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1、第五讲、直线系方程和圆系方程的应用1过两直线的交点的直线方程 设：l1:A1x+B1y+C1=0 l2: A1x+B1y+C1=0过两直线的交点的直线为l,则方程为: A1x+B1y+C1+（ A1x+B1y+C1）=0例1已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为，求直线方程。解：设所求直线为7x+7y-24+(x-y)=0,变型为（7+）x+(7-)y-24=0由点到直线距离公式得：d=,解得=1故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。2过两圆的交点的圆系方程设：O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0过
2、两圆的交点的圆系方程为O,则O为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+（ x2+y2+D2x+E2y+F2）=0例2求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5交点的圆的方程。解：设方程为x2+y2-x+y-2+( x2+y2-5)=0，变型为：故圆心为（），代入直线方程得，解得所求为：x2+y2+2x-2y-11=03过一圆和一直线的交点的圆系方程设：O:x2+y2+Dx+Ey+F=0:Ax+By+C=0则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O为(x2+y2+Dx+Ey+F)+（ Ax+By+C）=0例3求过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3
3、=0的交点，圆心在y轴上的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2-2x+（x+2y-3）=0变型为x2+y2-(2-)x+2y-3=0圆心为（，-）因为圆心在y轴，故=2，所求圆的方程为x2+y2+4y-6=0上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。例4.已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即.依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得。又满足方程，则，故例5.求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则。代回圆系方程得所求圆方程