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1、灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用1 绪论1.1 研究的背景灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授于1982年创立的(1), 灰色系统理论这一新兴理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注，不少著名学者和专家给予充分肯定和支持，许多中青年学者纷纷加入灰色系统理论研究行列，以极大的热情开展理论探索及在不同领域中的应用研究工作。目前，英、美、德、日、台湾、香港、联合国世界卫生组织(WHO)等国家、地区及国际组织有许多知名学者从事灰色系统的研究和应用;海内外许高校开设了灰色系统课程;国际、国内多种学术期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。在灰色系统理论发展的
2、同时，灰色系统理论的实际应用日趋广泛，应用领域不断拓展，先后在生命科学、环保、电力，经济、能源、交通、教育、金融等众多科学领域2-7，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题。灰色系统理论经过20年的发展，其蓬勃生机和广阔发展前景正日益广泛地为国际、国内各界所认识、所重视。而灰色GM多维变量又是现代灰色系统理论的核心组成部分，它已成功地应用于经济生活、气象预报、人口预测、电力系统负荷预测等领域，并取得了可喜的成就。灰色模型理论应用于经济预测也已成为国内外专家学者研究的热点，近年来一些专家对灰色预测模型进行了改进，相继出现了无偏GM（1，n）模型、动态多维GM（1,n）模型的应用。对于本
3、课题中的建模和预测，虽然有许多成功的实例，但也有不少偏差较大的实例。用于短期预测时有较好的精度，但用于中长期预测时预测结果就存在较大的误差。近年来不少学者提出对GM模型的改进与适用范围的研究，从不同的角度通过对背景值的改进来提高GM模型建模精度，通过优化灰导数白化值的方法改进了GM模型的建模精度。本文将进一步研究了GM(1,N)模型及其精度，并作出预测和推广应用。1.2研究的目的在灰色系统理论发展及其实际应用日趋广泛、应用领域不断拓展同时，灰色GM（1,N）模型在经济社会领域中尤为特出，如在农业、工业中研究经济效益受各因素的影响预测继而减少经济损失等，有助于国家、国民收入的整体提高。本文将应用
4、GM(1,N)模型对我省的年生产总值进行分析预测，进而分析我省的宏观经济运行的情况。1.3 研究的意义经济是极其复杂的特大系统，随着我国社会主义市场经济的建立，应用数量经济学方法和模型研究宏观经济状态、预测经济发展趋势，具有特别重要的理论意义和实用价值。但是经济系统模型动辄成百上千的方程和浩如烟海的数据，要建立一个经济模型在方程中考虑到所有的经济关系，以求能全面描述经济系统，能模拟并预测该系统的运转，无论在理论上还是在实际应用中都十分困难，沿这个方向所作的种种努力未能收到预期效果。近年来，混沌经济学的发展为人们启开了一条全新的思路，但要用这种非线性的数学方法描述经济系统还有很长的路要走。灰色系
5、统理论和方法提供了另外一种思路:不是从足够多的数据中直接回归计算出一条理论曲线，而是通过对数据的各种处理，减少其随机性，加强数据内在的趋势，这样就有可能用尽可能少的数据建立起描述经济系统的模型。因此，本文运用灰色系统理论的相关方法建立描述并预测我国经济系统的模型，研究我国经济状况，其分析结果对经济政策的制定具有一定的参考价值。1.4 论文的主要研究内容灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立、发现、掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测，从而确定系统未来发展变化的趋势。本文主要是国民经济采用灰色预测方法进行预测。首先分析国民经济构成及其影响因素，然后根据历史数据，建立定义型
6、GM(1,1)，GM (1,N)预测模型对国民经济中第二产业，第三产业，社会固定资产投资的预测，得到较高的精度，并将预测结果与实际造数据进行对比以验证预测模型的有效性。本文的主要工作如下:第二章 详细阐述灰色系统关联模式第三章 详细阐述灰色系统建模概况及GM(1.1)模型的原理第四章 先介绍GM(1.N)模型原理，再用BP神经网络残差修正的GM(1,N)模型，以第二产业、第三产业为例对我省生产总值数据进行预测与应用。最后总结了本文的结论、分析了本文的不足之处，提出今后有待研究的工作。2 灰色系统关联模式2.1 关联分析统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。但是，我们也注
