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1、课时 24 特殊的平行四边形 第五单元 四边形 课前考点过关 中考对接 命题点一矩形的性质与判定 1. 2018株洲如图24-1,矩形ABCD的对角线AC与 BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则 PQ的长度为. 图24-1 课前考点过关 2. 2018湘西州如图24-2,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE. (1)求证:ADEBCE. (2)若AB=6,AD=4,求CDE的周长. 课前考点过关 命题点二菱形的性质与判定 3. 2017长沙如图24-3,菱形ABCD的对角线AC,BD的 长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为() 图24-3 A.5cmB.
2、10cmC.14cmD.20cm D 课前考点过关 4. 2018郴州如图24-4,在ABCD中,作对角线BD的垂 直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于点E,F,连接 BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形. 图24-4 证明:EF垂直平分 BD,BO=DO,EOD=FOB=90. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC, EDO=FBO,EODFOB,OE= OF. BO=DO,EFBD,四边形BFDE是菱形. 课前考点过关 命题点三正方形的性质与判定 5. 2018湘潭如图24-5,在正方形 ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O. (1)求证:DAFABE. (2)求AOD的度
3、数. 图24-5 课前考点过关 命题点四特殊四边形的综合 6. 2018湘潭如图24-6,已知点E,F,G,H分别是 菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是( ) 图24-6 A.正方形B.矩形 C.菱形D.平行四边形 【答案】B 【解析】如图,连接AC和BD.E,F,G,H分别 是菱形ABCD各边的中点, EHBDFG,EFACHG,四边形 EFGH为平行四边形.四边形ABCD是菱形, ACBD,EFFG,EFGH是矩形.故选 B. 课前考点过关 7. 2017邵阳如图24-7,已知ABCD,对角线 AC,BD相交于点O,OBC=OCB. (1)求证:ABCD是矩形. (2)请添加一个条
4、件使矩形ABCD为正方形. 图24-7 解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,OB=OD. OBC=OCB,OB=OC, AC=BD,ABCD是矩形. (2)AB=AD(答案不唯一). 课前考点过关 考点自查 考点一矩形 矩形的定义有一个角是的平行四边形叫做矩形 矩形的 性质 对称性 矩形是轴对称图形,它有两条对称轴 矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点 定理 (1)矩形的四个角都是角; (2)矩形的对角线互相平分并且 推论在直角三角形中,斜边上的中线等于的一半 矩形的判定 (1)定义法; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线的平行四边形是矩形 拓展
5、 (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形; (2)矩形的面积等于两邻边的乘积 直角 直 相等 斜边 相等 课前考点过关 考点二菱形 菱形的定义一组相等的平行四边形叫做菱形 菱形的 性质 对称性 菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点 定理 (1)菱形的四条边; (2)菱形的两条对角线互相平分,并且每条对角线平分 菱形的判定 (1)定义法; (2)四条边的四边形是菱形; (3)对角线互相的平行四边形是菱形 菱形的面积 (1)菱形的面积=底高; (2)菱形的面积等于两条对角线长度乘积的 邻边 相等 垂直 一组对角 相
6、等 垂直 一半 课前考点过关 考点三正方形 正方形的定义有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形的性质 (1)正方形的对边 (2)正方形的四条边 (3)正方形的四个角都是 (4)正方形的对角线相等,互相,每条对角线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点 正方形的判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形 平行且相等 相等 直角 垂直平分 课前考点过关 课前考点过关 考点四中点四边形 定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形 常见 结论 顺次连接四边形各边中点所得到
7、的四边形是平行四边形 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 课前考点过关 易错警示 【失分点】1.易混淆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间相互转化满足的不同条件. 2.存在多种特殊情况时要全面分析题意,做到逐一解答. 课前考点过关 1. 2018武汉以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE,则BEC的度数是. 课前考点过关 2. 如图24-8,已知AD是ABC的中线,M是
8、AD的中点,过点A作AEBC,CM的延长线与AE相交于点E,与 AB相交于点F,连接BE. (1)求证:四边形AEBD是平行四边形. (2)如果AC=3AF,求证:四边形AEBD是矩形. 证明:(1)M是AD的中点,AM=DM. AEBC,AEM=DCM. 又AME=DMC,AEMDCM,AE=CD. 又AD是ABC的中线,AE=CD=BD. 又AEBD,四边形AEBD是平行四边形. 课前考点过关 2. 如图24-8,已知AD是ABC的中线,M是AD的中点,过点A作AEBC,CM的延长线与AE相交于点E,与 AB相交于点F,连接BE. (2)如果AC=3AF,求证:四边形AEBD是矩形. 课堂
