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1、空间向量及其运算课时分配:第一课第二课空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算1 个课时1 个课时第三课 空间向量的数量积运算1 个课时第四课空间向量运算的坐标表示1 个课时3. 1.1空间向量及其加减运算【教学目标】1 了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方 法；2 理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3 会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。【教学重点】点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。【学前准备】：多媒体，预习例题教学课程第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注1空间
2、向量的概念：在空间，我 注：（1）空间的一个平们把具有大小和方向的量叫做向移就是一个向量；量 （ 2 ）向量一般用有向一、复习引入空间向量的运算2. 定义：与平面向量运算一样， 空间向量的加法、减法与数乘向线段表示 同向等长的 有向线段表示同一或 相等的向量；量运算如下（如图） （ 3 ）空间的两个向量可用同一平面内的两aBrvr vrvvrrb aCbOADDaaBCbCbA条有向线段来表示。 思考：运算律：（1）加法交换v v律： a +b =b +aAB（2）加法结合律： v v v v( a +b ) +c =a +( b +c )r vOB =OA +AB =a +brBA =OA
3、-OB =a -b rOP =la(lR)；（3）数乘分配律： v vl(a +b ) =la+lb3平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量ra到 A BCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD A BCD它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平 行六面体的棱。4平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向 量叫做平行向量。由于任何一组 平行向量都可以平移到同一条直 线上，所以平行向量也叫做共线 向量。r向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且 只有 一个实数r ，使 。这个定理称为平面向量共线r定理，要注意其中对向量 a 的非零 要求。rva / brrrrrab1
4、共线向量由于空间中任意两个与平面向量一样，如果表示空 向量都是共面的，所以间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量叫做r共线向量或平行向量。a 平行于 b r记作 。和上节我们学习的空间向量的定 义、表示方法、空间向量的相等 以及空间向量的加减与数乘运算上述定理和推论仍然 是平向量有关定理的 推广，因此它们的证明 只是需要先确定一个 平面，转化为平面向量 问题即可。推论证明如下：和运算律都是平面向量的推广一lr/ a样，空间向量共线（平行）的定对于 l上任意义也是平面向量 相关 知识的推一点 P，存在唯一的实二.探究新知 （25 分钟）r广。 数 t，使得 AP =t a 。r当
5、我们说向量 a 、 b 共线（或 (*)r ra / b ）时，表示 a 、 b 的有向线 又 对 于 空 间段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线。2共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个r r r r向量 a 、 b （ b 0 ），a / b 的充r要条件是存在实数 ，使 r。推论：如果 l 为经过已知点 Ar且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线任 意 一 点 O ， 有 AP =OP -OA ， OP -OA =t ra OP =OA +t ra 。 若 在 l 上 取 AB = ra ， 则 有 OP =OA +t AB 。(*)
6、又 AB =OB -OAl上的充要条件是存在实数 t 满足等式OP =OA +t (OB -OA )x , yx , yOP =OA +t=(1 -t )OA +tOB。ra。其中向当t =12时 ，r量 a 叫 做直 线 l 的1OP = (OA +OB ) 2。方向向量。3向量与平面平行：（ 1 ）表达式和 都叫做空间直线的已 知 平 面 a 和 向 量 a ， 作 向量参数表示式，式OA =a，如果直线 OA 平行于 a或 是线段的中点公式。事在 a内，那么我们说向量 a 平行于 实 上 ， 表 达 式 (*) 和平面a，记作： a /a。 (*) 既是表达式和通常我们把平行于同一平面
