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1、第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1 、集合的含义： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2 、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性 . 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一
2、个集合时，仅算一个元素。(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 ， 太平洋大西洋印度洋北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 B=12345 2集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A
3、 记作 aA ，相反， a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R| x-32或x|x-324、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意： 有两种可能 （1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之 :集合 A
4、 不包含于集合 B 或集合 B不包含集合 A 记作 A B 或 B A2“相等”关系 (5 5，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-11 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A真子集 : 如果 A?B且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 B A)如果 A?B B?C 那么 A?C 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定
5、 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合叫做 AB的交集记作 AB(读作”A交 B”) ，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作： AB(读作”A 并 B”) ，即AB=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质： AA = A A = A B = B A，AA = AA = A A B = B A.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的
6、集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x ? x?S且 x?A（ 2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U来表示。（ 3）性质： CU(C UA)=A (C UA) A= (CUA)A=U二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：AB为从集合 A 到集合 B的一个函数记作： y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定
7、义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctg
8、A)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1 -cosA)/2)cos(A/2)= (1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2)tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA)tan(A/2)=-(1 -cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)= (1+cosA)/(1-cosA)ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin
9、(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7
10、+8+9+n=n(n+1) /21+3+5+7+9+11+13+15+(2n -1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角弧长公式 l=a*ra 是圆心角的弧度数r
11、0 扇形面积公式 s=1/2*l*r乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b| |a|+|b| |a- b| |a|+|b| |a|b- bab|a- b| |a| -|b| -|a| a|a|一元二次方程的解- b+(b2 -4ac)/2a -b-(b2 -4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 注：方程没有实根，有共轭复数根降幂公式（ sin
12、2 ）x=1-cos2x/2（ cos2 ）x=i=cos2x/2万能公式令 tan(a/2)=tsina=2t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) tana=2t/(1-t2)1.2.1 、函数的概念1 、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个数， 在集合 B 中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A 到集合B 的一个函数，记作：.2 、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2 、函数的表示法1 、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 . 1.3.1 、单调性与最大（小）值1 、 注意函数单调性证明的一般格式： 1.3.2 、奇偶性1 、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数 . 偶函数图象关于轴对称 .2 、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数 . 奇函数图象关于原点对称 .3 4