7、意到相关系数具这样的性质: r(xy)=r(yx)，即因素y对因素x的相关程度与因素x对因素y的相关程度相等。暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的.譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗?其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关系数8作比较精确地度量其相关程度的客观大小。为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。对于信息部分明确、部分不明确的灰色系统，我们可采用
8、灰色系统关联分析来对其进行分析和讨论，并用关联度来描述各种信息之间的关联顺序。灰色系统关联分析法9实质上是关联系数的分析。先是求各个方案与由最佳指标组成的理想方案的关联系数，由关联系数得到关联度，再按关联度的大小进行排序、分析，得出结论。这种方法优于经典的精确数学方法，经过把意图、观点和要求概念化、模型化，从而使所研究的灰色系统从结构、模型、关系上逐渐由黑变白，不明确的因素逐渐明确10。该方法突破了传统精确数学绝不容许模棱两可的约束，具有原理简单、易于掌握、计算简便、排序明确、对数据分布类型及变量之间的相关类型无特殊要求等特点，故具有极大的实际应用价值。特别是在计算机科学与技术的支撑下，那些与
9、数学毫不相关或关系不大的学科如生物学、心理学、语言学、社会科学等)都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而使该方法的适用范围大大扩展。灰色关联分析11，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。2.2 灰色关联分析的基本特征1.总体性关联度虽是描述离散函数之间的远近程度的量度，但它强调的是若干个离散函数对一个离散函数远近的相对程度，即要排出关联序，这就是总体性，其将各因素统一置于系统之中进行比较与分析。2非对称性在同一系统中，甲对乙的关联度，并不等于乙对甲的关
10、联度萝这较真实地反映了系统中因素之间真实的灰关系。3非唯一性关联度随着母序列不同、子序列不同、原始数据处理方法不同、数据多少不同、分辨系数不同而不同。4有序性系统中的状态变量不能任意颠倒时序，否则会改变原序列性质。5动态性因素间的灰关联度随着序列的长度不同而变化，表明系统在发展过程中，各因素之间的关联关系也随着不断变化。2.3 灰色关联因素和关联算子集对一个抽象的系统或现象进行分析，首先要选准反映行为特征的映射量，然后确定影响系统主行为的有效因素，通过算子作用，将映射量和各有效因素化为数量级上大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。设为系统因素，其在序号k上的观测数据为:，k=1
11、，2，则称=（，,）为因素的行为序列，若存在：=(，,)其中=/ k=1,2, ,n 则称为初值化算子， 为原象，初值像;若存在 =(,)其中： =/ = k=1,2,n则称为均值化算子， 为均值像;若存在=(,)其中： = k=1，2，n则称为区间值化算子，为区间值像;若存在=(,):其中 =1- k=1，2，n则称为逆化算子， 为逆化像;若存在=(,)其中： =1/ k=1，2，n则称为倒数化算子，为倒数化像。以上将D=|i=1,2,3,4,5称为灰色关联算子集，(X，D)为灰色关联因子空间。由系统因素集合和灰色关联算子集构成的因子空间是灰色关联分析的基础。基于n维空间的距离求出灰色关联度
12、，进而排出关联序。2.4 灰色关联度和关联序灰色关联度简记入，K点关联系数简记为。求灰色关联序可按下述步骤：(1) 求各序列的初值像(或均值像)令 = ( ,) i=0,1,2,m (2)求差序列，记 =(,) i=0,1,2,m (3)求两极最大差与最小差记： M= (4)求关联系数： = k=1,2,.,n i=1,2,m(5)计算关联度： = i =1, 2, m从以上关联度的定义可以看出，它主要取决于各时刻的关联系数的值，而又取决于各时刻与观测值之差(t)。显然，与量纲不同，作图比例尺就会不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响关联度的计算结果。为了消除量纲的影响，增强不同
13、量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联度计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换然后利用变换后所得到的新数据作关联度计算(6)排关联序：当为系统特征行为序列,为相关因素行为序列，为灰色关联度，若，则称因素 优于因素，记为，称为由灰色关联度导出的灰色关联序。2.5 本章小结对于信息部分明确、部分不明确的灰色系统，我们可采用灰色系统关联分析来对其进行分析和讨论，并用关联度来描述各种信息之间的关联顺序。其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的.灰色系统关联分析法可在一定程度上排除人们的主观随意性
