《三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 实用文案三角形“四心”向量形式的充要条件应用1O 是 DABC的重心 OA OB OC 0+=;13= S= S=S若 O 是 DABC的重心，则S故D ABCOA OB OC 0=+D B OCD AOCD AOB;u u urPGu u ur( PAu u ur+ PBu u ur+ PC13 G 为DABC 的重心.=)2O 是 DABC的垂心 OA OB OB OC OC OA=;若 O 是 DABC(非直角三角形)的垂心，则S： S： S= tan A：tan B：tan CDBOCDAOCDAOB故tan AOA tan BOB tan COC 0=+3O 是 DABC的外心 |
2、 OA |=| OB |=| OC|(或OA2)OB OC=2=2：S ：S= sinBOC：sinAOC：sinAOB= sin2A : sin2B : sin2C若 O 是 DABC的外心则SDBOCDAOCDAOB故sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 0=+ABACACBABCCACB4O 是内心 DABC的充要条件是OA (-) = OB (-) = OC (-) = 0| AB | BA | BC | CA | CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB, BC, CA 的单位向量为e ,e ,e ，则刚才 O 是123OA (e + e ) = OB (e
3、 + e ) = OC(e + e ) = 0DABC内心的充要条件可以写成，O 是131223DABC 内 心 的 充 要 条 件 也 可 以 是aOA bOB cOC 0=+。 若 O 是 DABC 的 内 心 ， 则S： S： S= a： b： cDBOCDAOCDAOB故+= 或aOA bOB cOC 0 sin AOA sin BOB sin COC 0+=;Auuur uuur uuur uuur uuur uuur r| AB | PC+ | BC | PA+ | CA | PB = 0 Puuur uuur向量 ( AB AC )(是DABC 的内心;e20)Cl uuur +
4、 uuur l 所在直线过 DABC的内心 (是 BAC 的角平B| AB | | AC |P分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1 O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足AB AC+AB AC)OP = OA + l ()，l 0,+ 则 P 点的轨迹一定通过 DABC 的（）标准文档 实用文案（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心uuuruuur uuurABAB解析：因为是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为e 和 e ， 又12OP - OA = AP ，则
5、原式可化为 AP = l (e + e ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在12DABC 中，AP 平分BAC ，则知选 B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”H是ABC所在平面内任一点，点 是ABC的垂心.H例 2由HA HB = HB HC = HC HA ,HA HB = HB HC HB (HC - HA) = 0 HB AC = 0 HB ACH ABC的垂心. （反之亦然（证略）.故 是 BC同理，HC ABHA例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若 PA PB = PB PC = PC PA ，则 P 是ABC 的（D ）A外心 B内心
6、C重心 D垂心解析:由 PA PB = PB PC得PA PB - PB PC = 0 .即 PB(PA- PC) = 0,即PBCA = 0则 PB CA,同理PA BC, PC AB 所以 P 为 DABC 的垂心. 故选 D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”GG例 4重心.证明 作图如右，图中GB + GC = GEBE CECE=GB BE=GC BGCED BCAD BC的中点， 为连结和 ，则，为平行四边形是边上的中线.将代入=0，GB + GC = GEGA+ GB + GCGABC的重心.（反之亦然（证略）得=0，故 是GA+ EG GA = -GE = -2G
7、DP是ABCG ABC的重心所在平面内任一点. 是13例 5证明) .(PA+ PB + PCPG =PG = PA+ AG = PB + BG = PC + CG 3PG = (AG + BG + CG) + (PA + PB + PC) 是ABC的重心 G=0=0，即 AG + BG + CG 3PG = PA+ PB + PCGA+ GB + GC标准文档 实用文案13由此可得(PA+ PB + PC) .（反之亦然（证略）PG =uuur uuur uuur r例 6 若O 为 DABC 内一点，OA+ OB + OC = 0 ，则O 是DABC 的（）A内心B外心C垂心D重心uuur