7、的基础，也是直线参的向量，叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。4共面向量定理：数方程的表达形式。 （ 2 ）表达式和三角形法则得出的， 可以据此记忆这两个MbBpP公式。（3）推论一般A AaO如果两个向量 a , b 不共线，p用于解决空间中的三 点共线问题的表示或 判定。与向量 a , b 共面的充要条件是存 在实数 使 p =xa +yb证明：（充分性）设向量 a , b 不共线，p与向量 a , b 共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实 数 使 p =xa +yb 。（必要性）设存在实数 x , y 使 p =xa +yb 取空间任意一点 M，作MA =a , MB
8、=b , MA =xa , A P = yb ，则 MP =xa +yb = p ，于是点 P在平面 MAB 内，向量p/平面 MAB，即 p 与向量 a , b 共面。推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ，使MP =xMA +yMB 或 对 空间任一点O，有OP =OM +xMA +yMB或OP =xOA +yOB +zOM ,( x +y +z =1) 上面式叫做平面 MAB 的向 量表达式。1 已 知A, B, C三 点 不 共 线 ， 对 平 面 外 任 一 点 ， 满 足 条 件 ：1 2 2OP = OA + OB + OC ，5 5
9、 5试判断：点 P 与A, B, C是否一定共面？三.巩固练习，解：由题意： 5OP =OA +2OB +2OC ( OP -OA ) =2( OB -OP ) +2( OC -OP ) ， AP =2 PB +2 PC ，即 PA =-2PB -2 PC，（20 分钟）所以，点 P 与A, B, C共面。2已知ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量OE =kOA, OF =kOB, OG =kOC, OH =kOD ，（1）求证：四点E , F , G , H共面；（2）平面 AC /平面 EG 。解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AC =AB +AD EG =OG -OE
10、，=k OC -k OA =k (OC -OA) =k AC =k ( AB +AD )=k (OB -OA +OD -OA) =OF -OE +OH -OE=EF,F+,GEH,H共面；（ 2 ） EF =OF -OE =k (OB -OA ) =k AB ， 又 EG =k AC，EF / AB, EG / AC所以，平面 AC / 平面 EG 。向量平行于平面和直线平行于平面 是不同的，要注意其共同点与不同点；共四小结谈收获面向量定理中，条件的必要性实际上就是 平面向量基本定理，该定理说的是三个向 量共面的性质，它在空间中也成立。完成课后习题1 已 知 两 个 非 零 向 量 e , e
11、 不 共 线 ， 如 果 AB =e +e ，1 2 1 2AC =2e +8e ， AD =3e -3e ，求证： 1 2 1 2A, B, C , D共面。证明： AB =e +e ， AC =2e +8e ， AD =3e -3e ，1 2 1 2 1 2 AD =3e -3e =5(e +e ) -(2 e +8e ) 1 2 1 2 1 2=5 AB -ACA, B, C , D共面。2 已知a =3 m -2 n -4 p , b =( x +1)m +8 n +2 yp a 0 ，若 a / b ，求实数 x , y 的值。，A1FD1EHB1CG1解 ： a / bDC五.布置
12、作业3m -2 n -4 p =l( x +1)m +8n +2 yp ABl(x +1) =3,8l=-2,2 yl=-4x =-13, y =8。3如图，E , F , G , H 的中点，分别为正方体 AC 的棱 A B , A D , B C , D C1 1 1 1 1 1 1 1 1求证：（1）E , F , D , B四点共面；（2）平面 AEF/平面 BDHG 。4已知E , F , G , H分别是空间四边形 ABCD 边AB, BC , CD , DA的中点，（1）用向量法证明：E , F , G , H四点共面；（2）用向量法证明： BD /平面 EFGH 。AEHBDF
