2015届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟数学试题及答案.doc

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1、1 徐州、连云港、宿迁三市徐州、连云港、宿迁三市 20152015 届高三第三次模拟届高三第三次模拟 数学数学 参考公式：棱柱的体积公式：参考公式：棱柱的体积公式：,ShV 其中其中S是棱柱的底面积，是棱柱的底面积，h是是 高高. . 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请把答案分请把答案 填写在答题纸相应位置上填写在答题纸相应位置上 1.1.已知复数已知复数iiiz)(43( 是虚数单位）是虚数单位） ，则，则z的模为的模为 . . 2.2.已知集合已知集合,4 , 2,3 , 1( BA则则 BA . . 3.3.如图

2、是某市如图是某市 20142014 年年 1111 月份月份 3030 天的空气污染指数的频率分布直天的空气污染指数的频率分布直 方图方图. . 根据国家标准，污染指数在区间根据国家标准，污染指数在区间)51 , 0 内，空气质量为优；内，空气质量为优； 注注 意意 事事 项项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题)两部 分。本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一 并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名

3、、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 2 在区间在区间)101,51内，空气质量为良；在区间内，空气质量为良；在区间)151,101内，空气质量为轻内，空气质量为轻 微污染；微污染；.由此可知该市由此可知该市 1111 月份空气质量为优或良的天数有月份空气质量为优或良的天数有 天天. . 4.4.执行如图所示的算法流程图，则输出执行如图所示的算法流程图，则输出k的值是的值是 . . 5.5.已知集合

4、已知集合,4 , 3 , 2,1 , 0 BA若从若从BA,中各取一个数，则这两个数之和中各取一个数，则这两个数之和 不小于不小于 4 4 的概率为的概率为 . . 6.6.设等差数列设等差数列 n a的前的前n项为项为,28,26, 453 SaaSn则则 10 a的值为的值为 . . 7.7.设函数设函数 0,4 , 0 ,log )( 2 x xx xf x ，则，则)1( ff的值为的值为 . . 8.8.已知双曲线已知双曲线C的离心率为的离心率为 2 2，它的一个焦点是抛物线，它的一个焦点是抛物线yx8 2 的焦的焦 点，则双曲线点，则双曲线C的标准方程为的标准方程为 . . 9.9

5、.已知函数已知函数),20)( 6 sin()( xxf若若, 1) 3 2 ( f则函数则函数)(xfy 的最小正周的最小正周 期为期为 . . 10.10.在三棱柱在三棱柱 111 CBAABC 中，侧棱中，侧棱 1 AA平面平面, 1, 111 AACAB底面底面ABC是是 边长为边长为 2 2 的正三角形，则此三的正三角形，则此三棱柱的体积棱柱的体积 为为 . . 3 11.11.如图，半径为如图，半径为 2 2 的扇形的圆心角为的扇形的圆心角为NM,120 分别为半径分别为半径OQOP,的的 中点，中点，A为弧为弧PQ上任意一点，则上任意一点，则ANAM 的取值范围是的取值范围是 .

6、 . 12.12.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知圆中，已知圆, 1)2()(: 22 ayaxC点点),2 , 0(A若若 圆圆C上存在点上存在点,M满足满足,10 22 MOMA则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 . . 13.13.已知实数已知实数yx,满足条件满足条件 , 0 3 , 0 5 , 0 y yx yx 若不等式若不等式 222 )()(yxyxm 恒成立，恒成立， 则实数则实数m的最大值是的最大值是 . . 14.14.若函数若函数)1()( 2 axaxf x 有三个不同的零点，则实数有三个不同的零点，则实数a的取值范围的取值范围 是是 . . 二、二

7、、解解答答题题：本本大大题题共共6 6 小小题题，共共计计 9 90 0 分分请请在在答答题题纸纸指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. . 15.15.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 在在ABC，角，角CBA,的对边分别为的对边分别为,cba已知已知.cos2sin, 3 1 cosBAC （1 1）求求Btan的值；的值； （2 2）若若,5 c求求ABC的面积的面积. . 4 16.16. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 如图，矩形如图，矩形ABCD所在平面与三角形所在平面与三角形 EC

