《八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理课件 （新版）北师大版.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理课件 （新版）北师大版.pptx（65页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 初中数学（北师大版） 八年级 上册 第一章勾股定理 1探索勾股定理 知识点一勾股定理的探索 探索勾股定理的方法 1探索勾股定理 例1如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方格的边长为 1,完成下列问题. 图1-1-1 (1)正方形A中含有个小方格,即A的面积是; (2)正方形B中含有个小方格,即B的面积是; (3)正方形C的面积是; (4)如果用SA、SB、SC分别表示正方形A、B、C的面积,那么它们之间的 关系是. 1探索勾股定理 解析在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,正方 形C的面积的求法有如下两种: 图1-1-2 图1-1-2(1)中,正方形C的面积可
2、看成是4个直角三角形与1个小正方形的 面积和;图1-1-2(2)中,正方形C的面积可看成是大正方形与4个直角三角 形的面积差. 答案(1)16;16(2)9;9(3)25(4)SA+SB=SC 1探索勾股定理 知识点二验证勾股定理 项目内容 勾股定理验 证的思路 用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么 面积不会改变;(2)根据同种图形面积的不同表示方法列出等式,推导勾股定理 勾股定理验 证的实质 勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过 面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题 拓展延伸拼图法 步骤拼
3、出图形;写出图形面积表达式;找出等量关系;恒等变形 ;推导出勾股定理 原则图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙 1探索勾股定理 常见的几种验证方法如下表: 1探索勾股定理 1探索勾股定理 A的面积(单位面积) B的面积(单位面积)C的面积(单位面积) 图1-1-3 图1-1-3 例2(1)观察图1-1-3,并填写下表(图中每个小方格的面积为1个单位面积): (2)三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系? (3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系? 图1-1-3 1探索勾股定理 解析(1)如下表: (2)三个正方形A,B,C的面积之间的关系为SA+SB=SC. (3)三个正方
4、形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系:直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方. A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积) 图1-1-316925 图1-1-34913 1探索勾股定理 知识点三勾股定理及其简单应用 1探索勾股定理 例3如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,ABBC于点B,测得AC=50米,BC =40米.求A、B两点间的距离.你能求出B点到直线AC的距离吗? 图1-1-4 1探索勾股定理 解析由题意知ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2, AC=50米,BC=40米, AB2=AC2-BC2,AB=30米. 如图1-1-5所示,过B
5、点作BDAC于点D, 图1-1-5 BD的长度即为B点到直线AC的距离. ABC的面积=ABBC=ACBD, 1探索勾股定理 ABBC=ACBD, BD=24(米). 答:A、B两点间的距离为30米,B点到直线AC的距离为24米. 1探索勾股定理 题型利用勾股定理求三角形边长 例在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,C=90. (1)若a=6,b=8,则c=; (2)若a=5,c=13,则b=; (3)若c=34,ab=815,则a=,b=. 1探索勾股定理 解析(1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍负). (2)已知直角三角形的斜边
6、长c和一条直角边长a, 则由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍负). (3)因为ab=815,所以可设a=8k,b=15k(k0), 因为C=90,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2. 所以k=2(舍负).所以a=16,b=30. 答案(1)10(2)12(3)16;30 点拨在直角三角形中,已知斜边长及两条直角边长的比,设出两条直 角边长,用一个参数表示,结合勾股定理可求出两直角边长. 1探索勾股定理 知识点一勾股定理的探索 1.测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表: 三角尺直角边a直角边b斜边c关系 1 2 根据已经
7、得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系. 解析根据实际测量结果猜想a2+b2=c2,注意测量值均为近似值. 1探索勾股定理 2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形,这个图形 被称为弦图.通过该图形,可以验证公式() 图1-1-1 A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2 知识点二验证勾股定理 C.c2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2 1探索勾股定理 答案C大正方形的面积可以表示为c2, 也可以表示为ab4+(b-a)2,c2=ab4+(b-a)2, 即c2=2ab+b2-2ab+a2,c2=a2+b2. 1探索勾股
8、定理 知识点三勾股定理及其简单应用 3.如图1-1-2,阴影部分是一个正方形,该正方形的面积为() 图1-1-2 A.25cm2B.5cm2C.313cm2D.20cm2 答案A设正方形的边长为acm,由勾股定理得a2=132-122=25,a=5, 即正方形的边长为5,故正方形的面积为55=25(cm2). 1探索勾股定理 4.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形ABCD内,满足AEB= 90,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是() 图1-1-3 A.48B.60C.76D.80 1探索勾股定理 答案CAEB=90,AE=6,BE=8, 在RtABE中,AB2=AE2+B
9、E2=100, S阴影=S正方形ABCD-SABE=AB2-AEBE=100-68=76,故选C. 1探索勾股定理 1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则 另一个正方形的面积S2为. 答案144 解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144. 1探索勾股定理 2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸 (单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为. 答案100mm 解析在RtABC中,AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),AB2 =AC2+BC2=10000,AB=100mm, 两圆孔
