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1、第三章 整式及其加减 初中数学（北师大版） 七年级 上册 知识点一单项式 定义示例 单项式由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一 个字母也是单项式 100t,mn,-a2h都是单项式,其中100t的系 数是100,次数是1;mn的系数是1,次数 是2;-a2h的系数是-1,次数是3 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 单项式的次数 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 重要提示(1)单项式不含加减运算,只含字母与字母或数与字母的乘积(包括乘方)运算. (2)含有分母,且分母中含有字母的式子不是单项式. (3)单项式的书写格式与用字母表示数的书写
2、格式相同. (4)单项式的系数包括它前面的符号,且只与数字因数有关,而单项式的次数只与字母的指数有 关,且是单项式中所有字母的指数的和 知识拓展(1)圆周率是常数,单项式中出现时,应将其看做系数. (2)对于单独一个非零的数,规定它的次数是0. (3)一个单项式的次数是几就叫做几次单项式,如 xy3中,x,y的指数之和为4,则 xy3是四次单项式 例1判断下列各式是不是单项式.如果是,请指出它的系数与次数. -13a,xy2,mn,-,23a2b,a+b,x,-. 分析根据单项式的定义解答,由数字与字母的乘积组成的式子叫单项 式,单独的一个数或字母也是单项式,a+b含有加法运算,不是单项式,-
3、 含有分母,且分母中含有字母,不是单项式. 解析单项式:-13a,xy2,mn,23a2b,x,-.其中,-13a的系数为-13,次数 为1;xy2的系数为,次数为3;mn的系数为,次数为2;23a2b的系数为23, 次数为3;x的系数为1,次数为1;-的系数为-,次数为5. 温馨提示判断一个式子是不是单项式,关键是看式子中的数与字母、 字母与字母之间是否只有乘法运算,即式子中不含运算符号“+”或 “-”,分母中不含有字母. 知识点二多项式 例2指出下列多项式的项和次数,并说明它是几次几项式. (1)a3-a2b+ab2-b3;(2)3n4-2n2+1. 定义示例 多项式几个单项式的和叫做多项
4、式如x 2+2x-18是多项式,它由单项 式x2,2x,-18组成,其中-18叫做 常数项,这个多项式的次数是2 多项式 的项 多项式里,每个单项式叫做多项式的项,不含 字母的项叫做常数项 多项式的次数多项式里,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数 重要 提示 (1)多项式的每一项都包含它前面的符号.不含字母的项叫常数项. (2)多项式的组成元素是单项式,换句话说,若一个式子中的某一单独的项不是单项式,那么这 个式子就不是多项式 知识拓展多项式有几项,就叫做几项式;多项式的次数是几,就叫做几次式;一个多项式常称为几次几项式 解析(1)多项式a3-a2b+ab2-b3的项是a3,-a2b,a
5、b2,-b3,次数是3,它是三次四 项式. (2)多项式3n4-2n2+1的项是3n4,-2n2,1,次数是4,它是四次三项式. 知识点三整式 1.整式的概念 单项式和多项式统称为整式,如a,x2+5,2x2-5x+1都是整式,而,4a+ 不是整式. 2.单项式、多项式、整式、代数式四者之间的关系如图3-3-1所示. 图3-3-1 例3判断下列各式是不是整式: 1;r;r3;x+;. 解析是单项式,是多项式,而中的分母是字母,故不 是整式. 故是整式,不是整式. 题型一根据单项式、多项式次数的定义确定字母的值 例1已知多项式-2x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式,单项式-x2ny5-
6、m与该多项 式的次数相同,求m,n的值. 解析根据题意可得2+m+1=6, 解得m=3, 由题意得单项式-x2ny5-m的次数是6, 所以2n+5-m=6, 即2n+5-3=6, 解得n=2, 所以m,n的值分别是3,2. 题型二有关单项式的探索型试题 例2有一列单项式-x,2x2,-3x3,-19x19,20 x20,. (1)根据你发现的规律,写出第100个,第101个,第102个单项式; (2)你能进一步写出第n个单项式吗? 解析(1)第100个,第101个,第102个单项式分别是100 x100,-101x101,102x102. (2)第n个单项式是(-1)nnxn. 点拨对于整式排
7、列的规律探究题,主要是探究指数和系数的规律,注 意系数符号的规律. 易错点确定单项式的系数、次数时出错 例(1)-的次数是,系数是; (2)-32xy2的次数是,系数是. 错解(1)4;-(2)5;-3 正解(1)3;-(2)3;-32 错因分析不能准确理解单项式的系数、次数的概念,系数应是单项式 中的数字因数,单项式的次数是所有字母的指数和.如-=-a2b,系 数应为-,次数是2+1=3;-32xy2的系数应为-32,而不是-3,次数是1+2=3. 知识点一单项式 1.(2016云南昆明三中期中)下列式子:-abc2,c,0,2a2+3b+1,中,单项 式有() A.3个B.4个C.5个D.