8、D 所在平面相交于所在平面相交于 AECD,平面平面.ECD （1 1） 求证：求证： AB平面平面;ADE （2 2） 若点若点M在线段在线段AE上，上， NMEAM,2 为线段为线段CD中点，求证：中点，求证：/EN平面平面 .BDM 5 17.17. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 如图，在如图，在P地正西方向地正西方向km8的的A处和正东方向处和正东方向km1的的B处各一条处各一条 正北方向的公路正北方向的公路AC和和,BD现计划在现计划在AC和和BD路边各修建一个物流中路边各修建一个物流中 心心E和和F. . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路为缓解交通压力，决

9、定修建两条互相垂直的公路PE和和 .PF设设). 2 0( EPA （1 1）为减少周边区域的影响，试确定）为减少周边区域的影响，试确定FE,的位置，使的位置，使PAE与与 PFB的面积之和最小；的面积之和最小； （2 2）为节省建设成本，试确定）为节省建设成本，试确定FE,的位置，使的位置，使PFPE 的值最小的值最小. . 6 18.(18.(本小题满分本小题满分 1616 分分) ) 如图，已知椭圆如图，已知椭圆),0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x M其率心率为其率心率为, 2 3 两条准线之间两条准线之间 的距离为的距离为CB, 3 38 分别为椭圆分别为椭圆M的上、下

10、顶点，过点的上、下顶点，过点)0)(2 ,( ttT的直的直 线线TCTB,分别与椭圆分别与椭圆M交于交于FE,两点两点. . （1 1）椭圆）椭圆M的标准方程；的标准方程； 7 （2 2）若）若TBC的面的面积是积是TEF的的 面积的面积的k倍，求倍，求k的的最大值最大值. . 19.19.（本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 设正项数列设正项数列 n a的前的前n项和为项和为, n S且且., 2 1 2 1 *2 NnaaS nnn 正项等比数列正项等比数列 n b满足：满足：., 6422 abab （2 2）设）设 * * ,2, , 12, Nkknb Nkkna c n

11、n n 数列数列 n c的前的前n项和为项和为, n T求所有正整数求所有正整数 m的值，使得的值，使得 12 2 m m T T 恰好为数列恰好为数列 n c中的项中的项. . 8 20.20.（本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 已知函数已知函数, 3 1 )( 23 bxaxxxf 其中其中ba,为常数为常数. . （1 1）当）当1 a时，若函数时，若函数)(xf在在1 , 0上的最小值为上的最小值为, 3 1 求求b的值；的值； （2 2）讨论函数）讨论函数)(xf在区间在区间),( a上单调性；上单调性； （3 3）若曲线）若曲线)(xfy 上存在一点上存在一点,P使得曲线

12、在点使得曲线在点P处的切线与经过处的切线与经过 点点P的另一条切线互相垂直，求的另一条切线互相垂直，求a的取值范围的取值范围. . 徐州市徐州市 2014201420152015 学年度高三第三次质量检测学年度高三第三次质量检测 数学数学（附加题）（附加题） 注注 意意 事事 项项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页，均为非选择题(第 21 题第 23 题)。本试卷满分 40 分，考试时间 为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米

13、签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 9 21.【21.【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两题，并四小题，请选定其中两题，并 在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A A选修选修 4-14-1：几何证明选讲（本小题满分：几何证明选

14、讲（本小题满分 1010 分）分） 如图，已知直线如图，已知直线AB为圆为圆O的切线，切点为的切线，切点为,B点点C在圆上，在圆上，ABC 的的 角平分线角平分线BE交圆于点交圆于点DBE,垂直垂直BE交圆于点交圆于点 .D证明：证明：.DCDB B B选修选修 4-24-2：矩阵与变换（本小题满分：矩阵与变换（本小题满分 1010 分）分） 已知矩阵已知矩阵A的逆矩阵的逆矩阵 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A，求曲线，求曲线1 xy在矩阵在矩阵A对应的交对应的交 换作用下所得的曲线方程换作用下所得的曲线方程. . C C选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程（本小题满分：坐标系与参数