14、，使过去凭经验和类比法等处理工程问题的传统做法转向数学化、科学化、人工智能化。基于这样的计算和分析，得出的结论比较全面、客观、公正，相应的决策也就比较正确、合理和有效。3 灰色系统建模系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。第一步:开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。第二步:对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果。第三步:对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。第四步:进一步收集各环节输
15、入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。第五步:对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。这样得到的模型称之为优化模型。3.1 灰色生成灰色系统的一个基本观点是一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处置不是找概率分布或统计规律，而是用数据处理的方法来找数据间的规律。将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理，称为生成。我们称某种数据处理方式为一种生成方式，数据生成就是数据处理。数据
16、处理是灰色系统分析与建模的重要一步。来源于各种渠道的大量资料和统计数字，是进行系统分析与建模的依据，通常称为原始数据。这些数据概括起来有以下几个特点:l)指标不同，且大部分量纲也不同;2)不同指标值之间，数量级大小相差悬殊;3)同一指标的数据大小参差不齐，且大部是离乱的明显的随机性;4)多数数据有一定的灰色度，甚至出现短缺、虚假等现象。为保证模型的质量与分析结果的可靠性，对收集来的大量数据运用各种数学方法和手段进行变换，称为数据预处理。数据经过预处理后，要求基本达到:1)进行系统分折的数据有统一的量纲或无量纲;2)因素或数据列之间为可比的数级;3)随机性明显弱化，可以初步展示其规律性;4)尽可
17、能将指标间的非线性关系变换成线性系;5) 指标数量尽可能减少。3.1.1 灰生成一般有三类层次变换包括累加生成(AGO)、累减生成(IAGO)。这两种生成常用于建模，因此也称建模生成.还有初值化、均值化、区间值化、规一化等生成，叫数据变换.上限效果测度、下限效果测度以及适中效果测度等也是生成，叫极性变换。（1）累加生成:灰色系统理论将在某个幅值区间变化的量，称为灰量;将某个随时间而变化的灰量，称为灰过程.累加生成是灰色系统建模时一种常用的生成，记为AGO，累加生成是灰过程的一种白化方法。因为从累加生成可以看出灰量累积过程的发展态势，可以对原始数据离乱但积分特性蕴含某种规律的情况加以显化。设为原
18、始离散数据序列，=(1),(2),(n) G为一种生成。如果有: G(1),(2),(k)= (k)，则(k)为在k时以前的一次生成; 如果有：G(1), (2), (k)= (k) 则称(k)为在K时刻以前的r次生成。如果有：G(1), (2), (k)= (k)则称(k)为在k时以前的一次生成。简记累加生成为: AGO(k)=(k) , AGO= (3.1)由于一次累加生成用得较多(即上式中r=1)，因此，以后如果没有特别说明，称一次累加生成为累加生成。累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的作用，具有特殊的地位。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。yx(1)(
19、2) 累加生成图示(2)累减生成:对序列求相邻两数据的差，称为累减生成。累减生成是累加生成的逆运算，常记作IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation)，其运算符为a。累减生成可将累加生成还原成原始数据序列，在建模过程用以获得增量信息。设为r次生成数列，对作i次累减生成记为，其关系式为: (k)= (k) (k)= (k)- (k-1) (k)= (k)-(k-1) (k)= (k) - (k-1) (3.2)式中: (0)为0次累减，即无累减; (0)为1次累减，即k一1与k时刻两个零次累减量求差;从式(3.2)还可以得到以下关系: (k)= (
