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1、平面向量数量积的应用平面向量的数量积及其性质是平面向量的重点内容，在平面向量中占重要的 地位.利用平面向量的数量积及其性质可以处理向量的许多问题.下面举例归纳说明.一、求向量的长度(模)求向量的长度的依据是：a|2 =a a ;设a = (x, y),则a = Jx2 +y2 .例1已知a| = b =5 ,向量a与b的夹角为-,求a+b , |ab .3解：依题意，得 a2 =a2=25, b2 =b2=25a- b=|a| b cos =55 51- =25 .3322二 a +b| = J(a +b)2 = Ja2 +2a b + b2 =725 + 25+25 = 573 .同理，a
2、-b = ,(a -b)2 = a2 -2a b b2 = 25-25 25 =5.二、求解两向量的夹角问题求两非零向量a与b的夹角日的依据是：cose =船；设a= (xi, yi), a bb = (x2, y2),贝 U cos 71 =XiX2_yy2.Xi2 , y；.X22 - y22例2已知a, b是两个非零向量，且a = b = a -b ,求a与a + b的夹角.解：设a与a+b的夹角为6,由|a=b,得|a 2 = b 2.又由 b|2 =ab2 =|a 2 -2a b+|b2.a b =-la 2 .2而 a+b 2 = a|2 +2a b + b 2=3 a 2 , J
3、.a+b = 73 |a ,A_aL(a+b)_ a2 41a 2 近cos-a|a b -3| a一 2，70：2 日 W180： ,.8=30 .三、判断两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据是：若a与b为非零向量，则alb a b = 0;设非零向量 a = (xi, yi),b = (x2, y2),贝Ua_Lbu *忆+必丫2=0.例3 已知a =(4,_3), b =(4,2), c =2a+九b, d=_a +2九b,贝U当实数 人为何值 时，向量cd与a垂直.解：7c =2a+?,b, d=-a +2?lb,.c -d =(2a +油)-(+2 九b)=3a 仙.+a =(3),
4、 b =(T 2),二c d =3( 3) -T 2) =(-12 +3九-9+2X).若(cd) !a ,贝!j (12+3?)(/)十(_9+2)J(3)=0 ,25二九=.6四、判断多边形的形状例4在平面四边形 ABCD中，AB =a, 品=b, CD = c, DA=d,a b =bc =c d =d a ,问该四边形 ABCD是什么图形？解：V ab=bc,b (ac) =0 ,即 b _L(ac);同理，d _L(a -c).由题意，显然有b/d ;同理，a/c .二四边形ABCD是平行四边形.又 b _L(a c), a / cb _La .二 四边形ABCD是矩形.五、求解最值
5、问题例5如图1,在RQABC中，已知BC=a ,若长为2a的线段PQ以点A为中点, 问PQ与BC 的夹角6取何值时，BP|_CQ的值最大？并求出这个最大值.解法一：如图 2, t/ABlAC, ,-,AB羡=0.vAP-AQ, BP=aP-AB, cq=tQ -7C,.BP CQ =(AP -AB) (AQACAP- AC - AB AQ AB AC22122=-a -AP (AC-AB) =-a +- PQ- BC =-a +a cosQ .故当cose =1,即e=0(R与前方向相同)时，BP-CQ的值最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图 3
6、所示的平面直角坐标系.AB =c, |AC =b ,贝1J A(0,0) B(c,0)C(0, b),且 PQ =2a , BC =a .设点 P 的坐标为(x, y),则 Q(-x, -y), x2 +y2 =a2 .-I-l-T，BP=(xc, y),CQ=(-x,-y-b),BC =(-c, b),PQ = (2x, 2y).J. BP CQ =(x -c)( r) +y( -y -b) =-(x2 +y2) +cx -by .c cos -=(-2x)(p) (-2y)b cx by2a2, cx -by =a2 cos6 .二 BP CQ =-a2 +a2cos8 .故当cose =1,即e=0（胃 与前方向相同）时，BPCQ的值最大，其最大值为0.六、求解探索性问题例6已知点A(12)和B(4, _1),问能否在y轴上找到一点C ,使/ACB=90” ,若不能，请说明理由；若能，求出C点坐标.解：假设存在点0(0, y)使/ACB=90),则定量.7 AC+=(-1, y -2),BC=(i y+1),AC：- BC =0 ,，4+(y2)(y+1)=0 ,2, y2 -y +2 =0 .而在方程y2y+2=0中，0,方程无实数解，故不存在满足条件的点C.-4 -