15、方程（本小题满分 1010 分）分） 10 已知曲线已知曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 ( sin2 ,cos22 y x 为参数）为参数） ，在平面直角坐标，在平面直角坐标 系中，以坐标原点为极点，系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴极轴建立极坐标系，轴的非负半轴极轴建立极坐标系， 曲线曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为22) 4 cos( ，求，求 1 C与与 2 C交点的极坐标，其交点的极坐标，其 中中.20 , 0 D D选修选修 4-54-5：不等式选讲（本小题满分：不等式选讲（本小题满分 1010 分）分） 已知已知cba,都是正数，求证：都是正数，求证：. 2222

16、22 abc cba accbba 【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在答题请在答题 卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤. . 2222 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中， , 2 AB,60 BAD沿对角线沿对角线BD将将ABD折起，折起， 使使CA,之间的距离为之间的距离为,6若若QP,分别为线段分别为线段CABD,上的动点上的动点 求线段求线段PQ长度的最小值；长度

17、的最小值； （）当线段）当线段PQ长度最小时，求直线长度最小时，求直线PQ与平面与平面ACD所成角的正弦所成角的正弦 值值 11 23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分) ) 设设, * Nnba 且且, ba 对于二项式对于二项式.)( n ba （1 1）当）当4 , 3 n时，分别将该二项式表示为时，分别将该二项式表示为),( * Nqpqp 的形式；的形式； （2 2）求证：存在）求证：存在, * Nqp 使得等式使得等式qpba n )(与与qpba n )(同时同时 成立成立. . 徐州市徐州市 20152015 届高三年级第三次质量检测届高三年级第三次质量检测 数学

18、数学参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1.51.5 2.22.2 3.283.28 4.44.4 5.5. 1 2 6.6. 3737 7.7.2 8.8. 12 2 2 1 3 x y 9.9.410.10.2 11.11. 3 5 , 2 2 12.12.0,3 13.13. 25 13 14.14. 2 e (1, e ) 二、解答题二、解答题 15.15.（1 1）因为）因为 1 cos 3 C ，0,C，所以，所以 2 2 sin 3 C 22 分分 因为因为ABC， 所以所以sinsinABC 12 2 sincoscossinsincos 33 BCBCBB，55 分分 由

19、题意由题意 12 2 sincos2cos 33 BBB，所以，所以 12 sincos 33 BB， 所所 以以tan2B 77 分分 （2 2）由（）由（1 1）知）知tan2B ，所以，所以 6 sin 3 B ， 3 cos 3 B 99 分分 由正弦定理得由正弦定理得 sinsin bc BC ，所以，所以 6515 322 2 3 b 1111 分分 又又 6 sin2cos 3 AB， 1212 分分 所所 以以 111565 2 sin5 22234 SbcA 1414 分分 1616 （1 1）因为）因为AE 平面平面ECD，CD 平面平面ECD， 所以所以AECD 又因为又

20、因为AB/CD，所，所 以以ABAE22 分分 在矩形在矩形ABCD中，中，ABAD， 13 44 分分 因为因为ADAEA，,AD AE 平面平面ADE， 所以所以AB 平面平面ADE 66 分分 （2 2）连结）连结ANAN交交BDBD于于F F点，连结点，连结FMFM ，88 分分 因为因为AB/CD且且2ABDN， 所以所以2AFFN， 1010 分分 又又AMAM=2=2MEME，所以，所以EN/FM， 1212 分分 又又EN 平面平面BDM, ,FM 平面平面BDM， 所以所以EN/平面平面BDM. . 1414 分分 17.17.（1 1）在）在 RtRtPAEPAE中，由题意