10、中心A和B的距离为100mm. 1探索勾股定理 3.(2016江西宜春高安期中)已知RtABC中,C=90,a+b=14,c=10,则 RtABC的面积等于. 答案24 解析在ABC中,C=90, a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2, a+b=14,c=10, 196-2ab=100,即ab=48, 则RtABC的面积为ab=24. 1探索勾股定理 1.如图1-1-4所示,已知RtABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面 积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于() 图1-1-4 A.2B.4C.8D.16 1探索勾股定理 答案A在RtABC中,AB2=AC2+BC2
11、=42=16, S1=AC2, S2=BC2, S1+S2=(AC2+BC2)=16=2. 1探索勾股定理 2.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在RtABC中,ACB=90,若AB=15, 则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为() 图1-1-5 A.225B.200C.250D.150 答案A正方形ADEC的面积为AC2,正方形BCFG的面积为BC2.在 RtABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A. 1探索勾股定理 3.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面 积为. 答案13或5 解析以x为边长的正方形的面积为x
12、2.当2和3都是直角边时,x2=4+9=1 3;当3是斜边时,x2=9-4=5.故答案为13或5. 1探索勾股定理 4.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国际数学家大会,大 会的会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图.其中的“弦 图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方 形,如图1-1-6所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(ab),斜边为c,那 么小正方形的面积可以表示为(用含有a,b的式子表示),小正 方形的面积还可以表示为(用含有a,b,c的式子表示),可以验 证一个等式:. 图1-1-6 1探索勾股定理 答案(a-b)2;c2-2ab;a2
13、+b2=c2 解析由题意知,小正方形的边长为a-b,因此小正方形的面积=边长边 长=(a-b)2;小正方形的面积还可以表示为大正方形的面积-4个直角三角 形的面积.而4个直角三角形的面积=4ab=2ab,大正方形的面积=c2,所 以小正方形的面积=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2. 1探索勾股定理 1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长” 后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的 三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图 2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂
14、”.在“生 长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是() A.2015B.2016C.2017D.2018 1探索勾股定理 答案D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c. 如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,SA+SB=SC=1.第二次“生 长”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而广之,“生长”了2017次后形成的 图形中所有的正方形的面积和是20181=2018.故选D. 1探索勾股定理 2.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了 一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图
15、变化得 到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方 形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边 长为2,则S1+S2+S3=. 1探索勾股定理 答案12 解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a -b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 1探索勾股定理 3.已知:如图,以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若 AB=3,则图中阴影部分的面积为. 答案 解析因为ACH为直角三角形, 所以AH2+HC2=AC2. 又因为AH=HC, 1探索勾股
16、定理 所以AH2=AC2, 所以SACH=AHHC=AH2=AC2. 同理,SBCF=BC2,SABE=AB2. 在RtABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3, 故阴影部分的面积为 SACH+SBCF+SABE =AC2+BC2+AB2 =(AC2+BC2+AB2) =2AB2=9=. 1探索勾股定理 一、选择题 1.(2018云南文山广南月考,3,)已知一个直角三角形三边长的平 方和为800,则斜边长为() A.10B.20C.30D.40 答案B设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c, 根据勾股定理得a2+b2=c2, a2+b2+c2=800,2c2=800, c2=400
17、,c=20. 1探索勾股定理 2.(2018江苏张家港梁丰期中,2,)在RtABC中,斜边AB=2,则AB2+ BC2+AC2的值是() A.2B.4C.8D.6 答案C因为AB2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=222= 8. 1探索勾股定理 3.(2017天津武清期中,10,)如图1-1-7,“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直 角边长分别为5和3,则小正方形的面积为() 图1-1-7 A.4B.3C.2D.1 1探索勾股定理 答案A解法一:3和5为两条直角边长, 小正方形的边长=5-3=2, 小正方形
18、的面积为22=4.故选A. 解法二:设直角三角形的斜边长为c,即大正方形的边长为c,由勾股定理 得c2=52+32=34,小正方形的面积为34-453=4. 1探索勾股定理 二、填空题 4.(2016福建南平松溪期中,16,)如图1-1-8所示的图形中,所有的 四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形 的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积和为. 图1-1-8 1探索勾股定理 答案25 解析如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25. 1探索勾股定理 5.(2017江苏南京师大附中单元练,4,)若直角三角形的三边长
19、分 别为3、4、x,则x2=. 答案25或7 解析分两种情况:若4为斜边长,则42=x2+32,即x2=7;若x为斜边长, 则x2=32+42=25.综上,x2=25或7. 1探索勾股定理 1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,)直角三角形的两直角边长 分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是() A.6厘米B.8厘米 C.厘米D.厘米 答案D直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122 =132, 斜边长为13厘米, 斜边上的高=(厘米).故选D. 1探索勾股定理 2.(2016安徽芜湖南陵期中,4,)已知x、y为正数,且|x2-4|+(y2-3)2=0, 如果以x、y为直
