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1、_平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。记作：uuur rAB 或 a 。uuurr2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a |。rr3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e|1。r r4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。8. 三角形法则：uuuruuurABBA。uuuruuuruuur uuur
2、uuuruuuruuuruuur uuuruuuruuurABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向被减数）9. 平行四边形法则 ：r rrr rr以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab ， ab 。rrr rrrr r10. 共线定理 ： aba / /b 。当0 时， a与 b 同向；当0 时， a与b 反向。11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.rrx2y 2r 2rrrrr2向量的模： 若 a(x, y) ，则 | a |， a| a |2， | ab |( ab)r rrrrrcosra br13.数量积与夹角公式：a b| a
3、 | | b | cos；| a | b |rrrrrrrr14.平行与垂直： a / / babx1 y2x2 y1 ； aba b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuuruuurABCD 。uuuruuur（ 5）若 ABCD ，则 A、B、 C、 D四点构成平行四边形。r rr rrrrrrr（ 6）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。（ 7）若 mamb
4、，则 ab 。精品资料_rrn 。rrrr（ 8）若 mana ，则 m（9）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。r rrrrrr rrrrr（ 10）若 a b| a | |b | ，则 a / /b 。（ 11）若 | a b | | ab |，则 ab 。题型 2. 向量的加减运算1.rrrr设 a 表示“向东走8km”, b 表示“向北走6km” , 则 | ab |。uuuruuuruuuruuuruuuur2.化简 ( ABMB ) ( BO BC )OM。3.uuur5 ,uuuruuur已知 | OA |OB | 3 , 则 | AB | 的最大值和最小值分别
5、为、。4.uuur uuuruuuruuurruuurruuuruuur已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且 ACa, BDb ，则AB， AD。5.uuur3 uuuruuuruuuruuuruuur已知点 C 在线段 AB 上，且 ACAB , 则 ACBC ， ABBC 。题型 3. 向量的数乘运算51.rrr3(rrr计算： 2(2a5b3c)2a3b2c)2.rr( 3,8) ，则r1r。已知 a (1,4), b3a2b题型 4 根据图形由已知向量求未知向量已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量uuur uuuruuur1.AB，AC 表示 AD 。2. 在平行四
6、边形uuurr uuurruuur uuurABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和 AD 。题型 5. 向量的坐标运算uuur(4,5) ， A(2,3) ，则点 B 的坐标是1.已知 AB。2.uuur( 3, 5) ， P(3,7)，则点 Q 的坐标是已知 PQ。3.rr(2,3)r(1, 4), 则合力的坐标为若物体受三个力 F(1,2) , F2, F。134.rrrrrrrr已知 a (3,4) ， b(5, 2) ，求 ab ， ab， 3a2b 。5. 已知 A(1,2), B(3,2)ruuur, 向量 a( x 2, x 3 y 2) 与 AB 相等，求 x, y
7、 的值。精品资料_6.uuuruuuruuur( 1,4)uuur已知 AB(2,3) ， BC(m, n) ， CD，则 DA。7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1),B( 4,8)uuuruuurruuur，且 AB3BC0 ，求 OC 的坐标。题型 6. 判断两个向量能否作为一组基底ur uur1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：uruur uruururuuruurururuur uururuur uururA. e1e2和e1e2B. 3e12e2和4e26e1 C.e1 3e2和e23e1D. e2和e2e1rr）2. 已知 a (