21、可知中，由题意可知APE，APAP=8=8， 则则8tanAE 所以所以 1 32tan 2 PAE SPAAE A 22 分分 同理在同理在 RtRtPBFPBF中，中，PFB，PBPB1 1，则，则 1 tan BF ， 所以所以 11 22tan PBF SPBBF A 44 分分 故故PAEPAE与与PFBPFB的面积之和为的面积之和为 1 32tan 2tan 55 分分 1 2 32tan 2tan =8=8， 当且仅当当且仅当 1 32tan 2tan ，即，即 1 tan 8 时时，取取“” ， 故当故当AEAE=1km=1km， BFBF=8km=8km 时，时，PAEPAE

22、与与PFBPFB的面积之和最的面积之和最 小小66 分分 （2 2）在）在 RtRtPAEPAE中，由题意可知中，由题意可知APE，则，则 8 cos PE 14 同理在同理在 RtRtPBFPBF中，中，PFB，则，则 1 sin PF 令令 81 ( ) cossin fPEPF ， 0 2 ， 88 分分 则则 33 2222 8sincos8sincos ( ) cossinsincos f ， 1010 分分 令令( )0f，得，得 1 tan 2 ，记，记 0 1 tan 2 ， 0 0 2 ， 当当 0 (0,)时，时，( )0f，( )f单调减；单调减； 当当 0 (,) 2

23、时，时，( )0f，( )f单调增单调增 所以所以 1 tan 2 时，时，( )f取得最小值，取得最小值， 1212 分分 此时此时 1 tan84 2 AEAP，2 tan BP BF 所以当所以当AEAE为为 4km4km，且，且BFBF为为 2km2km 时，时，PEPE+ +PFPF的值最小的值最小 1414 分分 18.18.（1 1）由题意）由题意 2 3 28 3 , 23 ca ac ，解得，解得2,3ac， 所以所以1b ，椭圆方程为，椭圆方程为 2 2 1 4 x y 44 分分 （2 2）解法一：）解法一： 1 2 TBC SBC tt ， 66 分分 直线直线TB方程

24、为：方程为： 1 1yx t ，联立，联立 2 2 1 4 1 1 x y yx t ，得，得 2 8 4 E t x t ，所以所以 2 22 84 , 44 tt E tt 到到:TC30 xtyt 的距离的距离 2 22 2 222 4 24 44 212 994 t t t t tt t t d ttt ， 88 分分 15 直线直线TC方程为：方程为： 3 1yx t ，联立，联立 2 2 1 4 3 1 x y yx t ，得，得 2 24 36 F t x t ， 所以所以 2 22 2436 , 3636 tt F tt ，所以，所以TF 2 2 2 22 2436 2 363

25、6 tt t tt 222 2222222 222 22 12336129129 36 3636 ttttttt t tt ，1010 分分 所以所以 2 2222 2 22 22 12921212 11 2236364 94 TEF ttt tt t STF d ttt tt ， 所以所以 22 2 2 364 12 TBC TEF tt S k S t ， 1212 分分 令令 2 1212tm，则，则 22 (8)(24)161924 1 3 mm k mmm ， 1414 分分 当且仅当当且仅当24m ，即，即2 3t 时，取时，取“” ， 所以所以k的最大值的最大值 为为 4 3 1

26、616 分分 解法二：直线解法二：直线TB方程为方程为 1 1yx t ，联立，联立 2 2 1 4 1 1 x y yx t ，得，得 2 8 4 E t x t ， 66 分分 直线直线TC方程为：方程为： 3 1yx t ，联立，联立 2 2 1 4 3 1 x y yx t ，得，得 2 24 36 F t x t ， 88 分分 1 sin 2 1 sin 2 TBC TEF TB TCBTC STB TC k STE TF TE TFETF TCTB TETF xxxxTB TC TE TFxxxx 1010 分分 22 22 22 436 824 1212 436 tt tt t