20、k)- (k-1)= (k)- (k-1)-=(k)(k)= (k)-(k-1)= (k)- (k-1)-=(k)(k)= (k)(k)= (k) (3.3)从式(3.3)可以看出对r次生成数列作次累减，即还原为非生成数列。事实上，累加中包含着累减，累减中包含着累加。如:r=1时，有: (k)= +(k)=(k-1)-(k) (k)= (k)- (k-1) 进一步有: (k)= (k)-(k-1) (3)均值生成:均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种。所谓邻均值生成，就是对于等时距的数列，用相邻数据的平均值构造新的数据。即若有原始数列为x=x(1)，x(2)，x(n)，记k无点的生成值为:
21、z(k)，且z(k)=0.5x(k)+0.5x(k一1)，则称:z(k)为邻均值生成值。显然，这种生成是相邻值的等权生成。所谓非邻均值生成，是对于非等时距数列，或者虽为等时距数列，但剔除异常值之后出现空穴的数列，用空穴两边的数据求平均值构造新的数据以填补空穴，即若有原始数列为x=x(1)，x(2),，x(k一1)，(k)，x(k+1),，x(n)，这里(k)为空穴，记无点的生成值为z(k)，且z(k)=0.5x(k一1)+0.5x(k+1)，则称z(k)为非邻均值生成值。显然，这种生成是空穴前后信息的等权生成。3.2 GM( 1 ,1) 模型建模机理3.2.1 GM(1,1)定义型的形式GM(
22、1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型,它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型,是GM(1,N)的一个特例，设已知历史经济增长率的原始数据序列为GM(1 ,1)建模序列. （3.4）利用一次累加生成1-AGO，设为的AGO序列， ， （3.5）令为的均值（MEAN）序列， 则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为 （3.6）3.2.2 GM(1,1)模型参数辨识GM(1,1)的定义型为 : （3.7）以代入上式，有: 上面的方程可以转化为下述的矩阵方程: (3.8)， （3.9） 其中为数据矩阵，为数据向量，为参数向量。利用最小二乘法求解，得到： （3.10）GM(1,
23、1)预测模型把求所得的系数代入到公式，然后求解微分方程，可得灰色GM(1,1)内涵型的表达式为： 其中: ， 接着进行检验，令为残差： 一般要求，最好是。令为精度 （3.11）一般要求，最好是。3.3 本章小结本章作为灰色建模的基础理论，所介绍的几种灰色生成、灰色GM（1，1）模型以及参差的标准，对以后的GM（1，N）的应用的有很重要的铺垫作用。4 GM(1，N)模型及其修正模型在经济中应用4.1 GM(1，N)模型建模机理GM(1，N)模型是一个基于一系列相互关联的系统状态模型，它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，是全方位描述系统征的一种理想方法.定义4.1.1
24、，设=,为行为变量数据序列，而 =, =, =,为因子变量序列，为的1-AGO序列(i=1，2，N)， 为的紧邻均值序列，则称: 为GM(1，N)灰色微分方程。定义4.1.2在GM(l，N)灰色微分方程中，-a成为发展系数，成为驱动项，为驱动系数， 成为参数向量。设为行为变量数据序列， (i=2，3，N)为因子变量数据序列， 为诸的1-AGO序列， 为的紧邻均值生成序列， B= Y=则参数向量=的最小二乘估计满足: =定义4.1.3设=则称: (4.1)为GM(l，N)灰色微分方程:+ (4.2)的白化方程，也称影子方程。定理4.1.2设,(i=1,2,N), ,B,Y如定理4.1.2所述，=
25、则白化方程的解为= (4.3)当(i=1,2,N)变化幅度很小时，可为灰常量，则GM(1，N)的灰色微分方程 (4.4)的近似时间响应式为:(k+1)=+ (4.5)其中取为,对 (4.5)累减还原: (k+1)= (k+1)- (k) (4.6)GM(1，N)差分模拟式为: (k)=-a (4.7)派生模型GM(1，N，): (k)= (4.8)派生模型GM (1，N, ): (k)=派生模型GM(1，N, ): (k)= (4.9)派生模型GM(1，N, exp ): (k)= (4.10)其中: =a/2(1+0.5a)4.2 GM的精度检验4.2.1 相对误差及平均相对误差检验设 按G
26、M建模法求出了，并将仍做一次累减转化为，即= , , (4.11)计算残差为: E= e(1),e(2),e(n)= (4.12) 其中: e(k)= -， k=1，2，n。计算相对误差为: = k=1,2,n (4.13) 相对误差检验法可以逐点检验。计算平均相对误差 (4.14)4.2.2 后验差检验法设按GM建模法所求出的如(4.11)所示，残差如(4.12)所示。设原始序列及残差序列E的方差分别为和，则 : (4.15) 其中: (4.16)计算后验差比为: C= 计算小误差概率为: P=P|e(k)-0.6745 模型的精度由后验差和小误差概率共同刻画。一般地，将模型的精度分为四级，