8、 uuur uuur r uuur uuur uuur解析：由OA+ OB + OC = 0得OB +OC = -OA ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则uuur uuur uuur uuuruuur， OA = 2 OE ，同理可证其它两边上的这个性1，由平行四边形性质知OB + OC = ODOE = OD2质，所以是重心，选 D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查uuur uuur uuur例 7 若O 为 DABC 内一点， OA = OB = OC ，则O 是DABC 的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知 到DABC 的三顶点距离相等。故 是D的外
9、心 ，选 B。OOABC(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，OPOPOPOPOPOPOPOPOP123123123求证 P P P是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 组第 6 题）B1 2 31证明 由已知+=-，两边平方得OP OP= ，-OPOPOP1231221同理OP OP=OP OP= ，-23312P P|是正三角形.P|= ，从而P P31 2 3|=|=|P P1 2P P2 33 1OP P P的中心，则显然有反之，若点 是正三角形+=0 且|=|=|.OP1 2 3OPOPOPOPOP123123OABC所在平面内一
10、点，即 是P P的中心.O P| 点 是正OP1 2 3+=0 且|=|=|OPOPOPOPOP123123例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B标准文档 实用文案（x ,0）、C(x ,y )，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：122xx + x yx yxD（ ,0)、E (, )、F ( , ) 由题设可设Q（ , y )、H (x , y ),112222122uuuur22 2uuur
11、2324x + x yxx y(, ) AH = (x , y )，QF = ( - , - y )yG122212332 2 224322uuurBC = (x - x , y )212uuuur uuurAH BCuuuur uuurFHQEGAH BC = x (x - x ) + y y = 022124x (x - x )Qx y = -22y14ADB(x ,0)2uuur uuuurQF ACuuur uuuur1QxxyQF AC = x ( - ) + y ( - y ) = 02122 2x (x - x ) y2223 y =+22122y232uuuurQH = (x
12、- , y - y ) =（x2x - x3x (x - x ) y,- )121222y122222432uuurQG = (x + x x y- , - y ) =（2x - x yx (x - x ) y, - )2112212222y1232 33x (x - x ) y632322x - x1 2x - x- ) = (3x (x - x ) y= (,-,- )261226y1221222y12632222uuuur= QH13uuuur uuur即QH =3QG ，故Q、G、H三点共线，且Q G：G H=1：2O、HABC的外心和垂心 .求证例 10若分别是OH = OA+ OB
13、 + OCHOBODAD CD连并延长交外接圆于 ，连结， .，CH AB，H，CD.又垂心为 ，AD AB BCAH BCAH CD CH AD ， ，四边形AHCD为平行四边形，标准文档 实用文案，故.OH = OA+ AH = OA+ OB + OCAH = DC = DO + OC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.O G H例 11
14、设 、 、 分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.1求证OG = OH3G是ABC的重心13证明 按重心定理(OA+ OB + OC)OG =1按垂心定理由此可得OG = OH.OH = OA+ OB + OC3一、“重心”的向量风采uuur uuur uuur【命题 1】 G 是ABC 所在平面上的一点，若 GA+ GB + GC = 0，则G 是ABC 的重心如图.CPABMGACABO图图【命题 2】 已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuuruuur uuurl (0， ，+ ，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心.)OP = OA +
15、 l (AB + AC)uuuruuur uuuruuur uuur)l(l()l (0， )【解析】 由题意 AP = AB + AC ，当 + 时，由于 AB + AC 表示 BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心，如图.二、“垂心”的向量风采标准文档 实用文案【命题 3】是ABC 所在平面上一点，若，则 是的垂心PPA PB PB PC PC PA=PABCuuur uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur 同理可证【解析】 由 PA PB = PB PC ，得 PB (PA - PC) = 0 ，即
16、 PBCA = 0 ，所以 PB CAuuur uuur uuur uuurPC AB ， PABC P 是ABC 的垂心如图.ACEMCHPBPBAF图图O【命题 4】 已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuurABuuuruuurACuuur uuurOP= OA+ uuur， (0，+ ) ，则动点 的轨迹一定通过的垂心llPABCAB cos B AC cosCuuurABuuurACuuurABuuurACuuuruuur BC = 0 ，【解析】 由题意AP = l uuur+ uuur，由于 uuur+ uuurAB cos B AC c
