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1、圆锥曲线选填练习一选择题（共8小题）1已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （） AB2C2D2已知椭圆x2+y2=a2（a0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（） AB或 C或D3如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（） ABCD34已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1
2、P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（） ABCD5若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（） ABCD6已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（） ABCD7设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（） ABCD28已知F1、F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若在双
3、曲线上的点P满足F1PF2=60，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（） A2BCD二填空题（共7小题）9已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为 10已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（1，0）的直线l与抛物线C交于两点M，N，若MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 11过双曲线的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双
4、曲线的离心率为 12设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围 13直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为 14椭圆：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于 15椭圆+=1（a为定值，且a）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的
5、直线与椭圆交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （） AB2C2D【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2）a，则|AF2|=2am=（22）a，在直角三角形AF1F2中
6、，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2）2a2+4（1）2a2，c2=（96）a2，则e2=96=，e=故选：D【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题2已知椭圆x2+y2=a2（a0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（） AB或 C或D【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B两点同在椭圆内或椭圆外”求解【解答】解：根据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外或或故选：B【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系
7、，来考查点与椭圆的位置关系当点（x0，y0）在椭圆内，则有，点（x0，y0）在椭圆外，则有3如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（） ABCD3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n
8、），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=1，又（c+）2+（）2=（xc）2+y2，可得x=，y=，将C（，）代入双曲线方程，可得=1，化简可得（b2a2）=a3，由b2=c2a2，e=，可得（2e21）（e22）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|CF|=|AE|AF|=2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=mn，化简可得m=3n，又mn=2a
9、得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e=故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题4已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（） ABCD【分析】双曲线，右焦点F（5.0），A1（3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A1，M三点共线，知，故m=，由P
10、，A2，N三点共线，知，故n=，由，和，能求出a的值【解答】解：双曲线，右焦点F（5，0），A1（3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），P，A1，M三点共线，m=，P，A2，N三点共线，n=，=（a5）2+=（a5）2+，（a5）2+=0，25a290a+81=0，a=故选：B【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用5若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（） ABCD【分析】因为双曲线即关于
11、两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率【解答】解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（c，0），渐近线方程为y=x根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到y=x的距离，d=b，又焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b=2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2a2）=c2，3c2=4a2，即e2=，e=故选：B【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关
12、键是找到a，c的齐次式6已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（） ABCD【分析】y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22） A，B的中点坐标是（，） 因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直 =+m，由此能求得m【解答】解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上
13、，且AB与直线垂直 =+m，x12+x22+m，x2+x1=，因为，所以x12+x22=（x1+x2）22x1x2=，代入得 ，求得m=故选：B【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化7设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（） ABCD2【分析】由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率【解答】解：不妨设
14、OA的倾斜角为锐角向量与同向，渐近线l1的倾斜角为（0，），渐近线l1斜率为：k=1，=e211，1e22|AB|2=（|OB|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|OA|）2|AB|，|AB|=2（|OB|OA|），|OB|OA|=|AB|，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列|OA|+|OB|=2|AB|，|OA|=|AB|在直角OAB中，tanAOB=，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（AOB），=，2k2+3k2=0，k=（k=2舍去）；=，=e21=，e2=，e=故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角
15、的正切值，是解题的关键8已知F1、F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足F1PF2=60，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（） A2BCD【分析】假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a22c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率【解答】解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+xOP为三角形F1F2P的中线，根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a22c
16、2进而可知c2+5a2=14a22c23a2=c2故选：C【点评】本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二填空题（共7小题）9已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为【分析】设Q（x0，y0），（y00，x00），求出直线ND的方程，再求出N的坐标，根据四边形OQMN=SOQM+SOMN=2|y0|+，利用基本不等式即可求出【解答】解：设直线MQ的中点为D，由题意知NDMQ，直线ND的斜率存在，设Q（x0，y0），（y00，x00），点D的坐标为
17、（，），且直线MQ的斜率kMQ=，kND=，直线ND的方程为y=（x），令x=0，可得y=，N（0，），由+y02=1可得x02=33y02，N（0，），S四边形OQMN=SOQM+SOMN=2|y0|+2|=|y0|+|=2|y0|+，即y0=，x0=等号成立，故Q的横坐标为，故答案为：【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的性质的应用，考查转化思想，属于中档题10已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（1，0）的直线l与抛物线C交于两点M，N，若MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（，）【分析】设经过点A
18、（1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，根据根与系数的关系以及0，即可求出k2的范围，再根据直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点则直线l与双曲线的渐近线平行，求出b2=，根据离心率公式结合k2的范围即可求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，则=1，即m=4，抛物线C：y2=4x，设经过点A（1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x+（2k24）x+k2=0，解得1k1且k0x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=4，F（1，0），=（1
19、x1，y1），=（1x2，y2），=（1x1）（1x2）+y1y2=1+x1x2（x1+x2）+4=8，MFN是锐角，=80，解得k2，k21，双曲线4x2+ny2=1的渐近线方程为y=2x，直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，|k|=2，=，双曲线4x2+ny2=1，即+=1，a2=，b2=e2=1+=1+k2，e22，e，故答案为：（，）【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系以及直线和双曲线的位置关系，考查了向量的运算和离心率的求法，考查了运算能力和转化能力，属于难题11过双曲线的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E
20、为线段FP的中点，则双曲线的离心率为【分析】先设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F为抛物线的焦点 O为FF的中点，E为FP的中点所以OE为PFF的中位线，得到PF=2b，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率【解答】解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F为抛物线的焦点 O为FF的中点，E为FP的中点所以OE为PFF的中位线，那么OEPF因为OE=a 那么PF=2a 又PFPF，FF=2c 所以PF=2b 设P（x，y） x+c=2a x=2ac 过点F作x轴的垂
21、线，点P到该垂线的距离为2a 由勾股定理 y2+4a2=4b24c（2ac）+4a2=4（c2a2）得e=故答案为：【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题12设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围【分析】当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，2），这时=当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（x1，3y1），向量PB=（x2，y23），所以=，因为直线y=kx
22、+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）24（9k2+4）450，所以k3或k由此入手能够求出的范围【解答】解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，2），这时=当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（x1，3y1），向量PB=（x2，y23），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）24（9k2
23、+4）450，所以k或k，设=，则x1=x2，因为x1+x2=，x1x2=，所以（1+）x2，（1）x22=，（2）显然不等于1，解得01综上所述的范围是）故答案为：）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化13直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为【分析】由椭圆的方程求出椭圆的左焦点，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到PQ中点M的横坐标，再由FMO是以OF为底边的等腰三角形得
24、到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求【解答】解：由，得a2=2，b2=1，所以c2=a2b2=21=1则c=1，则左焦点F（1，0）由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0所以则PQ的中点M的横坐标为因为FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以解得：所以直线l的方程为故答案为【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了设而不求的方法，解答此题的关键是由FMO是以OF为底边的等腰三角形得到M点的横坐标，此题是中档题14椭圆：=1（ab0）的左右焦点分
25、别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角=60又直线与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1，可得，进而设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角与斜率有关系=tan，=60又椭圆的一个交点满足MF1F2=2MF2F1，设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得该椭圆的离心率e=故答案为【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基
26、础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法15椭圆+=1（a为定值，且a）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的右焦点E如图：由椭圆的定义得：FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当AB过点E时取等号；FAB的周长：AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；FAB的周长的最大值是4a=12a=3；e=故答案：【点评】本题主要考察椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口第23页（共23页）