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1、课时 26 与圆有关的位置关系 第六单元 圆 课前考点过关 中考对接 命题点一直线与圆的位置关系 1. 2018湘西州已知O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与O的位置关系为 () A.相交B.相切C.相离D.无法确定 2. 2016永州如图26-1,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到 直线l的距离等于1的点的个数记为m.如当d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的 距离等于1的点,即m=4,由此可知: (1)当d=3时,m=; (2)当m=2时,d的取值范围是. B 1 1d3 课前考点过关 命题点二切线的性质
2、与证明 D 课前考点过关 【答案】50 【解析】因为A=20,所以由圆周角定理知, O=2A=40.因为BC与圆O相切,B为切点, 所以OBBC,所以OBC=90,所以 OCB=90-40=50. 4. 2018长沙如图26-3,点A,B,D在圆O上, A=20,BC是圆O的切线,B为切点,OD的延长线交 BC于点C,则OCB=. 图26-3 课前考点过关 证明:BC平分ABD,OBC=DBC. OC=OB,OBC=OCB, DBC=OCB,OCBD. BDCD,OCCD. 又OC为O的半径,CD为O的切线. 5. 2018邵阳如图26-4,AB是O的直径,点C为O上 一点,过点B作BDCD,
3、垂足为D,连接BC,BC平分 ABD. 求证:CD为O的切线. 图26-4 课前考点过关 命题点三 与切线有关的证明与计算 6. 2018娄底如图26-5,已知半圆O与四 边形ABCD的边AD,AB,BC都相切,切点分 别为D,E,C,半径OC=1,则AEBE= . 图26-5 课前考点过关 课前考点过关 课前考点过关 8. 2018株洲如图26-7,已知AB为O的直径,AB=8,点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点,连接 OC,AC,且BOC90,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直 线AD相交于点G,且GAF=GCE. (1)求证:直线CG为
4、O的切线. (2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH. 求证:CBHOBC. 求OH+HC的最大值. 解:(1)证明:点C,D关于直线AB对称,CAB=DAB. GAF=GCE,CAB=GCE.OA=OC,CAB=ACO.ACO=GCE. AB是O的直径,ACB=90.ACO+OCB=90. GCE+OCB=90.OCCG,直线CG为O的切线. 课前考点过关 8. 2018株洲如图26-7,已知AB为O的直径,AB=8,点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点,连接 OC,AC,且BOC90,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直 线AD
5、相交于点G,且GAF=GCE. (2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH. 求证:CBHOBC. 求OH+HC的最大值. 课前考点过关 课前考点过关 命题点四三角形的内切圆与内心 9. 2018长沙如图26-8,在ABC中,AD是边BC上的中线,BAD=CAD,CEAD,CE交BA的延长线于 点E,BC=8,AD=3. (1)求CE的长. (2)求证:ABC为等腰三角形. (3)求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离. 解:(1)因为AD为ABC的边BC上的中线, 所以BD=DC.因为ADEC,所以BA=AE, 所以AD为BCE的中位线. 因为AD=3,所以CE=6. 课
6、前考点过关 9. 2018长沙如图26-8,在ABC中,AD是边BC上的中线,BAD=CAD,CEAD,CE交BA的延长线于 点E,BC=8,AD=3. (2)求证:ABC为等腰三角形. (2)证明:因为ADEC, 所以BAD=E,ACE=CAD. 因为BAD=CAD,所以E=ACE,所以AC=AE. 又因为BA=AE, 所以AB=AC,所以ABC为等腰三角形. 课前考点过关 9. 2018长沙如图26-8,在ABC中,AD是边BC上的中线,BAD=CAD,CEAD,CE交BA的延长线于 点E,BC=8,AD=3. (3)求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离. 课前考点过关 课前考点
7、过关 考点自查 考点一直线与圆的位置关系 课前考点过关 考点二圆的切线 1. 切线的性质: (1)圆的切线垂直于过的半径; (2)经过且垂直于切线的直线必经过切点; (3)经过且垂直于切线的直线必经过圆心. 2. 切线的判定: (1)定义法:与圆只有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)关系式法:到圆心的距离等于的直线是圆的切线; (3)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切点 圆心 切点 圆的半径 课前考点过关 考点三切线及切线长定理 1. 切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 2. 切线长定理:过圆外一点所画的圆的两
8、条切线长,圆心和这一点的连线两条切 线的夹角. 如图26-9,点P是O外一点,PA,PB切O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论: (1)PA=PB; (2)APO=BPO=OAC=OBC, AOP=BOP=CAP=CBP; (3)ABOP,且AC=BC. 相等平分 课前考点过关 考点四三角形的内切圆 三条角平分线 相等 课前考点过关 易错警示 【失分点】 对三角形的内心理解不到位. 如图26-11,O是ABC的外接圆,FH是O的切线,切点为F,AF平分BAC,连接AF交BC于点E,连接BF. (1)求证:FHBC. (2)若在AF上存在一点D,使FB=FD,求证:点D是ABC的内心.
