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1、数列的概念及简单表示法一、选择题1.数列 0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式是 a 等于( )nA.（1）n12B.cosn2C.cosn12D.cosn22解析令 n1，2，3，逐一验证四个选项，易得 D 正确.答案 D2 4 6 82.数列 ， ， ， ，的第 10 项是( ) 3 5 7 9A.1617B.1819C.2021D.2223解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子 .很容易归纳出数列 a 的通项公式 a n n(1)n12n 20 ，故 a .2n1 10 21答案 C3.(2017保定调研 )在数列a 中
2、，已知 a 1，a 2a 1，则其通项公式n 1 n1 na ( )nA.2n1C.2n1B.2n11D.2(n1)解析法一由 a 2a 1，可求 a 3，a 7，a 15，验证可知 a n1 n 2 3 4 n2n1.法二由题意知 a 12(a 1)，数列a 1是以 2 为首项， 2 为公比的 n1 n n等比数列， a 12n，a 2n1.n n答案 A4.数列a 的前 n 项积为 n2n，那么当 n2 时，a 等于( )nA.2n1B.n2C.（n1）2 n2D.n2 （n1）2nn解析设数列a 的前 n 项积为 T ，则 T n2 n n n，T n2当 n2 时，a .n T （n1
3、）2n1答案 D5.数列a 满足 a a 2n3，若 a 2，则 a a ( )n n1 n 1 8 4A.7 B.6 C.5 D.4解析依题意得(a a )(a a )2(n1)3(2n3)，即 a n2 n1 n1 n n2a 2，所以 a a (a a )(a a )224.n 8 4 8 6 6 4答案 D二、填空题1 346.若数列a 满足关系 a 1 ，a ，则 a _.n n1 a 8 21 5n解析借助递推关系，则 a 递推依次得到 a 8 721 13 8 ，a ，a .13 6 8 5 5答案857.已知数列a 的前 n 项和 S n2n n2n1(nN*)，则 a _.n
4、解析当 n2 时，a S S 2n1，n n n1当 n1 时，a S 4211，1 14，n1，因此 a 2n1，n2.答案4，n1， 2n1，n28.(2017北京海淀期末 )已知数列a 的前 n 项和为 S ，且 a 0(nN*)，又n n na a S ，则 a a _.n n1 n 3 1解析因为 a a S ， n n1 n所以令 n1 得 a a S a ，即 a 1，1 2 1 1 2令 n2，得 a a S a a ，即 a 1a ，所以 a a 1.2 3 2 1 2 3 1 3 1答案 1三、解答题9.数列a 的通项公式是 a n2n n7n6.(1) 这个数列的第 4
5、项是多少？(2) 150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当 n4 时，a 424766.4(2)令 a 150 ，即 n2n7n6150，解得 n16 或 n9(舍去)，即 150 是这个数列的第 16 项.(3)令 a n2n7n60，解得 n6 或 n1(舍).从第 7 项起各项都是正数 .10.已知数列a 中，a 1，前 n 项和 S n 1 nn23a .n(1)求 a ，a ；2 3(2)求a 的通项公式 .n4解 (1)由 S a 得 3(a a )4a ，2 3 2 1 2 2解得 a 3a 3.2 15由 S
6、 a 得 3(a a a )5a ， 3 3 3 1 2 3 33解得 a (a a )6.3 2 1 2(2)由题设知 a 1.1当 n2 时，有 a S S n n n1n23a nn13a ，n1整理得 a nn1n1a .n1于是a 1，13a a ，2 1 14a a ，3 2 2522nna n1nn2a ，n2n1a a .n n1 n1将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 a nn（n1）2.显然，当 n1 时也满足上式 .综上可知， a 的通项公式 a n nn（n1）2.11.设 a 3n2n15n18，则数列a 中的最大项的值是 ( )nA.163B.133C.4 D.
7、0 3解析 a 3n ，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时，a 最大， 4最大为 0.答案 D12.(2017石家庄质检)已知数列a 满足 a a a ，且 a 2，a 3，则n n2 n1 n 1 2a2 016的值为_.解析由题意得， a a a 1 ， a a a 2 ，a a a 3， a a3 2 1 4 3 2 5 4 3 6 5 a 1 ，a a a 2 ，数列 a 是周期为 6 的周期数列，而 2 016 4 7 6 5 n6336， a2 016答案 1a 1.613.(2017太原模拟 )已知数列a 满足 a 1，a a na a (nN*n 1 n n1 n n1)，
8、则 an_.解析由 a a na a n n1 n n1得1an11 1 1 n，则由累加法得 12(n a a an n 1 1) n2n21 n2， 又 因 为 a 1 ， 所 以 1 ann2 1 n2n22， 所 以 a nn22n2.2a答案n22n214.(2017开封模拟 )已知数列 a 中，a 1n n1a2（n1）(nN*，aR 且a0).(1)若 a7，求数列a 中的最大项和最小项的值；n(2)若对任意的 nN*，都有 a a 成立，求 a 的取值范围 . n 6解 (1)a 1 n1a2（n1）(nN*，aR，且 a0)，又 a7，a 1n12 n9(nN*).结合函数 f(x)112 x9的单调性，可知 1a a a a ， 1 2 3 4a a a a 1(nN* 5 6 7 n).数列a 中的最大项为 a 2，最小项为 a 0. n 5 411 2(2)a 1 1 ，n a2（n1） 2an2已知对任意的 nN*，都有 a a 成立，n 6结合函数 f(x)112x2的单调性，可知 52a6，即10a8. 2即 a 的取值范围是(10，8).