 y46 y36 叫做四次三项式。在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。如3a2b 2ab b 5中，a2 b就是它的三次项，二次项是2ab ，一次项是 b，常数项是 5.33、整式的概念单项式与多项式统称为整式。判断一个式子是不是整式应注意几点（1）分母不含字

12、母；（2）根号里面不含字母单项式整式多项式代数分式式根式5(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式对于给出的单项式， 要注意分析它的系数是什么， 含有哪些字母， 各个字母的指数分别是什么。(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来， 叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把 个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来， 叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列(4)同

13、类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷要 会 判 断 给 出 的 项 是 否 同 类 项 ， 知 道 同 类 项 可 以 合 并 即axbx(ab) x其中的 X 可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。3整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接整式加减的一般步骤是：(i) 如果遇到括号按去括号法则先去括号：括号前是 “十”号，把括号和它前面的 “+号”去掉。括号里各项都不变符号，括号前是 “一 ”号，把括号和它前面的 “一 ”号去掉括号里各项都改变符号(ii) 合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字

14、母的指数不变(2)整式的乘除：单项式相乘 (除 )，把它们的系数、相同字母分别相乘 (除)，对于只在一个单项式 (被除式 )里含有的字母，则连同它的指数作为积 (商)的一个因式相同字母相乘 (除 )要用到同底数幂的运算性质：amanam n(m, n是整数)amanam n( a0, m, n是整数)多项式乘 (除 )以单项式，先把这个多项式的每一项乘 (除 )以这个单项式，再把所得的积 (商 )相加多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：(xa)( xb)x 2(a b) x ab,(ab)(ab)a 2b2

15、 ,(ab)2a2ab b 2 ,(ab)(a2ab b 2 )a3b 3 .(3)整式的乘方6单项式乘方， 把系数乘方， 作为结果的系数， 再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：mnamn是整数),(a )(m, n(ab)nnn是整数)a b(n多项式的乘方只涉及(a b) 2a22abb2【例题经典】代数式的有关概念22例 1、已知 1 b 0，0a1，那么在代数式 ab、a+b、 a+b 、 a +b 中，对任意的 a、b，对应的代数式的值最大的是（）(A) a+b(B) ab(C) a+b2(D)a2+b评析：本题一改

16、将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。同类项的概念例 1 若单项式 2am+2nbn-2m+2 与 a5b7 是同类项，求 nm 的值【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得解出即可。m2n5,n2m27例 2 一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）A 4xy 3xy 2xy xy评析：本题是一道数形结合题， 考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。幂的运算性质例 1（1）aman=_（m， n 都是正整数）；（ 2）aman=_（ a0，m，n 都是正整数，且 mn），特别地： a0=1（a0），a-p = 1 （ a0，p 是

17、正整数）；pa（ 3）（am） n=_（m， n 都是正整数）；（ 4）（ab）n=_（ n 是正整数）（ 5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_（ 6）完全平方公式：（ab） 2=_【点评】能够熟练掌握公式进行运算 .例 2.下列各式计算正确的是 ()(A)(a5 )2 =a7(B)2x -2= 1(c)4a32a2=8a6(D)a8a2=a62 x分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。7例 3.下列各式中，运算正确的是()Aa2 a3 =a6B(-a+2b)2=(a-2b)2c ab1(a+b O)D (13) 21 3a 2b 2ab分析：考查学生对幂的运算性质例 4、(

18、泰州市 )下列运算正确的是A a 2a 3a 5 ;B(2x)3=2x3 ;C (a b)( a b)= a22abb2 ;D2832评析：本题意在考查学生幂的运算法则、 整式的乘法、 二次根式的运算等的掌握情况。整式的化简与运算例 5 计算： 9xy(- 1 x2y)=；3先化简，再求值： （x-y ）2 +（ x+y）（ x-y） 2x 其中 x=3， y=-1 5【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确【回顾与思考】因式分解考查重点与常见题型考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、 应

19、用公式法、 分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。因式分解知识点多项式的因式分解， 就是把一个多项式化为几个整式的积 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式 ambmcmm(abc),8其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式(2)运用公式法，即用a 2b 2( ab)( ab),写出结果a22abb2(a2,b)a 3b3( ab)( a2abb 2 )(3)十字相乘法对于二次项系数为 l 的二次三项式 x2px q,寻找满足 ab=q，a+b=p 的 a，b，如有，则