9、课前考点过关 如图26-11,O是ABC的外接圆,FH是O的切线,切点为F,AF平分BAC,连接AF交BC于点E,连接BF. (2)若在AF上存在一点D,使FB=FD,求证:点D是ABC的内心. 课堂互动探究 探究一直线与圆的位置关系 例1 2017百色以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与O相交,则b的取值范围是( ) A.0b2 B.-2b2C.-2b2D.-2b2 课堂互动探究 方法模型 判断直线与圆的位置的步骤:(1)求出圆心到直线的距离 d;(2)比较圆的半径r与距离d的大小,得出结论. 课堂互动探究 拓展1 如图26-12,O=30,C为OB上一点,且OC=6,以
10、点C为圆心,3为半径的圆与OA的位置关系是 . 图26-12 拓展2 已知l1l2,l1,l2之间的距离是3cm,圆心O到直线l1的距离是1cm.如果圆O与直线l1,l2有三个公共点, 那么圆O的半径为cm. 相切 2或4 课堂互动探究 拓展3 2018长沙模拟如图26-13,AB为圆O的直径,点C为圆O上一点,且BAC=CAM,过点C作直线l垂 直于射线AM,垂足为D. (1)试判断CD与圆O的位置关系,并说明理由; (2)若直线l与AB的延长线相交于点E,圆O的半径为3,并且CAB=30,求AD的长. 解:(1)CD与圆O的位置关系是相切,理由如下: 如图,连接OC. OA=OC,OCA=
11、CAB. CAB=CAD,OCA=CAD,OCAD. CDAD,OCCD. OC为半径,CD与圆O的位置关系是相切. 课堂互动探究 拓展3 2018长沙模拟如图26-13,AB为圆O的直径,点C为圆O上一点,且BAC=CAM,过点C作直线l垂 直于射线AM,垂足为D. (2)若直线l与AB的延长线相交于点E,圆O的半径为3,并且CAB=30,求AD的长. 课堂互动探究 探究二切线的性质 例2 2017菏泽如图26-14,AB是O的直径,PB与O相切于点B,连接PA交O于点C,连接BC. (1)求证:BAC=CBP. (2)求证:PB2=PCPA. (3)当AC=6,CP=3时,求sinPAB的
12、值. 课堂互动探究 A D 课堂互动探究 拓展3 2018黄冈如图26-17,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长线交于点P,过点B 的切线交OP于点C. (1)求证:CBP=ADB. (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长. 课堂互动探究 拓展3 2018黄冈如图26-17,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长线交于点P,过点B 的切线交OP于点C. (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长. 课堂互动探究 探究三切线的判定 例3 2018郴州如图26-18,已知BC是O的直径,点D是BC延长线上一点, AB=AD,AE是O的弦,AEC=30.
13、(1)求证:直线AD是O的切线. (2)若AEBC,垂足为M,O的半径为4,求AE的长. 课堂互动探究 拓展1 2018宜宾如图26-19,AB为O的直径,C为O上一点,D为BC延长线一 点,且BC=CD,CEAD于点E. (1)求证:直线EC为O的切线; (2)设BE与O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知 PCF=CBF,PC=5,PF=4,求sinPEF的值. 解:(1)证明:BC=CD,C是BD的中点. 又O是AB的中点,OC是ABD的中位线, OCAD. 又CEAD,CEOC. 又点C在圆上,直线CE为O的切线. 课堂互动探究 拓展1 2018宜宾如图26-19,AB为O的直径
14、,C为O上一点,D为BC延长线一 点,且BC=CD,CEAD于点E. (2)设BE与O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知 PCF=CBF,PC=5,PF=4,求sinPEF的值. 课堂互动探究 拓展2 2017永州如图26-20,已知AB是O的直径,过点O作OPAB,交弦AC于点D,交O于点E,且使 PCA=ABC. (1)求证:PC是O的切线. (2)若P=60,PC=2,求PE的长. 课堂互动探究 探究四切线长定理及运用 例4 2018北京如图26-21,AB是O的直径,过O外一点P作O的两条切线 PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD. (1)求证:OPCD. (2)连接A
15、D,BC,若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的长. 解:(1)证明:如图,连接OC,OD. PC,PD分别切O于点C,D,PC=PD. 点P在线段CD的垂直平分线上. OC=OD,点O在线段CD的垂直平分线上. OPCD. 课堂互动探究 例4 2018北京如图26-21,AB是O的直径,过O外一点P作O的两条切线 PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD. (2)连接AD,BC,若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的长. 课堂互动探究 方法模型切线长定理一般结合切线的性质和角平分线的性质,通过证明直角 三角形全等或解直角三角形,求线段的长或三角形的面积. 课堂互动探究
16、 拓展1 2018安徽如图26-22,菱形ABOC的边AB,AC 分别与O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则 DOE=. 图26-22 课堂互动探究 拓展2 2018绵阳如图26-23,AB是O的直径,点D在O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线 于点C,过点D作O的切线DE交BC于点E. (1)求证:BE=CE. (2)若DEAB,求sinACO的值. 解:(1)证明:如图,连接OD, EB,ED为O的切线,EB=ED,ODDE,ABCB, ADO+CDE=90,A+ACB=90. OA=OD,A=ADO,CDE=ACB, EC=ED,BE=CE. 课堂互动探究 拓展2 20
17、18绵阳如图26-23,AB是O的直径,点D在O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线 于点C,过点D作O的切线DE交BC于点E. (2)若DEAB,求sinACO的值. 课堂互动探究 探究五三角形的内切圆 课堂互动探究 课堂互动探究 拓展1 2018湖州如图26-25,已知ABC的内 切圆O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若 ABC=40,则BOD的度数是. 图26-25 课堂互动探究 拓展2 2018娄底如图26-26,P是ABC的内心, 连接PA,PB,PC,PAB,PBC,PAC的面积分别 为S1,S2,S3.则S1S2+S3(填“”). 图26-26 课堂互动探究 拓展32018威海如图26-27,在扇形CAB中,CDAB,垂足为D,E是ACD的内切圆,连接AE,BE,则 AEB的度数为. 图26-27 135