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1、高次不等式的解法 -穿根法一方法 :先因式分解 ,再使用穿根法 .注意 :因式分解后 ,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法 : 在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根 ,标为实点 ,等号不成立的根要标虚点 . 自右向左自上而下穿线 ,遇偶次重根不穿透 ,遇奇次重根要穿透 (叫奇穿偶不穿 ). 数轴上方曲线对应区域使“”成立 , 下方曲线对应区域使“ ”成立 .例 1:解不等式(1)(x+4)(x+5) 2(2-x)30根据穿根法如图不等式解集为 x x2 或 x-4 且 x5. -5 -42(2)变形为(2x-1)(x-1)0(3x-1)(x-2)根据穿根法如图不等式解集为11x
2、 x2.111232【例 2】解不等式： (1)2x 3-x 2 -15x 0； (2)(x+4)(x+5)2(2-x) 3 0【分析】 如果多项式 f(x) 可分解为 n 个一次式的积， 则一元高次不等式 f(x) 0( 或 f(x) 0) 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解： (1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3) 0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图 (5 1) 的阴影部分(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2) 3 0原不等式解集为 x|x -5 或-5 x -4 或 x2【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的x系数必为正
3、；对于偶次或奇次重根可参照(2) 的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意 “奇穿偶不穿” 其法 (52)如图数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证 x 前的系数为正数）例如：将 x3-2x2-x+20化为 (x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0的根为： x1=2，x2=1， x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如： -1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上
4、去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“ 0的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“ ”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。【典型例题】例 1、解不等式(1)2x 3-x 2-15x 0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)40例 2、解下列不等式： (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0； (x+2)(x2+x+1)0 ； (x+2) 2(x+1) 0例 3、解下列不等式：(x 2-1)(x-1)(x2-x-2)7+1；82xx+2+10x1；x 10x3x 2(x1)( x 1)2 (x2)30。( x 3) 4 ( x 4) 5( x 5) 6【巩固练习】1、解下列不等式： (x+1) 2(x-1)(x-4)0；(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)0；(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x)0(x 2-1)(x-1)(x2-x-2)0；x+14x 1( x1)2 (x2)0；( x3)( x4)2：解不等式：1、 x 302、 2x 112 xx 33、 x23x 204、 x22x 10x22x 3x23x2x6x x3x 105、3206、x2x9