8、6个 答案B由单项式的概念知,-abc2,c,0,均为单项式,故选B. 2.(2018山东枣庄山亭期中)下列关于单项式-3x5y2的说法中,正确的是 () A.它的系数是3B.它的次数是7 C.它的次数是5D.它的次数是2 答案B单项式的系数要带上数字前面的符号,次数为所有字母的指 数和,-3x5y2的系数为-3,次数为7,故选B. 3.下列语句中错误的是() A.数字0也是单项式 B.单项式-a的系数与次数都是1 C.xy是二次单项式 D.-的系数是- 答案B单项式-a的系数是-1,次数是1,故B错误.故选B. 4.判断下列各式是不是单项式.如果不是,请简要说明理由;如果是,请指 出它们的系
9、数和次数. (1)x+2;(2);(3)r2;(4)-ab2. 解析(1)不是单项式,含有加法运算. (2)不是单项式,因为的分母中含有字母,因此不是数与字母的积的形 式,所以不是单项式. (3)是单项式,r2的系数为,次数为2. (4)是单项式,-ab2的系数为-,次数为3. 知识点二多项式 5.对于多项式-3x+2xy2-1,下列说法正确的是() A.一次项系数是3B.最高次项是2xy2 C.常数项是1D.是四次三项式 答案B多项式-3x+2xy2-1是三次三项式,一次项系数是-3,常数项是- 1,所以A、C、D均错误,故选B. 知识点三整式 6.下列式子:x2+2,+4,-5x,0中,整
10、式有() A.6个B.5个C.4个D.3个 答案C整式有x2+2,-5x,0,共4个. 7.把下列各式分别填在相应的大括号里:4,+b,R2-r2,x2,2x-3,- x2+yz,a2+2. 单项式:; 多项式:; 整式:. 解析单项式:; 多项式:; 整式:. 1.(2018河南齐源期中)下列说法中正确的是() A.是单项式B.-x的系数为-1 C.-5不是单项式D.-5a2b的次数是3 答案D含有加法运算,不是单项式;-x的系数是-;-5是单项式, 故A、B、C选项均不正确,只有D选项正确,故选D. 2.在,x+1,-2,-,0.72xy,各式中,单项式的个数是() A.2B.3C.4D.