27、t tt tt tt ， 16 1212 分分 令令 2 1212tm，则，则 22 (8)(24)161924 1 3 mm k mmm ， 1414 分分 当且仅当当且仅当24m ，即，即2 3t 时，取时，取“” ， 所以所以k的最大值为的最大值为 4 3 1616 分分 19.19.（1 1）因为）因为0 n a ，当，当1n 时，时， 2 111 11 22 aaa，解得，解得 1 1a . . 11 分分 由由 2 11 22 nnn Saa， 当当2n 时，时， 2 111 11 22 nnn Saa ， 两式相减，得两式相减，得 22 11 11 )(+)0 22 nnnn a

28、aaa （ 22 分分 又因为又因为0 n a ，所以，所以 1 +0 nn aa ， 所以所以 1=1nn aa ， 所以所以 n a是以是以 1 1 为首项，为首项，1 1 为公差的等差数列，为公差的等差数列， 所以所以 1 (1) 1 n aann 44 分分 由由 2246 ,ba ba，得，得 2 64 22 3 ab q ba ， 所以所以 22 2 2 ( 3) nn n bbq 66 分分 （2 2）由题意得）由题意得 1 2 , 21, 2 3,2 , n n nnkk c nk k N N 所以所以 21321242 ()() mmm Taaabbb 2 (121)2(13

29、 ) 31 213 m m mm m ， 88 分分 2112 2122 312331 mmm mmm TTbmm ， 所以所以 22 2 1212 21 312(1) 33 3131 m m mm m Tmm Tmm ， 17 1010 分分 故若故若 2 21 m m T T 为为 n c中的项只能为中的项只能为 123 ,c c c 1111 分分 若若 2 12 2(1) 3=1 31 m m m ，则，则 1 30 m ，所以，所以m无解无解 1212 分分 若若 2 12 2(1) 3=2 31 m m m ，则，则 12 310 m m ， 显然显然1m 不合题意，不合题意，2m

30、 符符 合题意合题意 当当3m时，即时，即 12 ( )31 m f mm ，则，则 1 ( )3ln32 m fmm ， 设设 1 ( )3ln32 m g mm ，则，则 12 ( )3(ln3)20 m g m ， 即即 1 ( )3ln32 m fmm 为增函数，为增函数， 故故( )(3)0fmf，即，即( )f m为增函数为增函数，故故( )(3)10f mf 故当故当3m时方程时方程 12 31=0 m m 无解，无解， 即即2m 是方程唯一是方程唯一 解解1515 分分 若若 2 12 2(1) 33 31 m m m ，则，则 2 1m ，即，即1m . . 综上所述，综上所

31、述，1m 或或2m 1616 分分 2020 （1 1）当）当a a= = 1 1 时，时，f f ( (x x)=)=x x2 2 2 2x x 1 1，所以函数，所以函数f f( (x x) )在上单调减，在上单调减， 22 分分 由由f f (1)=(1)= ，即，即 1 1 1+1+b b= = ，解得，解得b b=2=2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 44 分分 （2 2） f f ( (x x)=)=x x2 2+2+2axax 1 1 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 x x= = a a， 因为因为=4=4a a2 2+

32、40+40，f f ( (x x)=0)=0 有两个不等实根有两个不等实根x x1,2 1,2= = 2 1aa 55 分分 当方程当方程f f ( (x x)=0)=0 在区间在区间( (a a，+ + ) )上无实根时，有上无实根时，有 , ( )0, aa fa 解得解得 3 3 a 18 66 分分 当方程当方程f f ( (x x)=0)=0 在区间在区间(a，与与 ( (a a，+ + ) )上各有一个实根上各有一个实根 时，有时，有 f f ( (a a)0)0，或，或 ( )0, , fa aa 解得解得 33 33 a 88 分分 当方程当方程f f ( (x x)=0)=0

33、 在区间在区间( (a a，+ + ) )上有两个实根时，有上有两个实根时，有 , ( )0, aa fa 解得解得 3 3 a 综上，当综上，当 3 3 a 时，时，f f( (x x) )在区间在区间( (a a，+ + ) )上是单调增函数；上是单调增函数； 当当 33 33 a时，时，f f( (x x) )在区间在区间( (a a， 2 1aa ) )上是单调减函数，上是单调减函数， 在区间在区间( ( 2 1aa ，+ + ) )上是单调增上是单调增 函数；函数； 当当 3 3 a 时，时，f f( (x x) )在区间在区间( (a a， 2 1aa ) )，( ( 2 1aa

