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1、高三数学第一轮复习单元测试（2） 数列一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .ababa 3bc101、c 成等差数列， c、成等比数列，且，若互不相等的实数则 a =（）A 4B 2C 2D 42已知等差数列共有10 项，其中奇数项之和15，偶数项之和为 30，则其公差是（）A 5B 4C3D 23在等差数列an 中，已知 a12, a2a313,则 a4a5a6 等于 （）A 40B 42C43D 454在等差数列 an中，若 aa+ ab=12， SN 是数列 an的前 n 项和，则 SN 的值为 （）A 48B
2、 54C60D 66S31，则S6（）nn5设 S 是等差数列 a的前 n 项和，若 S3S6123111A 10B 3C8D 96设 an 是公差为正数的等差数列，若a1a2a315 ， a1a2a380 ，则 a11a12a13（ ）A 120B 105C 90D 757已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 OBa1 OAa200 OC ，且 A、B、 C 三点共线（该直线不过原点O），则 S （）200A 100B 101C200D 2018在等比数列a中， a12 ，前n 项和为 Sn ，若数列a1也是等比数列，则 Sn 等于nn（）A 2n 12B 3nC 2nD 3n19设
3、 f (n) 2 2427210L23n 10 (n N ) ，则 f (n) 等于（）A 2 (8n1)B 2 (8n 11)C 2 (8n 3 1)D 2 (8n 41)777710弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（）A 3B 4C 8D 911设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，令 TnS1S2L Sn ，称 Tn 为数列 a1 ，a2 ， an 的“理想数” ，n已知数列 a1 ， a2 ， a500 的“理想数”为2004，那么数列2， a1 ， a2 ， a500 的“理想数”为A 2002（）B
4、 2004C2006D 200812已知数列an对任意的p， qN *满足a p qapaq ，且a26 ，那么a10 等于（）A 165B 33C 30D21二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16分，把答案填在题中横线上 .13数列 a 中，若a=1， a=2a +3 （ n1），则该数列的通项 a =.n1n+1nn4 x, 则 f123f10.14 设 f (x)ff11114 x2111115在德国不莱梅举行的第48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、 3、 4、 堆最底层（第一层）分别按右图所
5、示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n) 表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)； f (n)（答案用n 表示） .16已知整数对排列如下1,1 , 1,2 , 2,1 , 1,32,2 , 3,1 , 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 1,5 , 2,4 ,，则第60 个整数对是_.三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）数列 an 的前n 项和记为Sn， a11,an 12Sn1 n1（ 1）求 an 的通项公式 ;（ 2）等差数列 bn 的
6、各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 15，又 a1 b1 ,a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求Tn18（本小题满分12 分）设数列 a n 、 bn 、 cn 满足：bnana n 2 ，cna n2a n 13an2 （ n=1， 2， 3，），证明： a n 为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列且b nbn 1 （ n=1， 2， 3，）19（本小题满分 12 分）已知数列 a1 , a2 , , a30 ，其中 a1 , a2 ,a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a10 , a11 , a20 是公差为 d 的等差数列； a20 , a21 ,a30
7、 是公差为 d 2 的等差数列（ d 0 ） .（ 1）若 a20 40 ，求 d ；（ 2）试写出 a30 关于 d 的关系式，并求a30 的取值范围；（ 3）续写已知数列，使得a30 , a31 , a40 是公差为 d 3 的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列 . 提出同（ 2）类似的问题（ （ 2）应当作为特例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？20（本小题满分12 分）某市去年 11 份曾发生流感，据统计，11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50 人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起