11、5 答案C依据单项式的定义,-2,-,0.72xy,是单项式,共4个,故选C. 3.下列各组单项式中,次数相同的是() A.3ab与-4xy2B.3与a C.-x2y2与xyD.a3与xy2 答案DA选项中,3ab和-4xy2的次数分别为2和3,B选项中,3和a的次 数分别为0和1,C选项中,-x2y2和xy的次数分别为4和2,只有D选项中的 两个单项式的次数相同,都是3次. 4.3x3y2-2x2y4+xy-1是次项式,最高次项是,-1 叫做项. 答案六;四;-2x2y4;常数 解析多项式3x3y2-2x2y4+xy-1是六次四项式,其中最高次项是-2x2y4,-1是 常数项. 5.(1)单
12、项式的系数是,次数是; (2)单项式2x3y4的系数是,次数是. 答案(1);6(2)2;7 解析单项式中的数字因数为单项式的系数,所有字母的指数和为单项 式的次数,是数字. 1.如果整式xn-3-5x+2是关于x的四次三项式,那么n等于() A.4B.5C.6D.7 答案D由已知得xn-3是最高次项,所以n-3=4,n=7,故选D. 2.如果一个多项式的次数是5,那么这个多项式中任何一项的次数都 () A.小于5B.大于5C.不小于5D.不大于5 答案D多项式的次数指的是最高次项的次数,故任何一项的次数都 不大于5. 1.若(m-2)x2yn+1是关于x,y的五次单项式,则m,n的值分别是(
13、) A.m=0,n=2B.m0,n=2 C.m2,n=2D.m=2,n=5 答案C因为(m-2)x2yn+1是关于x,y的五次单项式,所以2+n+1=5,且m-2 0,解得n=2,m2,故选C. 2.单项式-的系数为a,次数为b则ab的值为. 答案 解析由题意知,a=-,b=2,所以ab=. 3.已知关于x的多项式3x6+(m+1)x3-5x-(n-2)x2+1不含x的二次项和三次项, 求(mn)m+n的值. 解析由已知得-(n-2)=0,且m+1=0,解得n=2,m=-1,所以(mn)m+n=(-1)2-1+ 2=(-2)1=-2. 1.(2018河南郑州五中第二次月考,7,)下列说法正确的
14、是() A.-的系数是-2B.32ab3的次数是6 C.是多项式D.x2+x-1的常数项为1 一、选择题 答案CA选项中,-的系数为-;B选项中,32ab3的次数为4;C选项为 x+y,是多项式;D选项中,x2+x-1的常数项为-1,只有C选项正确.故选C. 2.(2018陕西西安音乐学院附中期中,7,)下列说法正确的是( ) A.字母a和数字1都不是单项式 B.可以看做与3的乘积,因此是单项式 C.单项式xyz的次数是3 D.单项式-的系数是2,次数是4 答案C单独的数字或字母也是单项式,故A选项错误;表示3x,因 此不是单项式,故B选项错误;xyz的次数为1+1+1=3,故C选项正确;-
15、=-x3y,系数为-,故D选项错误. 二、填空题 3.(2018四川成都龙泉驿月考,14,)多项式2x2-3x+5是次 项式. 答案二;三 解析一个多项式的次数是几次,就叫做几次式;多项式含有几项,就叫 做几项式.所以2x2-3x+5是二次三项式. 三、解答题 4.(2016江西吉安期中,21,)若多项式4xn+2-5x2-n+6是关于x的三次多 项式,求代数式n3-2n+3的值. 解析当4xn+2是最高次项时,n+2=3,所以n=1, 此时,n3-2n+3=13-21+3=2. 当-5x2-n是最高次项时,2-n=3,所以n=-1. 此时,n3-2n+3=(-1)3-2(-1)+3=-1+2
16、+3=4. 1.(2018河北高碑店期中,7,)单项式-3xy2z3的系数和次数分别是 () A.-,5B.-1,6C.-3,6D.-3,7 答案C-3xy2z3的系数为-3,次数为1+2+3=6,故选C. 2.(2017山东枣庄山亭期中,15,)如果代数式x2+(2a-6)xy+x2+y2+9 中不含xy项,则a=. 答案3 解析代数式中不含xy项,则xy项的系数为0,故有2a-6=0,解得a=3. 3.(2018江西九江柴桑期中,17,)五次单项式(k-3)x|k|y2 的系数为. 答案-6 解析因为单项式(k-3)x|k|y2的次数为5,所以|k|+2=5,所以|k|=3,所以k=3,