27、见表4.1。表4.1 模型的精度模型精度等级pc1级（好）0.95pC0.352级（合格）0.80p0.950.35C0.53级（勉强）0.70P0.800.5C0.654级（不合格）P0.700.65c于是 ， 模型的精度级别为max(p)所在的级别，C所在的级别。如设某GM(l，1)模型，按p其精度为1级;而按C其精度为3级，则该模型的精度为max(1,3)=3，即为3级。4.2.3 关联度检验法灰关联分析实质上就是比较数据的曲线几何形状的接近程度。一般来说，几何形状越接近，变化趋势也就越接近，关联度就越大。因而在进行关联分析时，必须先确定参考数列，然后比较其它数列同参考数列的接近程度，这
28、样才能对其它数列进行比较，进而做出判断。设为参考序列，i= 1, 2,m为其它序列。则与的关联系数为: (4.17)其中j=1,2,n从关联系数的计算来看，我们得到比较数列与参考数列在各点的关联系数值，结果较多，信息过于分散，不便于比较，因而有必要将每一比较数列各个时刻的关联系数集中体现在一个值上，这一数值就是灰关联度。灰色关联度为: 设原始数据序列=(,)为参考序列，用m种灰色建模方法所的模型值分别为=(,) i=1,2,m 求出该m个序列与参考序列的邓氏关联度(i=1,2,m)如果(i=1,2,m)在所有关联度中最大，则第i种灰色建模方法为所建模型中最好的模型。4.3 GM(1，N)预测的
29、缺点GM( 1,N)预测效果不十分理想，误差常较大12-13,其中一个因素是GM(1，N)预测包含一个行为变量和多个因子变量，在预测中需要首先对每个因子进行预测，再利用预测结果对行为变量进行预测，这使因子数列预测中的误差将一起传递给行为变量预测值，可能产生较大的误差。4.4 BP神经网络原理BP（Back Propagation）网络是1986年由 Rumelhart 和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使
30、用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小。BP神经网络模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hide layer)和输出层(output layer) （1）：BP算法由数据流的前向计算（正向传播）和误差信号的反向传播两个过程构成。正向传播时，传播方向为输入层隐层输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元。若在输出层得不到期望的输出，则转向误差信号的反向传播流程。通过这两个过程的交替进行，在权向量空间执行误差函数梯度下降策略，动态迭代搜索一组权向量，使网络误差函数达到最小值，从而完成信息提取和记忆过程。设 BP网络的输入层有n个节点，隐层有q个节点，输
31、出层有m个节点，输入层与隐层之间的权值为，隐层与输出层之间的权值为，如图所示。隐层的传递函数为f1()，输出层的传递函数为f2()，则隐层节点的输出为（将阈值写入求和项中）： k=1,2,q 输出层节点的输出为： j=1,2,m 至此B-P网络就完成了n维空间向量对m维空间的近似映射。（2）结构：确定了网络层数、每层节点数、传递函数、初始权系数、学习算法等也就确定了BP网络。确定这些选项时有一定的指导原则，但更多的是靠经验和试凑。1）隐层数的确定：1998年Robert Hecht-Nielson证明了对任何在闭区间内的连续函数，都可以用一个隐层的BP网络来逼近，因而一个三层的BP网络可以完成
32、任意的n维到m维的映照。因此我们从含有一个隐层的网络开始进行训练。2） 每层节点数的确定：使用神经网络的目的是实现摄像机输出RGB颜色空间与CIE-XYZ色空间转换，因此BP网络的输入层和输出层的节点个数分别为3。下面主要介绍隐层节点数量的确定。对于多层前馈网络来说，隐层节点数的确定是成败的关键。若数量太少，则网络所能获取的用以解决问题的信息太少；若数量太多，不仅增加训练时间，更重要的是隐层节点过多还可能出现所谓“过渡吻合”（Over fitting）问题，即测试误差增大导致泛化能力下降，因此合理选择隐层节点数非常重要。关于隐层数及其节点数的选择比较复杂，一般原则是：在能正确反映输入输出关系的
33、基础上，应选用较少的隐层节点数，以使网络结构尽量简单。本论文中采用网络结构增长型方法，即先设置较少的节点数，对网络进行训练，并测试学习误差，然后逐渐增加节点数，直到学习误差不再有明显减少为止。3）训练结果训练一个单隐层的三层BP网络，根据如下经验公式选择隐层节点数： 式中：n为输入节点个数，m为输出节点个数，a为1到10之间的常数。4.5 BP神经网络残差修正GM(1，N)模型若系统动态用一组GM(l, N)模型描述，这些模型发源于一个GM(l，1)模型。将这个GM(l，1)模型的预测值代入下一个GM(l，N)，使其转化为GM(1，1)，这样逐步递推计算，最后获得所有行为变量的预测值，这种解法