8、，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30 人，到 11 月 30 日止，该市在这30 日内感染该病毒的患者总共8670 人，问 11 月几日， 该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.21（本小题满分12 分）等差数列 an 中，a12 ，公差d 是自然数，等比数列 bn中，b1a1 ,b2a2 （）试找出一个d 的值，使 bn的所有项都是 an 中的项；再找出一个d的值，使 bn的项不都是 an 中的项（不必证明） ；（）判断d4 时，是否bn所有的项都是 an 中的项，并证明你的结论；（）探索当且仅当d 取怎样的自然数时， bn 的所有项都是 an中的项，并说明理由2
9、2（本小题满分14 分）已知数列 an 中， an21（ n 2， n N），an1（ 1）若 a13 bn 满足 bn1（ nN ），求证数列 bn 是等差数列；，数列5an1（ 2）若 a13，求数列 an 中的最大项与最小项，并说明理由；5（ 3）（理做文不做）若1a12 ，试证明： 1an 1 an 2 参考答案（ 2）ac2b,a4,1 D 依题意有bc2a ,b2,a3bc10.c8.2 C5a120d15d3，故选 C5a125d303 B 等差数列an 中 a12， a2a313公差 d 3 a4 a5a63a13d4d5d 3a112d 424 B 因为 a4a6a1a912
10、，所以 S99( a1a9 ) =54 ，故选 B 25 A 由等差数列的求和公式可得S33a13d1 , 可得 a12d 且 d0S66a115d3所以 S66a115d27d3 ，故选 A S1212a166d90d106 B a1a2a315 3a215 a25 ， a1 a2 a380a2 d a2 a2d 80 ，a5代入，得d3，从而a11a12a133a123 a210d3 530105.选 B将 27 A 依题意， a1 a200 1，故选 A 8 C因数列a为等比，则an2qn1 ，因数列a1 也是等比数列，则nn(an 11)2( an1)(an 21)an 1 22an
11、1an an 2anan 2an an 22an 1an (1q22q)0q1即 an2，所以 Sn2n ，故选择答案 Cf （ n） = 213(n1)9 D 22(8n41) ，选 D 123710 B正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为 k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依 题 设 第 k层 正 四 面 体 为123k k 1k2k,则 前k 层 共 有k221 122 2L k 21 1 2kk k 1 k 260226， k 最大为 6，剩 4，选 B11A 认识信息，理解理想数的意义有，2004500a1 499a2498a3a500 ,501 2500a1499
12、a2498a3a5002002 ，选 A 50050112 C由已知 a4 a2 + a2 -12， a8 a4 + a4 24,a10 = a8 + a2 = -30 ，选 C13由 an 12an3an 132( anan 13+3）为首项，以 23) ，即an=2，所以数列 an 3是以（ a13为公比的等比数列，故an 3=（ a1 +3） 2n 1， an = 2n1 3.14由f 1xfx，整体求和所求值为5115 an 1ann 1 ana1( a2a1 )(ann(n1)an 1 )2f ( n) 的规律由f (n) f (n1)ann(n1)2) ，所以2(nf (1)1f
13、( 2)f (1)2222f (3)f (2)3222f ( n)f (n1)n 222所以 f (n)1(12232n2 )(123n)21 n( n1)( 2n1)n( n1) n(n1)( n2)262616观察整数对的特点，整数对和为2 的 1 个，和为3 的 2 个，和为 4 的 3 个，和为5 的 4 个，和 n 为的n 1 个，于是，借助123nn n 1 估算，取 n=10 ，则第 55 个整数对为 11,1，注意横2坐标递增，纵坐标递减的特点，第60 个整数对为 5,717（ 1）由 an12Sn 1 可得 an2Sn11 n2，两式相减得 an 1an2an , an 13
14、ann2又a22S13a23a1故n1，公比为3 得等比数列a3n1. a 是首项为n1（ 2）设 bn 的公差为 d，由 T315 得，可得 b1b2b315 ，可得 b25 ，故可设 b15 d ,b35d又 a11, a23,a39 由题意可得5d15d 95 322,d2 10解得 d1等差数列 bn 的各项为正，d0， d2 Tn3nn n12n22n218 1必要性：设数列 an 是公差为 d1 的等差数列，则：bn 1bn(an 1an 3 ) ( anan 2 ) = (an 1an ) (an 3an 2 ) = d1 d1 =0， bnbn1 （ n=1 ， 2， 3，）成