17、osCAB cos B AC cosCuuur uuurAB BCuuur uuurAC BCuuuur uuuur= BC - CB = ,所以uuuruuru即0表示垂直于 BC 的向量，即 点在过点 且APPAuuur+ uuurAB cos B AC cosC垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【 命 题 5 】 已 知 I 为 ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 AB = c ， AC = b ， BC = a 若uur u ur u uraIA+bIB+cIC = 0，则 I 是ABC 的内心CBOacPIBA
18、ACb标准文档 实用文案图图uur uur uuur uur uur uuuru ur uuur uuur【解析】 IB = IA+ AB ， IC = IA+ AC ，则由题意得(a + b + c)IA + bAB + cAC = 0，uuur uuurAB ACuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurbAB + cAC = AC AB + AB AC = AC AB uuur + uuurAB AC，uuur uuurAB ACuuur + uuurAB ACuuurABuuurACuurAI =uuur uuur和 AC 方向上的单位向量，bca
19、+ b + c uuur 与 uuur 分别为 ABABACuur AI 与BAC 平分线共线，即 AI 平分BAC 同理可证： BI 平分ABC ，CI 平分ACB 从而 I 是ABC 的内心，如图.【命题 6】 已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuur uuurAB ACuuur uuurr + uuur ， + ) ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心l (0，OP = OA+ l uuuAB ACuuur uuurAB ACuuuruuur表示BAC 的平分线所在直线【解析】 由题意得r + uuur ，当l + ) 时， APAP =
20、 l uuu (0，AB AC方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，如图.四、“外心”的向量风采uuuur uuuur uuuur【命题 7】 已知O 是ABC 所在平面上一点，若OA2，则O 是ABC 的外心2= OB= OC2BCPMBOACAO标准文档 实用文案图图uuur uuur uuuruuurOAuuurOBuuuruuur uuur uuur， OA = OB = OC ，则 是OC222=2=2=OABC【命题 7】 已知 O 是平面上的一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足uuurOP，l (0，+ ) ，则动点 的轨迹一定通过=+PA
21、BC2uuur uuurOB +OCuuruBC)l2的向量（注意：理由见二、4 条解释。），所以 P 在 BC 垂直平分线上，动点 P 的轨迹一定通过ABCOABC1已知 、 、 是平面上不共线的三点， 是三角形1 1P+2OC ),则点 一定为三角形3 2边中线的三等分点（非重心）C.重心边的中点1 1ABM+OP，由3 22标准文档 实用文案= 3OM + 2MC，即点 为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且P3OP，2MP = MC3P点 不过重心，故选 B.uuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuurBC OB CA OC22在同一个平面上有 DAB
22、C 及一点满足关系式：2O A222uuuuuur2，则为DABC的（ D ）C 重心 D 垂心AB 外心 内心uuur uuur uuur2已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： PA+ PB + PC = 0 ，则 P 为DABC 的（ C ） 外心3已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：（ C ） 内心C 重心D 垂心OP = OA+ l (AB + AC)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：uuur uuur uuur uuur u
23、uur uuurPA PC + PA PB + PB PC = 0，则 P 点为三角形的（ D ） 外心 内心C 重心D 垂心uuuruuuruuur5已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：a PA+ b PB + c PC = 0 ，则 P 点为三角形的 外心（ B ） 内心C 重心D 垂心6在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CA2 = CB2 - 2ABCP，则 P 点轨迹一定通过ABC 的：（ B ） 外心 内心 C 重心D 垂心ABACAB AC 1= , 则ABC 为( )7.已知非零向量AB与AC满足(+)BC=0 且 2|AB| |AC|AB| |AC|A
