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1、_第二章 2.4抛物线抛物线y 22pxy 22 pxx 22 pyx 22 py( p0)( p0)( p0)( p0)yyyylllFOxO FxFOxOxFl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1, y1 )平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 M MF =点 M到直线 l 的距离 x0, yRx0, yRxR, y0xR, y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222焦点在对称轴上O(0,0)e=1p
2、xpppxy2y222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。p2ppAFppAFpAF x1x1AF y1y12222精品资料_焦 点弦长( x1x2 ) p( x1 x2 ) p( y1 y2 ) p( y1 y2 ) pAByA x1, y1oFxB x2, y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切A( x1 , y1 )2 p2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB (x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AFBFAB2AFBFAF ? BFAF ?BFpy0 yp( xx0 )y0 yp( x
3、x0 )x0 xp( yy0 )x0 xp( yy0 )1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线精品资料_，消y得：精品资料_（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（ 2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（ 3）若直线与抛物线只有一个公共点 , 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：ykx b抛物线( p 0)，联立方程法：ykxbk 2 x22( kb p) x b20y22 px设交点坐标为 A(
4、 x1 , y1) , B(x2, y2 ) ，则有0 , 以及 x1x2 , x1x2 ，还可进一步求出y1y2kx1b kx2b k( x1x2 ) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k 2 x1x2kb(x1 x2 )b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦 AB的弦长AB1k 2 x1x21 k 2 ( x1x2 )24x1 x21 k 2a或 AB11y211y2 )24 y1 y21 k2k2 y12 ( y1ak精品资料_b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0x1x2 ， y0y1 y222点差法：设交点坐标为 A( x1 , y1
5、) ， B( x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y 22 px1y22 px212将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p( x1 x2 )y1y22 px1x2 y1y22 pa.在涉及斜率问题时，kABy1y2b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 M (x0 , y0 ) ，y1y22 p2 pp ，x1x2y1 y22y0y0即 kABp ，y0同理，对于抛物线x22 py( p 0) ，若直线 l 与抛物线相交于A、B 两点，点x1 x22x0x0M (x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点，则有 kAB2 pp2 p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不同的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）精品资料