15、立；又 cn1cn( an1an )2 (an 2an 1 ) 3( an3an2 ) =6 d1 （常数）（ n=1 ， 2， 3，）数列 cn 为等差数列 .2 充分性：设数列 cn 是公差为 d2的等差数列，且bnbn 1 （ n=1，2， 3，）， cnan2an 13a n2 cn 2an22an33an 4 得： cncn2(anan2 )2(an 1an 3 )3(an2an4 ) = bn 2bn 1 3bn 2 cncn 2( cncn 1 ) (cn 1cn 2 )2d2 bn2bn 13bn22d 2 从而有 bn12bn23bn 32d2 得： (bn 1bn )2(b
16、n2bn1 ) 3(bn3bn2 )0 (bn 1bn ) 0 ， bn 2bn 10， bn 3bn 20 ，由得： bn1bn0（ n=1， 2， 3，），由此，不妨设 bnd3 （n=1， 2， 3，），则 anan 2d3 （常数）故 cnan2an13an 24an2an 13d3 从而 cn14an 12an 23d34an 12an5d3 得： cn1cn2(an 1an )2d3 ，故 anan1cn )d31d3 （常数）（ n=1， 2，3，），1(cn 1d 222数列 an 为等差数列 .综上所述： a n 为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列且 b n bn
17、1 （ n=1， 2， 3，） .19（ 1） a1010.a201010d40,d3 .2（ 2） a30a2010d 210 1dd 2( d0)， a3010d13 ，24当 d(,0) ( 0,) 时， a307.5,.（ 3）所给数列可推广为无穷数列an，其中 a1 , a2 ,a10 是首项为1，公差为 1 的等差数列，当 n 1时，数列 a10n , a10n 1 , a10( n 1) 是公差为 d n 的等差数列 .研究的问题可以是：试写出a10 (n 1)关于 d 的关系式，并求a10 ( n 1) 的取值范围 .研究的结论可以是：由a40a3010d 310 1dd 2d
18、 3，101d n1d1,依次类推可得a10 (n 1)10 1 ddn1d,10(nd1.1),当 d 0 时， a10( n 1) 的取值范围为 ( 10,) 等 .20设第 n 天新患者人数最多，则从n+1 天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50 的等差数列的n 项和， Sn20 nn n15025n 25n 1 n 30 ,nN ，2而后 30 n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20n1503050n60 ，公差为30，项数为 30 n 的等差数列的和，Tn30 n 50n 6030n 50n603065n22445n14
19、850,依题设构建方程有，2Sn Tn 8670, 25n25n65n22445n148508670 ,化简， n261n5880, n12 或 n 49 （舍），第 12 天的新的患者人数为 20+ （ 12 1） 50=570 人.故 11 月 12 日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为 570 人.21（ 1） d0 时， an 的项都是 bn 中的项；（任一非负偶数均可） ;d1 时， an 的项不都是 bn 中的项（任一正奇数均可）;（ 2） d4 时， an4n22(2n1),bn2 3n 12(23n 1 11)am(m3n 11 为正整数）， bn 的项一定都是 a
20、n 中的项22（ 3）当且仅当 d 取 2k(kN *)（即非负偶数）时， bn 的项都是 an 中的项理由是：当 d2k (kN *) 时， an2 ( n 1)2k 21(n1) k, n2 时，bn2 (k1)n 12(k n1C1n 1k n 2Cnn12k1) ，其中 kn 1C1n 1k n 2C nn12 k是 k 的非负整数倍，设为Ak （ AN * ），只要取 mA 1即（ m 为正整数）即可得bnam ，即 b 的项都是 a 中的项；当d2k1,(kN ) 时，(2 k 3) 2不是整数，也不可能nnb32是 an 的项22（ 1）11an 1，而 bn 11， bn bn
21、 1an 11)1 (n Nbn11an 11an 1 1an 11 an 1 1an12an1 bn 是首项为 b1a115 ，公差为1 的等差数列12（ 2）依题意有 an11 ，而 bn5(n1) 1n 3.5 ，2bn an11.对于函数 yx1，在 x 3.5 时， y 0，y10，在（ 3.5，）n3.53.5( x 3.5) 2上为减函数 .故当 n 4 时， an11取最大值 3.1在 x3.5 时， y 0，n 3.5而函数 yx 3.5y10，在（， 3.5）上也为减函数故当n 3 时，取最小值，a3 1.(x 3.5)2（ 3）先用数学归纳法证明 1 an2 ，再证明 an 1an . 当 n1时， 1a12 成立；假设当 nk 时命题成立，即 1ak2 ，当 nk1时，11a k 12131ak2故当 nk1时也成立，21a k(1, )1a k2综合有，命题对任意nN 时成立，即1an2.