《高考数学函数的单调性和奇偶性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学函数的单调性和奇偶性.docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、函数的单调性和奇偶性一 . 教学内容函数的单调性和奇偶性二 . 重、难点重点：函数单调增、减区间的意义，应用定义判断函数的单调性，奇偶性。难点：证明函数的单调性【典型例题】例 1 如果函数 f ( x)x 22(a1) x 2 在 (,4 上是减函数，求a 的取值范围。解： 对称轴 x 1a ，由 1a 4 得 a304例 2 判断函数 f ( x)x 3a （ aR ）在 R 上的单调性解： 设 x1 、 x2R 且 x1x2 则 x1x20 (1)f ( x2 ) f ( x1 ) ( x23a) ( x13a)(x1x2 )( x12x1x2 x22 ) (2)当 x1 x20 时， x
2、12x1 x2x220当 x1 x20 时， x1 和 x2 中必有之一不为0（x1x2 ） x12x1 x2 x220当 x1 x20 时， x12x1 x2x22( x1x2 )2x1 x20在上面讨论结合（ 1）和（ 2）有 f ( x2 )f (x1 )0 函数在 R 上是减函数例 3 已知函数 f ( x)， g( x) 在 R 上是增函数，求证：f g( x) 在 R 上也是增函数。证： 任取 x1 ， x2R 且 x1x2 则因为 g( x) 在 R 上是增函数所以 g( x1 )g( x2 )又 f (x) 在 R 上是增函数f g( x1 )f g (x2 ) f g( x)
3、 在 R 上是增函数结论： 同增异减： yf (u) 与 ug (x) 增减性相同（反） ，函数 yf g( x) 是增（减）函数。yx1x 的单调区间例 4 求函数解： 首先确定义域：x x0 在 (, 0) 和 (0 ,) 两个区间上分别讨论任取 x1、 x2(0 ,) 且 x1x2f (x2 ) f ( x1 )x21x11(x2x1x2x2x1x1 )则x1x2(x2x1 )(11)x1 x211x 1 x 2要确定此式的正负只要确定的正负即可1这样，又需判断x1 x2大于 1 还是小于1，由于 x1 x2的任意性。考虑到要将 (0 ,) 分为 (0, 1) 与 (1 ,)110（ 1
4、）当 x1 , x2(0 , 1) 时， f ( x2 )f ( x1 )0 为减函数x1 x2110x1x2(1,)x1 x2f ( x2 )f ( x)0（ 2）当,时，为增函数同理（ 3）当 x1 ,x2( 1 , 0) 时，为减函数（ 4）当 x1 , x2(,1) 时，为增函数例 5 判断下列函数是否具有奇偶性（ 1） f ( x)(1x) 33(1x 2 )22（ 2） f ( x)x 3（ 3） f ( x)1xx1（ 4） f ( x)x 21 1 x2f ( x) ( x1)1x（ 5）1x注： 对于定义域内的任意一个x ，都有 f (x)f ( x) 成立，则称 yf (
5、x) 为偶函数。对于定义域内的任意一个x ，都有 f (x)f ( x) 成立，则称 yf (x) 为奇函数。解：（ 1）函数与定义域为Rf (x)(1x) 33(1x2 )2x33xf (x)x33xf ( x) f ( x) 为奇函数（ 2）函数的定义域为R22又 f (x)(x) 3x 3f ( x)f ( x) 为偶函数（ 3）函数的定义域为1 f ( x) 为非奇非偶函数（ 4）函数的定义域为1 , 1 ，此时 f ( x)0 f ( x) 既是奇函数又是偶函数1x0（ 5）由 1x1 x1 ，知定义域关于原点不对称得 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数例 6 函数 f ( x)
6、 在 (,) 上为奇函数，且当x(, 0 时， f (x)x( x1) ，则当x (0 ,) 时，求f ( x) 的解析式。解： 设 x (0 ,) 则x ( , 0)f (x)( x)( x 1)x(x1)又 f ( x) 在 R 上为奇函数f ( x)f ( x)x(x1) 当 x(0 ,) 时， f (x)x( x 1) f ( x)x(x 1)例 7设 f (x) 为奇函数，且在定义域(1 , 1) 上为减函数，求满足f (1a)f (1 a 2 ) 0 的实数 a 的取值范围。解： 由 f (x) 为奇函数知：f (1a)f (1 a 2 )f (1 a 2 )f (a 21)由 f
7、 (x) 是减函数知：1 aa2111a111a 211aa 21解得 0a1例 8设 f (x) 是定义在 (0 ,) 上的增函数， f (2)1 且 f ( xy)f ( x)f ( y) ，求满足不等式 f ( x) f ( x3)2 的 x 的取值范围。解： f (x)f ( x3)f ( x23x)又 22 f (2)f (2)f (2)f ( 4)f ( x)f ( x3)2 化为 f ( x23x)f (4)x 23x4x0x30解得 3x4【模拟试题】一 . 选择题1.f (x) 4x 2mx 1，当 x2 时递增，当 x2 时递减，则f (1) 的值等于（）A. 13B. 1
8、C. 21D.32.若奇函数 yf ( x) ( xR) 的图象过点(a , f ( a) ，则必过点（）A. (a , f (a)B.( a ,f (a)C.( a ,f (a)D. (a ,f ( a)y1k1)x(k(, 0) ， (0 ,) 上都是增函数，则k 的取值范围（3.函数在）A.(, 1)(1 ,)B.(, 0)C.(, 1)D.(1 ,)4.f ( x) 在 (4, 7) 上是增函数，则yf ( x3) 的增区间是（）A. ( 2 , 3)B. (1 .10)C.(1, 7)D.( 4 , 10 )二 .填空题1.函数 yx 21 的递增区间是。2.若函数 f ( x) 是
9、 R 上的增函数，且f (x 2x)f ( x a) 对一切 xR 都成立，则实数a的取值范围是。3.已知 f ( x)ax 7bx6cx 5dx8， f (5)15 ，则 f (5)。114.若 F (x) 是奇函数，则函数G( x)F (x) ， ( ex12) 的图象关于对称。三 .解答题1.已知 f (x) 是偶函数，在 (0 ,) 上是增函数，那么f ( x) 在 (,0) 上是增函数，还是减函数？并加以证明。yax22.x2 在 ( 2 ,) 上单调递增，求实数a 的取值范围。函数3.定义在 2 ,2 上的偶函数g (x) ，当 x 0 时， g (x) 单调递减， 若 g(1 m
10、) g(m) ，求 m的取值范围。【试题答案】一 .1. C2. D3. D4. B二 .1. 1 ,)2.(0 ,)3. 314.y 轴三 .1.设 x1x20 由于 yf ( x) 是偶函数，则f ( x1 )f ( x1 ) ， f ( x2 ) f ( x2 )由假设可知x10 ，x20 且x1x2又已知 f ( x) 在 (0 ,) 上是增函数，则f ( x1 )f ( x2 ) 将代入得 f ( x1 )f (x2 ) 即 f ( x2 )f ( x1 )故 f ( x) 在 (, 0) 上是减函数ax2a( x2)2( a1)2(a1)y2x2ax 22.解：x在 (2 ,) 上单调递增2(a1)a2(a1)2 x1 x2a2x22 设则x1a1a111 x12 x22 x22 x12 0 x12 x2 2 a10 即 a13. 解：g (x) 为定义在 2 , 2 上的偶函数，且当x 0时递减 g (x) 在 x0 时递增1m21m1m 22m2111mm(1m)2m2m2