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1、,学习目标,1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 导数的几何意义,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线.,思考1 割线PPn的斜率kn是多少？,思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？,答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.,梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线yf(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个
2、确定位置的直线PT称为曲线yf(x) 的切线. (2)导数f(x0)的几何意义：导数f(x0)表示曲线yf(x)在点 处 的切线的斜率k，即k .,(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_ _.,在点P处,(x0，f(x0),f(x0),yf(x0),f(x0)(xx0),思考 已知函数f(x)x2，分别计算f(1)与f(x)，它们有什么不同.,知识点二 导函数,f(1)是一个值，而f(x)是一个函数.,梳理 对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称 导数), 即f(
3、x)y .,特别提醒：,1.函数在一点处的导数f(x0)是一个常数.( ) 2.函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值. ( ) 3.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求切线方程,解答,解 将x2代入曲线C的方程得y4， 切点P(2,4).,k 4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.,反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤,跟踪训练1 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,答案,3,解析,k 4. 曲线yx21在点(2,5)处的切线方程
4、为y54(x2)，即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,解答,命题角度2 曲线过某点的切线方程 例2 求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.,解 设切点为(x0， x01)，,解得x00或x02. 当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1， 即xy10.,当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30. 故所求切线方程为xy10或3xy30.,反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0).,(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.,跟踪训练2 求函数yf(x
5、)x33x2x的图象上过原点的切线方程.,解答,yf(x0x)f(x0),故所求切线方程为xy0或5x4y0.,类型二 利用图象理解导数的几何意义,例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 A.0f(2)f(3)f(3)f(2) B.0f(2)f(3)f(2)f(3) C.0f(3)f(3)f(2)f(2) D.0f(3)f(2)f(2)f(3),解析,答案,f(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2)处的切线的斜率， f(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3)处的切线的斜率， 根据图象可知0f(3)f(3)f(2)f(2).,反思与感悟 导数的几何意义就是切线
6、的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.,跟踪训练3 若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是,解析,答案,解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.,例4 已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.,类型三 求切点坐标,解答,解 对于曲线f(x)x21，,对于曲线g(x)1x3，,引申探究 若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.,解答,反思与感悟 求切点坐标的一般步骤
7、 (1)设出切点坐标. (2)利用导数或斜率公式求出斜率. (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标. (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.,跟踪训练4 直线l：yxa(a0)和曲线C：f(x)x3x21相切，则a的 值为_，切点坐标为_.,答案,解析,解析 设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，,又点(x0，f(x0)在直线yxa上，将x01，y01. 代入得a0，与已知条件矛盾，舍去.,达标检测,1.如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么 A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)0 D.f(x0)不存在,1,2,3,4,5,解析,
8、答案,1,2,3,4,5,2.设曲线f(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于,解析,答案,所以2a2，所以a1.,3.已知函数yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与 f(xB)的大小关系是 A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定 解析 由导数的几何意义，知f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).,1,2,3,4,5,解析,答案,答案,解析,4.已知曲线yf(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_.,1,2,3,4,5,7,由导数的几何意义可得，
9、,x02，P(2,8a). 将x2，y8a，代入8xy150， 得a7.,5.已知曲线f(x)x3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴，直线xa围成的三角形的面积为 ，则a_.,答案,解析,1,曲线f(x)x3在点(a，a3)处的切线斜率为f(a)3a2， 切线方程为ya33a2(xa)，即y3a2x2a3.,1,2,3,4,5,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,规律与方法,