13、GC六教学反思3.12 空间向量的数乘运算【学前准备】：多媒体，预习例题【教学目标】1 了解空间向量基本定理及其推论；2 理解空间向量的基底、基向量的概念。理解空间任一向量可用空间不共 面的三个已知向量唯一线性表出。3 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会 用联系的观点看待事物。【教学重点】向量的分解（空间向量基本定理及其推论）【教学难点】空间作图教学课程第二课教学环节导案/学案1 空间向量的概念：在空间， 我们把具有大小和方向的量叫做向师生互动/随堂测试注：（1 ）空间的一个 平移就是一个向量。备注一、复习引入量。（2）向量一般用（5 分钟）2空间向量的运算 3平行
14、六面体：4平面向量共线定理有向线段表示同向等 长的有向线段表示同 一或相等的向量。rrrvr vvv5 共线向量6 共线向量定理： 7向量与平面平行：8共面向量定理（3）空间的两个 向量可用同一平面内 的两条有向线段来表 示。2空间向量的运 算定义：与平面向DCaADB CAB量运算一样，空间向 量的加法、减法与数 乘 向 量 运 算 如 下r vOB =OA +AB =a +b ；rBA =OA -OB =a -b ； OP =la(lR)运算律：（ 1 ）加法 交 换 律v va +b =b +a：律（ 2 ） 加 法 结 合 ：v v v v ( a +b ) +c =a +( b +c
15、 )（ 3 ） 数 乘 分 配律v v l(a +b ) =la+lb：3平行六面体：平行四边形 ABCDr平 移 向 量 a到A BCD的轨 迹所形成的几何体，叫做平 行六面体，并记作：ABCD A BCD它 的六个面都是平行四边 形，每个面的边叫做 平行六面体的棱。4平面向量共线 定理方向相同或者相 反的非零向量叫做平 行向量。由于任何一 组平行向量都可以平 移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做 共线向量。r向量 b 与非零向 r量 a 共线的充要条件 是有且只有一个实数r ，使 br a 。要注意其中对向 r量 a 的非零要求。 5共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的 直 线 互
16、 相 平 行 或 重 合，则这些向量叫做 共 线 向 量 或 平 行 向r r量。 a 平行于 b 记作vra / b。r当我们说向量 a 、 r r rb 共线（或 a / b ）r r时，表示 a 、 b 的有 向线段所在的直线可 能是同一直线，也可 能是平行直线。6 共 线 向 量 定理：空间任意两个向 r r r r r量 a 、b （ b 0 ），a r/ b 的充要条件是存r在实数 ，使 a rb。aaa推论：如果 l为经过已知点 A 且平行于r已知非零向量 a 的直 线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线 l上的充要条件是存在实数 t满 足 等 式OP =OA +tra 。其中
17、r向量 a 叫做直线 l 方向向量。的空间直线的向量 参 数 表 示 式 ：OP =OA +tra 或OP =OA +t (OB -OA )=(1 -t )OA +tOB ，中MO点baBpA A公P式 。OP=12( OA + OB )7向量与平面平 行：已知平面a和向量 a ，作 OA =a，如果直线 OA 平行于a或在 a 内，那么我们 说向量 a 平行于平面a，记作：a / a。通常我们把平行于同一 平面的向量，叫做共 面向量。说明：空间任意 的两向量都是共面的8 共 面 向 量 定 理 ： 如 果 两 个 向 量 a , b 不共线， p 与向 量 a , b 共面的充要条 件是存在
18、实数 x , y 使 p =xa +yb推论：空间一点 P 位于平 面 MAB 内 的充分必要条件是存 在有序实数对 x , y ， 使 MP =xMA +yMB 或 对 空 间 任 一 点O，有OP =OM +xMA +yMB或OP =xOA +yOB +zOM ,( x +y +z = 上 面 式 叫做平面 MAB 的向量表达式1空间向量基本定理：如果三个向 量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x , y , z，使 p =xa +yb +zc 。证明：（存在性）设 a , b , c 不共面，过点O作OA =a , OB =b , OC =c ,
19、 OP = p ；过点 P 作直线 PP 平行于 OC ，交平面OAB 于点 P ；在平面 OAB 内，过点P 作直线PA/OB , P B/OA，分别与直线OA, OB相交于点A,B，于二.探究新知 （25 分钟）是 ， 存 在 三 个 实 数x , y , z， 使OA=xOA =xa OC =zOC =zc， OB =yOB = yb ， ， OP =OA+OB+OC=xOA+yOB+zOC 所以 p =xa +yb +zcc（唯一性）假设还存在 p =xa+yb+zx,y,z使 xa +yb +zc =xa+yb+zc( x -x) a +( y -y)b +( z -z)c =0不
