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1、 立体几何（文）一、知识要点：1、能识别三视图所表示的空间几何体；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（三个推论）.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补3、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解
2、空间中线面平行、垂直的有关性质与判定理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直4、垂直和平行涉及题目的解
3、决方法须熟练掌握两类相互转化关系：平行转化： 垂直转化： 二、基础训练：1、(2009年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )A和 B和 C和 D和 【答案】D2、（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【解析】对于A、B、D均可
4、能出现，而对于C是正确的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3、（2008安徽卷4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） DABC D4、(2009山东卷文)已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. 答案:B.5、（2009湖南卷文）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（ ）A3 B4 C5 D6 解:用列举法知合要求的棱为：、，故选C 6、
5、(2009山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D. 【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C俯视图 三、典型例题：例1：（2009北京卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.求证：平面. 【解法】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.例2：（20
6、09广州一模）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点若，求证：平面；解：取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则 F G . = 又由已知有四边形AEGF是平行四边形. 平面PCE，EG 例3：如图6，已知四棱锥中，平面，图6 是直角梯形，90，（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使/平面， 若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由 解：（1） 平面，平面， ， 平面， 平面， （2）法1: 取线段的中点，的中点，连结,则是中位线， ， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面 线段的中点是符合题意要求的点 法2: 取线段的中点，的中点，连结,则是的
7、中位线， 平面, 平面,平面 ， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面 ,平面平面平面,平面 线段的中点是符合题意要求的点 四、习题选练：1、（2009东莞一模）若为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: . 其中正确的命题有（ C ） A.个 B.个 C.个 D.个2、（2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题
8、的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)3、（2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是解析 法1 ：可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C. 法2 ：俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.4、（2009江苏卷）如图，在直三棱
9、柱中，、 分别是，的中点,点在上,。 求证：（1）EF平面ABC；（2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置 关系，考查空间想象能力、推理论证能力。5、（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。解：（）由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角） 为异
10、面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点， 连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。 由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 （II）证明：因为6、（2009福建卷文）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。 （I）证明：在中， 又平面平面，平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上
11、，三棱锥的侧面积，7、（2009北江中学文）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、的中点，且， ，PBCDAEF（）求四棱锥的体积；（）求证：直线平面解：（1）取AD的中点O，连接EO,则EO是PAD的中位线，得EOPA,故EOABCD,EO是四棱锥的高，（2）取PC的中点G,连EG,FG, 由中位线得EGCD,EG=CD=AF, 四边形AFGE是平行四边形， 8、（2009中山期末）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；解：（I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而即又平面（II）取AC的中点M，连结OM
12、、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。 在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角大小的余弦为9、（2009广州一模）图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.(1)求证: BC平面A1AC；(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.图4ABCA1证明:C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，BCAC, AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC， AA1AC=A，AA1平面AA1 C，AC平面AA1 C， BC平面AA1C. (2)解法1：设
13、AC=x，在RtABC中，(0x2) , 故(0x2),即.0x2，0x24，当x2=2，即时，三棱锥A1-ABC的体积的最大值为. 解法2: 在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4， . 当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=.10、（2009揭阳市二模）如图，ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，设AE与平面ABC所成的角为,且,四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC（1）求三棱锥CABE的体积；（2）证明：平面ACD平面；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO/平面？证明你的结论解：（）四边形DCBE为平行四边形 DC平面ABC 平面ABC为AE与平面ABC所成的角，即在RABE中，由,得AB是圆O的直径 （2）证明： DC平面ABC ,平面ABC 且 平面ADC DE/BC 平面ADC 又平面ADE 平面ACD平面（3）在CD上存在点，使得MO/平面，该点为的中点 证明如下： 如图，取的中点，连MO、MN、NO，M、N、O分别为CD、BE、AB的中点， MN / DE平面ADE，平面ADE，MN / 平面ADE ，同理可得MO/OE，平面MNO/平面ADE平面MNO，MO / 平面ADE 第 8 页 共 8 页