34、的灰预测称为系统灰预测。设非负数组为: , 其中=(,)对非负数组初值化=(, ) 其中: =/, i=1,2,N, k=1,2,n (4.18)(1)对建立GM(1，1)模型对非负数据序列: (4.19)进行一次累加(AGO)得 (4.20)其中。建立一次累加序列的白化微分方程为: (4.21)白化微分方程的离散解为: =(1)-b/a)+b/a=- (4.22)累加数据残差序列为: (4.23) 使用BP神经网络对进行预测，使用的BP神经网络为三层，输入层和输出层分别为1个神经元，隐含层神经元数目根据需要选取合适的值。输入为年份，目标为。对BP神经网络进行训练后，以预测年份为输入，得到相应
35、的残差预测。修正 后 预 测值： =+ (4.24)(2) 对和建立GM(1，2)模型对非负数据序列 =(1),(2),(n) ,=(1),(2),(n) 分别进行一次累加(AGO)得: =(1),(2),(n)=(1),(2),.(n) 其中: =，= 建立GM (1，2) 模型的白化微分方程为： (4.25)白化微分方程的离散解形式为：=（-）+ (4.26)其中: k=1，2，n一1。当进行预测时，预测模型为：=（-）+ (4.27)其中: k=n，n+1,。累加数据残差序列为: =- (4.28)使用BP神经网络对进行预测，使用的BP神经网络为三层，输入层取2个神经元，输出层取1个神经
36、元。输入为年份及其对应的目标为。对BP神经网络进行训练后，以预测年份为输入及其对应的，得到相应得残差预测，修正后预测值为: =+ (4.29) (3)同理,对,和建立残差修正GM(l，3)模型，所用残差修正的神经网络输入层神经元数目为3，输入为年份及其对应的,，目标为；对,和建立残差修正GM(l，4)模型，所用残差修正的神经网络输入层神经元数目为4，输入为年份及其对应,，目标为;一直做到对,建立残差修正GM(1，N)模型，所用残差修正的神经网络输入层神经元数目为N，输入为年份及其对应的.，目标为。所建的残差修正CM(l，N)模型为:=+ (4.30) 进行 累 减 得原始数据序列为: =- (
37、4.31)4.6 应用实例以 河南省1994.5-2007.4年的GDP、第二产业、第三产业进行说明14。表4.1为原始数据。以1994-2007的数据为基础，对2008.4之前的河南省生产总值数据进行预测。表 4.2 河南省1994- 2007年的省GDP、第三产业、第二产业(千万元)K年份GDP第二产业第三产业1199421617.89102.27227.02199526638.111699.59138，63199634634.416428.511323.24199746759.422372.214930.05199858478.128537.917947.26199967884.6336
38、12.920427.57200074462.637222.723028.78200178345.238619.325173.59200282067.540557.827037.710200389468.144935.329904.611200497314.848750.033153.0122005105172.352980.2360748132006117390.261274.139188.0142007136875.972387.243720.6第一 ， 对 1994一2007年的数据序列进行初值化处理。对处理后的第三产业进行GM(1，1) 建模及预测，得到2007累加值预测值以及相应的累加
39、值残差。如表4.2.再以年份为输入，残差为目标进行BP神经网络的训练，神经网络隐含层神经元数目取为10。训练后以2007年份为输入，得到加07年的残差的预测值。表4.3 第三产业GM(1,1)建模结果年份原始累加模型累加残差K11994ll0219952.26452.7247-0.4602319963.83144.6471-0.81576419975.89726.79-0.89273519988.38069.1785-0.797866199911.20711，841-0.633627200014.39414.808-0.414678200117.87718，116-0.239159200221.61821.803-0.1848910200325.75625，913-0.156631l200430.34330.493-0.15002l2200535.33535.599-0.26428l3200640.75741.291-0.53312l4200746.807第三产业模型为: =15.0441-14.0441第三产业2007累加值预测相关结果见表4.5。第二 ，对第二产业、第三