20、妨 设 x x 即 x -x0 a =y -y z -z b+ cx-x x-x a , b , c 共 面 此 与 已 知 矛 盾 该表达式唯一综上两方面，原命题成立。 由此定理，若三向量 a,b, c 不共面，则 所 有 空间 向量 所 组成 的 集 合 是 p| p =xa+yb+zc, xR, yR,zR ，这个集 合可以看作由向量 a , b , c 生成的，所 以我们把 a , b , c 叫做空间的一个基 底， a , b , c 叫做基向量，可以知道， 空间任意三个不共面的向量都可以 构成空间的一个基底。推论：设O , A, B, C是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在
21、唯 一 的 三 个 有 序 实 数 OP =xOA +yOB +zOCx , y , z， 使1. 已知空间四边形 OABC ，其对角线 OB , AC ， M , N 分别是对边OA, BC的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG =2GN ，用基底向量OA , OB , OC 表示向量 OG解：OG =OM +MG2 1 2=OM + MN = OA + (ON -OM ) 3 2 3三.巩固练习 （20 分钟）1 2 1 1 = OA + (OB +OC ) - OA2 3 2 21 1 1= OA + (OB +OC ) - OA 2 3 31 1 1= OA + OB + OC6
22、3 31 1 1OG =OA + OB + OC6 3 32 如图，在平行六面体 ABCD -ABCDDGC中，E , F , G 分别是 AD,DD,DC的中AEB点，请选择恰当的基底向量证明：F（1） EG / ACDCAB（2）平面 EFG / 平面ABC 证明：取基底： AA , AB , AD ，（1） EG =ED +D G =1 1AD + AB2 2，AC =AB +AD =2 EG（ 2 ） AB =AB +AA =2 FG， EG / AC1 1FG =FD +D G = AA + AB2 2，四小结五.布置作业六教学反思 FG / AB 谈收获， 由（1） EG / AC
23、 ，平面 EFG / 平面ABC空间向量基本定理的推论意在用分 解定理确定点的位置，它对于今后用向量 方法解几何问题很有用。完成课后习题3.1.3 空间向量的数量积运算【教学目标】1 掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算 律2 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积 解决立体几何中的一些简单问题。【教学难点】空间向量的数量积运算教学难点：空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用=0 a ba b2 2 【学前准备】：多媒体，预习例题教学课程第二课教学环节1、 一、复习引入导案/学案平面向量的夹角：师生互动/随堂测试备注（5 分钟）2、平面向量的数量积：1
24、空间向量的夹角：思考：面直线已知两非零向量 a , b ，在空 及 所 成 的 角 的 范间任取一点O，作OA =a , OB =b， 围?则AOB叫 做 向 量a与 b的 夹 注 : 两个向量的角，记作；数量积是数量，而（1） 规定0 p，不是向量.（2） 显然有 规 定 : 零 向二.探究新知=；量 与 任 意 向 量 的（25 分钟）（3） ，那么 与 同 数量积等于零向；向=p，那么 与 反 3、两个向量的数量积的几（4）=p2，则称a与 b何意义互相垂直，记作： a b ；2、空间向量的数量积：4、空间两个向量的数量积已 知 向 量a , b， 则性质| a | |b | cos 叫
25、做a , b的 数 a =| a |2即 | a |= a (求线段的长度 ); 量 积 ， 记 作 a b ， 即 a b= a b a b = 0 (垂直的判断 );| a | |b| cos cos a , b =a ba b(求角度).5 、空间向量的数量 积 满 足 的 运 算 律a b=b a；( la) b=l(b a)；a (b +c ) =a b+a c思考：1、若a b=a c，是否有立？b =c成2、若a b=k，是否有a =kb，或b =ka成立？3 、向量数量积是否 有 结 合 律( a b)c =a (b c) 立？成221：已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角
26、线长都等于 a， 如图所示，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，求(1) ABAC； (2)EFBC；三.巩固练习 （20 分钟） 【解】 (1)ABAC|AB| AC|cosAB，AC1 aaa .2 2(2)E，F 分别为 AB，AD 的中点， 1 EF BD.2 1 EFBC BDBC21 1 aa2 2a .4如图，在平行六面体 ABCD-ABCD中，AB=4，AD=3，AA=5，BAD=900，BAA=DAA=600，求对角线AC 的长DC解：ACAA= AB + AD + AABDCB2 2 | AC|2= ( AB + AD + AA)2=| AB |2+ | AD |2+