34、，+ + ) )上是上是 单调增函数，单调增函数， 在区间在区间( ( 2 1aa ， 2 1aa ) )上是单调减函数上是单调减函数 1010 分分 （3 3）设）设P P( (x x1 1，f f( (x x1 1)，则，则P P点处的切线斜率点处的切线斜率m m1 1= =x x1 12 2+2+2axax1 1 1 1， 又设过又设过P P点的切线与曲线点的切线与曲线y y= =f f( (x x) )相切于点相切于点Q Q( (x x2 2，f f( (x x2 2)， x x1 1 x x2 2， 则则Q Q点处的切线方程为点处的切线方程为y y f f( (x x2 2)=()=

35、( x x2 22 2+2+2axax2 2 1)(1)(x x x x2 2) )， 所以所以f f( (x x1 1) ) f f( (x x2 2)=()=( x x2 22 2+2+2axax2 2 1)(1)(x x1 1 x x2 2) )， 化简，得化简，得x x1 1+2+2x x2 2= = 3 3a a 1212 分分 因为两条切线相互垂直，所以因为两条切线相互垂直，所以( (x x1 12 2+2+2axax1 1 1)(1)(x x2 22 2+2+2axax2 2 1)=1)= 1 1， 即即(4(4x x2 22 2+8+8axax2 2+3+3a a2 2 1)(

36、1)(x x2 22 2+2+2axax2 2 1)=1)= 1 1 令令t t= =x x2 22 2+2+2axax2 2 1 1 ( (a a2 2+1)+1)， 则关于则关于t t的方程的方程t t(4(4t t+3+3a a2 2+3)=+3)= 1 1 在在t t 2 (1),0)a上有解上有解， 1414 分分 19 所以所以 3 3a a2 2+3=+3= 4 4t t 4 4，当且仅当当且仅当t t= = 时时，取取“=”“=” ， 1 1 t t 1 1 2 2 解得解得a a2 2 ，故，故a a的取值范围是的取值范围是 33 (,) 33 1 1 3 3 1616 分分

37、 徐州市徐州市 20152015 届高三年级第三次质量检测届高三年级第三次质量检测 数学数学参考答案参考答案 21-A21-A如图，连结如图，连结DEDE，交，交BCBC于点于点G G 由弦切角定理，得由弦切角定理，得ABEBCE 44 分分 而而ABECBE ，故，故CBEBCE ， 所以所以BECE 66 分分 又因为又因为DBBE，所以，所以DEDE为圆的直径，为圆的直径， 所以所以90DCE，由勾股定理可得，由勾股定理可得DBDB= =DCDC1010 分分 21-B21-B解法一：解法一： 设设1xy 上任意一点上任意一点, x y在矩阵在矩阵A对应的变换作用下对应的点对应的变换作用

38、下对应的点 ,x y ，则，则 1 22 22 22 22 xxx yyy A， 44 分分 由此得由此得 2 , 2 2 , 2 xxy yyx 66 分分 A B C D E O G 20 代入方程代入方程1xy ，得，得 22 2yx. . 所以所以1xy 在矩阵在矩阵A对应的线性变换作用下的曲线方程为对应的线性变换作用下的曲线方程为 22 2yx1010 分分 解法二：解法二： 22 22 22 22 A， 44 分分 设设1xy 上任意一点上任意一点, x y在矩阵在矩阵A对应的线性变换作用下得到对应的线性变换作用下得到 点点,x y，则，则 22 22 22 22 xx yy ，其