9、互动探究 探究一矩形的性质与判定 例1 2017日照如图24-9,已知 BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E. (1)求证:DCAEAC. (2)只需添加一个条件,即, 可使四边形ABCD为矩形,请加以证明. 图24-9 课堂互动探究 方法模型矩形的判定方法:(1)证平行四边形增加一个角为直角矩形;(2)四边形证三个角为直角 矩形;(3)四边形对角线互相平分同时对角线相等矩形. 矩形的性质:利用对角线构造直角三角形勾股定理求边长或角度. 课堂互动探究 拓展2018德阳如图24-10,点E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上一点,若 AE=DC=2ED,且EFEC. (1)求证:点
10、F为AB的中点. (2)延长EF与CB的延长线相交于点H,连接AH,已知ED=2,求AH的值. 课堂互动探究 探究二菱形的性质与判定 例22017岳阳求证:对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 小红同学根据题意画出了图形,并写出了 已知和求证的一部分,请你补全已知和求 证,并写出证明过程. 已知:如图24-11,在ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,. 求证:. 解:ACBD平行四边形ABCD是菱形 证明:四边形ABCD是平行四边形, OA=OC, ACBD,AD=CD, 平行四边形ABCD是菱形. 课堂互动探究 方法模型菱形的两条对角线长度不一定相等,但是菱形的对角线平分每一组内角. 课
11、堂互动探究 图24-12 课堂互动探究 课堂互动探究 课堂互动探究 探究三正方形的性质与判定 例3 2018潍坊如图24-14,点M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F, 连接BE. (1)求证:AE=BF. (2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值. 课堂互动探究 例3 2018潍坊如图24-14,点M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F, 连接BE. (2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值. 课堂互动探究 方法模型正方形的性质与判定集平行四边形、矩形、菱形的性质与判
12、定于一体,因此利用它的每一 个内角是90时,一般运用到勾股定理、角平分线的性质,特殊角的直角三角形的性质等;利用它的四边 相等时,一般结合三角形全等、直角三角形的边角性质等. 课堂互动探究 拓展1 2018潍坊如图24-15,正方形ABCD的 边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴 上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点 A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置,BC 与CD相交于点M,则点M的坐标为. 课堂互动探究 拓展2 2018聊城如图24-16,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BHAE,垂足为H,延长 BH交CD于点F,连接AF. (1)求证:AE=
13、BF. (2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长. 课堂互动探究 拓展2 2018聊城如图24-16,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BHAE,垂足为H,延长 BH交CD于点F,连接AF. (2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长. 课堂互动探究 拓展3 2017株洲如图24-17,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上,EF与BC交于点G,连接CF.求证: (1)DAEDCF; (2)ABGCFG. 课堂互动探究 拓展3 2017株洲如图24-17,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上,EF与BC交于点G,连接CF
14、.求证: (2)ABGCFG. 课堂互动探究 探究四特殊四边形的综合 例42018盐城在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如 图24-18所示. (1)求证:ABEADF. (2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由. 解:(1)证明:四边形ABCD是正方形, ABD=ADB=45,AB=AD. ABE=ADF=135. 又BE=DF,ABEADF(SAS). (2)四边形AECF是菱形. 理由:连接AC交BD于点O. 则ACBD,OA=OC,OB=OD. 又BE=DF,OE=OF, 四边形AECF是菱形. 课堂互动探究 方法模
15、型特殊四边形的综合运用要注意几个四边形之间的转化关系:由平行四边形转化为菱形增加的 条件为“相邻两边相等”或“对角线互相垂直”;由平行四边形转化为矩形,增加“有一内角是直角”或“两对角 线相等”;由平行四边形转化为正方形,则先将四边形转化为矩形或菱形,再转化为正方形. 课堂互动探究 拓展1 2018临沂如图24-19,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法正确 的个数是() 若AC=BD,则四边形EFGH为矩形; 若ACBD,则四边形EFGH为菱形; 若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分; 若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等. A.1B.2C.3D.4 课堂互动探究 课堂互动探究 拓展2 2018沈阳如图24-20,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作 AC的平行线,两直线相交于点E. (1)求证:四边形OCED是矩形. (2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.