8、3,4) ，能与 a 构成基底的是（A. ( 3, 4) B.( 4 , 3) C.( 3,4) D. ( 1,4)5555553题型 7. 结合三角函数求向量坐标uuur2 ，xOAuuur1. 已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， |OA |150o ，求 OA 的坐标。uuur4 3 ， xOA60ouuur2. 已知 O 是原点，点 A 在第一象限， | OA |，求 OA 的坐标。题型 8. 求数量积rr4rr的夹角为 60or rr rr1. 已知 | a |3,| b |，且 a 与 b，求（ 1） a b ，（ 2） a (ab ) ，r1r rrrrr（ 3） (a2b
9、 ) b ，（ 4） (2 a b) ( a 3b ) 。r(2,r( 8,10)rrrrrrr2. 已知 a6), b，求（ 1） | a |,| b | ，（ 2） ab ，（ 3） a(2ab) ，rrrr（ 4） (2 a b ) (a 3b) 。精品资料_题型 9. 求向量的夹角rr3r r12rr1. 已知 | a |8,| b |， a b，求 a 与 b 的夹角。rr( 2 3, 2)rr2. 已知 a( 3,1), b，求 a 与 b 的夹角。3. 已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5) ，求 cosBAC 。题型 10. 求向量的模rr4rrorrrr|。
10、1. 已知 | a |3,| b |，且 a 与 b 的夹角为 60，求（ 1） | ab |，（ 2） | 2a3brr( 8,10)rrrrr1r2. 已知 a(2, 6), b，求（ 1） | a |,| b | ，（ 5） | ab |，（6） | a2b |。rr2rr|3rr3. 已知 | a |1，|b |， | 3a2b，求 |3ab |。rrr题型 11.求单位向量a】【与 a 平行的单位向量：er| a |r(12,5) 平行的单位向量是r1平行的单位向量是。1. 与 a2.与 m ( 1,)2题型 12.向量的平行与垂直rr3,2) ，（1） krrrr1. 已知 a(1
11、,2) ， b (为何值时，向量 kab 与 a3b 垂直？（ 2） k 为何值时rrrr向量 kab 与 a3b 平行？精品资料_rr rr rrrrrr2. 已知 a 是非零向量，a ba c ，且 bc ，求证： a(bc ) 。题型 13. 三点共线问题1. 已知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B, C 三点共线。uuur2 rr uuurrr uuurrr2. 设 AB(a 5b), BC2a8b, CD3(ab) ，求证： A、B、D 三点共线。23.uuurrr uuurrr uuurrr已知 ABa2b, BC5a6b,CD7a2b ，
12、则一定共线的三点是。4.已知 A(1,3) ， B(8,1) ，若点 C (2 a1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值。O (0,0) ，A(3, 4) ，B(uuuruuuruuur5. 已知四个点的坐标1,2) ，C (1,1)，是否存在常数 t ，使 OAtOBOC成立？题型 14.判断多边形的形状1.uuurruuurruuur uuur若 AB3e， CD5e，且 | AD | | BC |, 则四边形的形状是。2.已知 A(1,0) ， B(4,3)， C (2, 4) ， D (0,2) ，证明四边形ABCD 是梯形。3. 已知 A( 2,1) ， B(6,3) ， C (
13、0,5) ，求证：ABC 是直角三角形。精品资料_uuuruuuruuurABC 是等腰直角三角形。4. 在平面直角坐标系内， OA( 1,8),OB( 4,1),OC (1,3), 求证：题型 15.平面向量的综合应用rr(2,1)rrrr1. 已知 a(1,0) ， b，当 k 为何值时，向量 kab 与 a3b 平行？r( 3, 5)rrrr2. 已知 a，且 ab ， | b |2 ，求 b 的坐标。r rrr rr3. 已知 a与b 同向， b(1,2) ，则 a b10 ，求 a 的坐标。rr(3,1)r(5,4)rrr4. 已知 a(1,2) ， b， c，则 cab 。rrrr
14、m 的范围；5. 已知 a(m,3) ， b (2, 1)，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求rrm 的范围。（ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求rr( 3,m)rrrr6. 已知 a(6,2) ， b，当 m 为何值时，（ 1） a 与 b 的夹角为钝角？（2） a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为A( 1,2) ，B(3, 4) ，D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB2CD ，求点 C 的坐标。8. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，uuuruuur0，求 c 的值；（2）若 c 5 ，求 sin A 的值。（ 1）若 ABAC精品资料