27、| AA|2+ 2( AB AD + AB AA+ AD AA)= 42+ 32+ 52+ 2(0 + 10 + 7.5) | AC |= 85.= 85练习 3、如图，线段 AB，BD 在 平面a内，BDAB，线段 ACa，且 AB=a，BD=b，AC=c，求 C，D 间的距离。复习：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :a b = a b cos a, b也有下列三个重要性质：四小结谈收获 a =| a |2即 | a |= a (求线段的长度 ); a b a b = 0 (垂直的判断 ); cos a , b =a ba b(求角度).五.布置作业六教学反思完成课后习题学生已
28、有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这 种推广对学生学习已无困难 但仍要一步步地进行，学生 要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间 一个 向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地 验证向量的数量积运算 。空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】1 巩固空间向量数量积的概念；2 熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。 【教学重点】应用空间向量数量积解决问题【教学难点】应用空间向量数量积解决问题【学前准备】：多媒体，预习例题教学课程第二课教学环节导案/学案1空间向量的概念 2空间向量的运算师生互动/随堂测试 注：（1）空间的一个备注一、复习引入3平行六面体：平移就是
29、一个向量。（5 分钟）4平面向量共线定理（2）向量一般用5共线向量有向线段表示同向6共线向量定理等长的有向线段表示7 向量与平面平行8 共面向量定理9 空间向量基本定理10 空间向量的夹角及其表示 11向量的模12向量的数量积同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内 的两条有向线段来表 示。（ 1 ）13空间向量数量积的性质：a e=|a | cos 。（ 1 ） （ 2 ）a b a b=0。a e=|a | cos （3） | a |2 =a a。 空间向量数量积运算。 （ 2 ） 律：a b a b=0。（3） | a |2=a a。（ 1 ）14空间向量数量积运算律(la
30、) b =l(a b) =a (lb)。（2） a b=b a 换律）。（交（ 3 ）a (b +c ) =a b+a c （分配律）1 已知线段AB, BD在平面 a 内， 设出空间的一个基底BD AB ， 线 段 AC a， 若 后 ， 求 数 量 积AB =a , BD =b, AC =c ，求 C , D 间的SM BN的时候目标距离。就更加明确了，只要二.探究新知解：（方法一）连结 AD ，将 SM与 BN都化为（25 分钟）AC a, AD a， 用基向量表示就可以AC AD ，在 DABD 中 BD AB ， 了 本题中 SM与 BN AD2=AB2+BD2=a2+b2，的 夹
31、角 是 异 面 直 线在 DACD 中 AC AD ，所以， SM 与 BN 所成角的CD = AC2+AD2= a2+b2+c2。补角。2B11， | BB |2 =8 ，4 如 图 长 方 体（ 方DCABCD -A B C D1 1 1 1中，法二）：ABAB =BC =4 ， E 为 AC 与 B D的交点，1 1 1 1| CD | =( CAD+AB +BD )2CF 为 BC 与 B C 的交1 1点，又 AF BE ，求=|CA |2A+| AB |2+| BD |2+2CA AB +2 CA长BD方体+的2AB高BBBD。1又 AC a, AB a, BD a分析：本题的关
32、， 键 是 如 何 利 用AC BD , AC AB，AF BE 这个条件，又 AB BD ， BD AB ， 在 这 里 可 利 用 AF BE AFBE=0CA AB =0, AB BD =0, CA BD =0 ， 将其转化为向量数量| CD |2=积问题。=|CA |2+| AB |2+| BD |2=a2+b2+c2解 法 一 ： ，AF BE，所以| CD |= a2+b2+c2 。例 2 已 知 平 行 六 面 体AF BE =( AB +BF ) (BB +B E )ABCD-ABCD中，AB =4, AD =3, AA =5, BAD =90， BAA =DAA =60 的长。，求 AC 1 1= AB + ( BC +BB ) BB + ( BC -AB) =0 2 2解： | AC |2=(