20、x 2px q( xa)(xb); 对于一般的二次三项式 ax 2bx c(a 0), 寻找满足的a， a， c， c， 如 有 ， 则a a =a ， c c =c,a c +a c =b121212122112ax 2bx c (a1 x c1 )(a2 x c2 ).(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时要用到添括号：括号前面是“+”，括到括号里的各项都不变符号；号括号前面是 “-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果 ax 2bxc0(a0), 有两个根 X 1，X 2，那么ax2bxca( xx1 )( xx2 )

21、.【例题经典】掌握因式分解的概念及方法例 1、分解因式： x3-x2=_;x2-81=_;x2+2x+1=_;a2-a+ 1 =_;4a3-2a2+a=_.【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。例 2.把式子 x2-y2-xy 分解因式的结果是例 3.分解因式： a2 4a+4=分析：考查运用公式法分解因式。分 式1考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（）1（ A）-40=1 (B) (-2) -1= 2(C) (-3 m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-192.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算

22、就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。 注意解答有关习题时， 要按照试题的要求， 先化简后求值，化简要认真仔细，如：化简并求值：x2 .2x3-y32+(2x+22),其中 x=cos30 ,y=sin90(x-y)x +xy+yx-y知识要点1分式的有关概念设 A 、B 表示两个整式如果 B 中含有字母，式子 A 就叫做分式注意分B母 B 的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 如果分子分母有公因式， 要进行约分化简2、分式的基本性质AAM , A A M （ M 为不等于零的整式）BBMBBM3分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似)acac;nac

23、adbc (异分母相加，先通分 )； bdbd(a ) nan .bdbdacadadbb;bdbcbc4零指数a01(a0)5负整数指数a p1p ( a0, p为正整数 ).aamana m n ,注意正整数幂的运算性质ama na m n (a0),( a m ) na mn ,( ab) na nb n可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n 可以是 O 或负整数熟练掌握分式的概念：性质及运算例 4 （ 1）若分式 x23 的值是零，则 x=_x3【点评】分式值为0 的条件是：有意义且分子为0（ ）同时使分式x5有意义，又使分式x23x无意义的 x 的取值2x26x8( x1)

24、29范围是（）10Ax-4 且 x-2Bx=-4 或 x=2Cx=-4D x=2（ ）如果把分式 x2 y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值（）3xA扩大 10 倍B缩小 10 倍C不变D扩大 2 倍xx) 4x 的结果是例 5：化简 (2x 2 x2 x分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。例 6.已知 a=1，求1 2aa2a 22a 1的值a1a 2a23分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。例 7.已知 |a-4|+ b - 9=0，计算 a2ab ? a2ab2 的值b22ab答案：由条件，得 a-4=0 且 b-9=0a

25、=4b=9原式 =a2/b2例 8.计算 (xy+ 4xy )(x+y-4xy)的正确结果是 ( )x yx yA y2-x2 B.x 2-y2 c x2-4y2D4x2-y2分析：考查分式的通分及四则运算。因式分解与分式化简综合应用例 1 先化简代数式：x12x1，然后选取一个使原式有意义的x 的x1x2 1x21值代入求值【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义例 2、有一道题 “先化简，再求值： ( x24x)x 21，其中 x3 。 ”小x2x 244玲做题时把 “x3 ”错抄成了 “x3 ”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？点评：化简可发现结果是 x 2

26、4，因此无论 x3 还是 x3 其计算结果都是 7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。11【回顾与思考】内容分析1二次根式的有关概念(1)二次根式式子a (a0) 叫做二次根式注意被开方数只能是正数或O(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数， 因式是整式， 不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式( a )2a( a0);2二次根式的性质a2| a |a(a0),a(a0);abab(a0; b 0);aa (a0;b0).bb3二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减， 先把各个二次根式化

27、成最简二次根式， 再把同类三次根式分别合并(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即abab (a0,b0).二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 那么这两个三次根式互为有理化因式(3)二次根式的除法二次根式相除， 通常先写成分式的形式， 然后分子、 分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去 (或分子、分母约分 )把分母的根号化去，叫做分母有理化考查重点与常见题型121.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。2.考查最简二次根式、同类

28、二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。【例题经典】理解二次根式的概念和性质例 1 （ 1）式子x有意义的 x 取值范围是 _2x【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负（ 2）已知 a 为实数，化简a3a1 a【点评】要注意挖掘其隐含条件：a0掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例 2 下列根式中能与3 合并的二次根式为（）A 24B. 12C . 3D . 182【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题掌握二次根式化简求值的方法要领例 3 先化简，再求值 :若 a=4+ 3 ，b=4-3 ，求aba aba b【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入13