39、坐标变换公式为，其坐标变换公式为 22 , 22 22 , 22 xxy yxy 由此得由此得 2 , 2 2 , 2 xxy yyx 66 分分 代入方程代入方程1xy ，得，得 22 2yx. . 所以所以1xy 在矩阵在矩阵A对应的线性变换作用下的曲线方程为对应的线性变换作用下的曲线方程为 22 2yx1010 分分 21-C21-C解法一：将解法一：将 22cos , 2sin x y 消去参数消去参数，得，得 2 2 24xy， 所以所以 1 C的普通方程为：的普通方程为： 22 40 xyx 44 分分 将曲线将曲线 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程得：的极坐标方程化为直角坐标方

40、程得：40 xy 66 分分 由由 22 40, 40, xyx xy 解得解得 4, 0 x y 或或 2, 2. x y 88 分分 所以所以 1 C与与 2 C交点的极坐标分别为交点的极坐标分别为4,0或或 7 2 2, 4 21 1010 分分 解法二：将解法二：将 22cos , 2sin x y 消去参数消去参数，得，得 2 2 24xy， 所以所以 1 C的普通方程为：的普通方程为： 22 40 xyx 44 分分 所以所以 1 C的极坐标方程为的极坐标方程为4cos 66 分分 代入代入 cos2 2 4 ，得，得 2 cos(2) 42 ， 88 分分 所以所以 1 C与与

41、2 C交点的极坐标分别为交点的极坐标分别为4,0或或 7 2 2, 4 1010 分分 21-D21-D证明：因为证明：因为 222 2,0bcbc a ，所以，所以 2222 ()2a bca bc 同理同理 2222 ()2b acab c 2222 ()2cababc 44 分分 相加得相加得 222222222 2()222a bb cc aa bcab cabc， 66 分分 从而从而 222222 ()a bb cc aabc abc 由由, ,a b c都是正数，得都是正数，得0abc， 因此因此 222222 a bb cc a abc abc 1010 分分 2222取取BD

42、中点中点E，连结，连结AE，CE，则，则AEBD， CEBD，3AECE， 因为因为6AC ，所以，所以 222 AECEAC， 所以所以ACE为直角三角形所以为直角三角形所以AECE， 所以所以AE 平面平面BCD. . 22 分分 以以,EB EC EA分别为分别为, ,x y z轴，建立如图轴，建立如图 所示空间直角坐标系，则所示空间直角坐标系，则 1,0,0 ,0, 3,0 ,0,0, 3BCA， 33 分分 （1 1）设）设,0,0 ,P a= 0,3 , 3CQCA ， A D P Q B C （第 22 题） x z y 22 则则 , 3,00,3 , 3PQPCCQa , 3

43、3 , 3a 2 2222 333663PQaa 2 2 13 6 22 a ， 55 分分 当当 1 0, 2 a时，时，PQ长度最小值为长度最小值为 6 2 66 分分 （2 2）由（）由（1 1）知）知 33 0, 22 PQ ，设平面，设平面ACD的一个法向量为的一个法向量为 n n= =, ,x y z， 由由n nDA ，n nDC 得得 , ,1,0, 30 , ,1, 3,00 x y z x y z ，化简得，化简得 30 30 xz xy ， 取取n n3, 1, 1 ，设，设PQ与平面与平面ACD所成角为所成角为，则，则 310 sin|cos,| 56 5 2 PQ n

44、 故直线故直线PQPQ与平面与平面ACDACD所成角的正弦值所成角的正弦值 为为 10 5 1010 分分 2323 （1 1）当）当n n=3=3 时，时， 3 ()(3 )(3 )abababab， 22 (3 )(3 )a abb ba 22 分分 当当n n=4=4 时，时， 42222 ()464(6)4()abaa ababb abbaabbabab， 2222 (6)16()aabbab ab 44 分分 （2 2）证明：由二项式定理得）证明：由二项式定理得 kknk n n k kn baCba)()() 1()( 0 ， 若若n为奇数，则为奇数，则 )()()()()()()( 113332220 nn n nn n n n n n n baCbaCbaCaCba 23 11333222 ()()()()() ()() nnnnnn nnnn CabCabCabCb ， 分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为 bvauba n 11 )(的形式，其中的形式，其中 * 11 ,u v N， 也即也即qpbvauba n 2 1 2 1 )(，其中，其中aup