17、又因为k-30,所以k3,所以k=-3.所以该单项式的系数为-6. 一、选择题 1.(2016贵州铜仁中考,3,)单项式的系数是() A.B.C.2D. 答案D单项式中的数字因数叫做单项式的系数,单项式的系数 是. 2.(2015福建厦门中考,3,)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则 这个单项式可以是() A.-2xy2B.3x2C.2xy3D.2x3 答案D-2xy2的系数是-2,次数是3;3x2的系数是3,次数是2;2xy3的系数 是2,次数是4,所以A,B,C错误.2x3的系数是2,次数是3,故选D. 二、填空题 3.(2015黑龙江牡丹江中考,18,)已知一列单项式:-x2,3x3
18、,-5x4,7x5, ,按此规律排列,则第7个单项式为. 答案-13x8 解析分别从单项式系数的符号,系数的绝对值,字母x的指数三方面找 规律.单项式系数的符号规律是奇负偶正;单项式系数的绝对值是从1开 始的连续奇数;字母x的指数是从2开始的连续整数. 由此可知第n个单项式为(-1)n(2n-1)xn+1, 所以第7个单项式为-13x8. 1.(2015内蒙古通辽中考,5,)下列说法中,正确的是() A.-x2的系数是B.a2的系数为 C.3ab2的系数是3aD.xy2的系数是 答案D选项A中,-x2的系数是-;选项B中,a2的系数是;选项C 中,3ab2的系数是3;选项D中,xy2的系数是,
19、故选D. 2.(2013广东佛山中考,9,)多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的 系数分别是() A.3,-3B.2,-3C.5,-3D.2,3 答案A根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得, 此多项式的次数为3,最高次项是-3xy2,由系数是数字因数得,-3xy2的系数 为-3. 3.(2014广西北海中考,17,)下列式子按一定规律排列:, ,则第2014个式子是. 答案 解析通过观察可以发现,分母是从2开始的连续偶数,则第n个式子的 分母是2n,分子的指数是从1开始的连续奇数,则第n个式子的分子的指 数是2n-1,所以第n个式子为,所以第2014个式子是. 1.有一个
20、多项式a10-a9b+a8b2-a7b3+,按这样的规律写下去,你知道第7项 是什么吗?最后一项呢?这是一个几次几项式?有什么规律? 解析可以观察出,这个多项式从左到右a的指数逐项减1,b的指数逐项 加1,所以第7项是a4b6,最后一项是b10,这个多项式是关于a,b的十次十一 项式,第n个单项式是(-1)n+1a11-nbn-1,这里n代表第n项. 2.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,-37x19,39x20,写出第n个单项式. 为了解决这个问题,特提供下面的解题思路: (1)这组单项式的系数的符号规律是,系数的绝对值是 ; (2)这组单项式的次数是; (3)根据上面的归纳,
21、可以猜想第n个单项式是;(只填写一 个式子) (4)请你根据猜想,写出第2017个、第2018个单项式. 解析(1)奇负偶正;从1开始的连续奇数. (2)从1开始的连续自然数. (3)(-1)n(2n-1)xn. (4)把n=2017,2018分别代入(3)中的代数式,则这两个单项式分别为-40 33x2017,4035x2018. 在一堂数学活动课上,同在一个合作学习小组的小杰、小亮、小丁、 小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受: 小杰说:“绝对值不大于4的整数有7个.” 小亮说:“当m=3时,代数式3x-y-mx+2中不含x项.” 小丁说:“若|a|=3,|b|=2,则a+b的值为5或1.” 小彭说:“多项式-2x+x2y+y3是三次三项式.” 你觉得他们的说法正确吗?如不正确,请帮他们改正,写出正确的说法. 解析小杰的说法错误,应为绝对值不大于4的整数有9个. 小亮的说法对. 小丁的说法错误,应为若|a|=3,|b|=2,则a+b的值为5或1. 小彭的说法对.