24、.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形标准文档 实用文案uuurABuuurAC解析：非零向量与满足 (ABC， AB AC= ，又uuur + uuur )=0 ，即角| AB | | AC |的平分线垂直于uuur uuurAB AC1pAABCD为等边三角形，选 ， = ，所以cos A = uuur uuur =2| AB | | AC |38.DABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH m=(OA+ OB + OC)，则实数 m =19.点 O 是DABC 所在平面内的一点，满足 OAOB = OB OC = OC OA ，则点 O
25、是DABC 的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（C）三条中线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（D）三条高的交点10. 如图 1，已知点 G 是DABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且uuuuv uuuvAM = xAB，uuuvuuuv1 1，则AN = yAC+ = 3 。x yuuuv uuuv uuuvO点 G 是DABC 的重心，知GA+ GB + GC = ，证uuuv uuuv uuuvuuuv uuuvuuuvuuuv uuuv1得-AG + (AB - AG) + (AC - AG) = ，有O。又 M，N，G 三点共线（A 不在直
26、线AG = (AB + AC)3MN 上），uuuvuuuuvuuuvm ( l m 1)l ml于是存在 , ，使得 AG = AM + AN+ =且，uuuvuuuvuuuvuuuv uuuv(AB + AC)13lm有 AG = xAB + yAC =，l m 1 + =1 1得，于是得+ = 3 。x y13l mx = y =标准文档 实用文案1、课前练习1.1 已知 O 是ABC 内的一点，若222OA = OB = OC，则 O 是ABC 的 D、内心A、重心B、垂心C、外心( ) ( )1.2 在ABC 中，有命题 AB - AC = BC ； AB + BC + CA = 0
27、；若 AB + AC AB - AC = 0，则ABC 为等腰三角形；若 AB AC 0 ，则ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、B、C、D、例 1、已知ABC 中，有1,试判断ABC 的形状。AB AC+AB ACAB AC= 0 和=BC2 AB AC 练习 1、已知ABC 中，AB = a ，BC = b ，B 是ABC 中的最大角，若 a b 0 ，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，满足O 是ABC 的 222222OA + BC = OB + AC = OC + AB ，则标准文档 实用文案A、
28、重心B、垂心C、外心D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题( )AB AC例 3、已知 P 是ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足OP = OA + +,l 0,l，+ AB AC 则动点 P 一定过ABC 的 A、重心B、垂心C、外心D、内心练 习 2 、 已 知 O 为 平 面 内 一 点 ， A 、 B 、 C 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 动 点 P 满 足1 ( )l,l 0,OP = OA + AB+BC +，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的 2A、重心B、垂心C、外心D、内心例 4 、 已 知 O 是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ，
29、 动 点 P 满 足( )，则动点 P 一定过ABC 的 ,l 0,ABAClOP = OA + + AB cos B AC cosC A、重心B、垂心C、外心D、内心练 习 3 、 已 知 O 是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 动 点 P 满 足+ OC ABAC ( )OBl,l 0,OP =+ +，则动点 P 一定过ABC 的 2 AB cos B AC cosC A、重心B、垂心C、外心 D、内心例 5 、已知点 G 是的重心，过 G 作直线与 AB、 AC 分别相交于 M、N 两点，且1 1AM = x AB, AN = y AC ，求证：+ = 3x y7、作业1、已
30、知 O 是ABC 内的一点，若OA + OB + OC = 0 ，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心标准文档 实用文案2、若ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且OA + OB + OC = 0 ，则OA OB 等于 1212A、B、0C、1D、-a b c3 、已知 O 是 ABC 所在平面上的一 点， A、B、C、所 对的过分别是、 、 若a OA + b OB + c OC = 0 ，则 O 是ABC 的 A、重心B、垂心C、外心D、内心4、已知 P 是ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足 AB + AC = 3AP ，则 P 是ABC 的 A、重心B、垂心C、外心D、内心5、平面上的三个向量OA 、OB 、OC 满足OA + OB + OC = 0 ， OA = OB = OC = 1，求证：ABC 为正三角形。6、在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM2，求OA(OB + OC)标准文档