《中考数学第一部分专题五因动点产生的面积问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学第一部分专题五因动点产生的面积问题.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 5因动点产生的面积问题课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图 5，同底三角形的面积比等于高的比如图 6，同高三角形的面积比等于底的比图4图5图6例322014年湖
2、南省常德市中考第25 题如图1，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0) 、B( 2,43) ， M是 OA的中点3（ 1）求此二次函数的解析式；（ 2）设 P 是抛物线上的一点， 过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM是菱形， 求点 P 的坐标；（ 3）将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得曲线 OBA（ B为 B 关于 x 轴的对称点），在原抛物线 x 轴的上方部分取一点 C，连结 CM，CM与翻折后的曲线 OBA交于点 D，若 CDA的面积是 MDA面积的 2 倍，这样的点 C是否存在？若存在求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由图 1
3、动感体验请打开几何画板文件名“14 常德 25”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，当四边形PQAM是平行四边形时，也恰好是菱形拖动点C在抛物线上运动，还可以体验到，MCA与 MDA是同底三角形，它们的面积比等于对应高的比思路点拨1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便2先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形3把 CDA与 MDA的面积比， 转化为 MCA与 MDA的面积比，进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的比图文解析（ 1）因为抛物线与x 轴交于O(0,0) 、A(4 ，0) 两点，设 y ax(x 4) 代入点 B( 2,4 3) ，得434a 解得 a3 所以 y
4、3x(x4) 3333（ 2）如图 2，由 A(4，0) ， M是 OA的中点，可知 OA 4，MA 2，M(2, 0) 如果四边形 PQAM是菱形，已知 PQ/OA，首先要满足 PQ2，再必须 MP2因为抛物线的对称轴是直线x 2，P、Q关于 x 2 对称，所以点 P的横坐标为1，故点 P 的坐标为 (1,3) 由 M(2, 0) 、P(1,3) ，可得 MP2所以当点P 的坐标为 (1,3) 时，四边形 PQAM是菱形（ 3）如图 3，作 CE x 轴于 E，作 DF x 轴于 F我们把面积进行两次转换：如果 CDA的面积是 MDA面积的 2 倍，那么 MCA的面积是 MDA面积的 3 倍
5、而 MCA与 MDA是同底三角形，所以高的比CEDF3 1，即 yC yD 3 1因此 MEMF 3 1设 MF m，那么 ME 3m原抛物线的解析式为3x(x4) ，所以翻折后的抛物线的解析式为y3yx(x 4)33所以 D(2 m,3 (2m)(2m4) ， C(2 3m, 3 (2 3m)(2 3m4) 33根据 yC yD 3 1，列方程3(2 3m)(23m4)333(2 m)(2 m 4)3223所以23m223 整理，得 3m4解得 m3所以点 C 的坐标为 (2 23, 83 ) （如图 3），或 (223, 8 3) （如图 4）33图2图3图4考点伸展第（ 1）题可以设抛物
6、线的顶点式：由点 O(0,0),A(4，0) ，B( 2, 43 ) 的坐标，可知点 B 是抛物线的顶点3可设 y a( x2) 24 3 ，代入点O(0,0) ，得 a3 33例332014年湖南省永州市中考第25 题如图1，抛物线y ax 2 bx c（ a 0）与x 轴交于A( 1, 0) ，B(4, 0) 两点，与y 轴交于点C(0, 2) 点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点M作x 轴的平行线交y 轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线 BM交 y 轴于点 F（ 1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（ 2）当 S MFQ S MEB1 3 时，求点
7、 M的坐标图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 永州 25”，拖动点 M在抛物线左半侧上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，存在两个时刻，MEB的面积等于 MFQ面积的 3 倍思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2把 MFQ和 MEB的底边分别看作 MQ和 ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于 m的方程3方程有两个解，慎重取舍解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解图文解析（ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A( 1, 0)， B(4, 0)两点，设 y a(x 1)(x4) 代入点 C(0, 2) ，得 2 4a
8、解得 a1 所以2y1 ( x 1)( x 4)1 x23 x 21 ( x3 )225 2222283 25顶点坐标为 ( ， )2 8（ 2）如图 2，已知 M(m, n) ，作 MN x 轴于 N由 FQ = MN ，得 FQ = n 所以 FQ = mn MQBNm4m4m因为抛物线的对称轴是直线x3 ，所以ME 2(3m) 3 2m 22由于 S1FQ MQ1mnm 1m2 n， MFQ224m24mS 11(32m)n ，MEMN MEB22所以当S MFQ SMEB 1 3 时，m2n (32m) n134m整理，得211m 12 0解得 m 1，或 m 12m所以点 M的坐标为 (1, 3)或( 12, 88) 图 2考点伸展第（ 2）题 S MFQ S MEB 1 3，何需点M一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，MFQ与 MEB的高的比FQ = m 与 n 无关，两条底边的比MN4mMQ=m也与n 无关ME32m如图3，因此只要点E 与点M关于直线x3对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存2在 SMFQ S MEB 1 3，点M的横坐标为1（如图3）或12（如图4）图3图4