20、角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜 边长为边长的正方形的面积为() A.5B.25C.7D.15 答案C依题意得x2-4=0,y2-3=0, x2=4,y2=3, 正方形的面积=x2+y2=4+3=7. 故选C. 1探索勾股定理 3.(2016广西防城港期中,13,)如图,长方体的长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm,则BD=. 答案13cm 解析连接BD,则BD2=32+42=25,BD=5cm, 故BD2=52+122=169,BD=13cm. 1探索勾股定理 一、选择题 1.(2017湖北襄阳中考,10,)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证 明了勾股定理,是我国古代数学
21、的骄傲.如图1-1-9所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直 角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的 面积为13,则小正方形的面积为() 图1-1-9 A.3B.4C.5D.6 1探索勾股定理 答案C大正方形的面积为13, a2+b2=13, (a+b)2=21,a2+2ab+b2=21, 13+2ab=21,2ab=8, 直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b, 4S直角三角形=4ab=2ab=8, S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故选C. 1探索勾股定理 2.(2016湖北荆门中考
22、,4,)如图1-1-10,在ABC中,AB=AC,AD是 BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为() 图1-1-10 A.5B.6C.8D.10 答案C因为AB=AC,AD是BAC的平分线,所以ADBC,且BD=CD, 在RtABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD =4,所以BC=2BD=8. 1探索勾股定理 3.(2016浙江杭州中考,9,)已知直角三角形纸片的两条直角边长 分别为m和n(mm且ABE和AEC均 为等腰三角形,AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE2= 2AB2,即(n-m)2=2m2,整
23、理得m2+2mn-n2=0,故选C. 1探索勾股定理 二、填空题 4.(2017浙江丽水中考,15,)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾 股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1-1-11 所示.在图1-1-11中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为 2,且IJAB,则正方形EFGH的边长为. 图1-1-11 1探索勾股定理 答案10 解析题图中有8个全等的直角三角形,每个直角三角形的面积为(14 14-22)8=(196-4)8=1928=24, 则正方形EFGH的面积为244+22=96+4=100, 正方形EFGH的边长为10. 1探索勾股定理 1.(2
24、013贵州安顺中考改编,6,)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵 高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则 小鸟飞行() A.8米B.10米C.12米D.14米 1探索勾股定理 答案B如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米, 过C点作CEAB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC, EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米). 在RtAEC中,AC2=AE2+EC2=100, AC=10米.故选B. 1探索勾股定理 2.(2016湖南益阳中考,20,)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求 ABC的面积. 某学习小组
25、经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解 题思路完成解答过程. 1探索勾股定理 解析设BD=x,则CD=14-x. 由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. AD=12. SABC=BCAD=1412=84. 1探索勾股定理 1.(2016湖南株洲中考)如图1-1-12,以直角三角形的边a、b、c为边,向外 作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积 关系满足S1+S2=S3的图形个数为() 图1-1-12 A.1B.2C.3D.4 1探索勾股定理 答
26、案D根据勾股定理可得a2+b2=c2. (1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三 角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积,然 后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等 腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面 积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. 故满足S1+S2=S3的图形个数为4. 1探索
27、勾股定理 2.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,且巧妙 各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全 等的直角三角形如图1-1-13或图1-1-14摆放时,都可以用“面积法”来 证明勾股定理.下面是小聪利用图1-1-13证明勾股定理的过程: 将两个全等的直角三角形按如图1-1-13所示摆放,其中DAB=90.求 证:a2+b2=c2. 图1-1-13 1探索勾股定理 证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a. S四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab, S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a), b2
28、+ab=c2+a(b-a). a2+b2=c2. 将两个全等的直角三角形按如图1-1-14所示摆放,其中DAB=90.请参 照上述证法,证明a2+b2=c2. 图1-1-14 1探索勾股定理 证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a. S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab, S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a), ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), a2+b2=c2. 1探索勾股定理 在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若ACB=90,如图,则根据勾股定 理,得a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图和图所示,请你类比勾 股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论. 1探索勾股定理 解析若ABC是锐角三角形,则有a2+b2c2; 若ABC是钝角三角形,C为钝角,则有a2+b20,x0,所以2ax0.所以a2+b2c2. 当ABC是钝角三角形,且C为钝角时, 1探索勾股定理 过点B作BDAC,交AC的延长线于点D. 设CD=x,则BD2=a2-x2, 根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2, 即b2+2bx+x2+a2-x2=c2, 所以a2+b2+2bx=c2. 因为b0,x0,所以2bx0,所以a2+b2c2. 1探索勾股定理