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1、13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1 将军饮马问题一、教学目标(一) 学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短 ”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题【答案】线段最短，垂线段最短
2、，最短路径2预习自测如图所示，从A 地到 B 地有三条路可供选择，你会选走路最近 .你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短 ”，为引入新课作准备 .【知识点】两点之间、线段最短【答案】，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）已知：如图， A， B 在直线 l 的两侧，在 l 上求一点 P，使得 PA+PB 最小 .【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据 “两点 (直线异侧 )一线型 ”，和 “两点之间，线段最短 ”，则第 1页AP+PB 的最小值为线段AB 的值 .【解题过程】连接AB 交于直线 l 于点 P，则点 P 就是所求的点 .【答案】如图，则点
3、P 就是所求的点 .如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】 将 A、B 两镇抽象为两个点，将 燃气管道 l 抽象为一条直线 类比预习自测（ 1），根据“两点之间，线段最短 ”，连接 AB 即可 .【解题过程】连接AB，线段 AB 与直线 l 交于点 P，则点 P 就是所求的点 .【答案】泵站修在管道的点P 处时，可使所用的输气管线最短.如图， A， B 在直线 l 的同侧，在 l 上求一点 P，使得 PA+PB 最小，则点 P 可能的个数为（）个A. 3B. 2C. 1D.0【知识
4、点】两点之间线段最短、轴对称的性质【思路点拨】将“A，B 在直线 l 的同侧 ”利用轴对称转化为 “A，B 在直线 l 的异侧 ”，又根据 “两点之间线段最短 ”可得出只有唯一的点P.【答案】 C【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间，线段最短 ”，为新课中 “同侧的两点 ”转化为 “异侧的两点 ”做铺垫（二）课堂设计1.知识回顾两点的所有连线中，线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边 .2.问题探究实际问题转化为数学问题探究一“两点一线 ”的最短路径问题今天我们借助 “轴对称的知识 ”和“两点之间线段最短
5、 ”一起来解决生活中的 “最短路径问题 ”.活动创设情境，引入新知第 2页师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题 1. 如图， A 为马厩， B 为帐篷 .某一天牧马人要从马厩 A 出发，牵出马到一条笔直的河边 l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷 B牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题 .你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接 AB，线段 AB 与直线 l 交于点 C， 到河边 l 的 C 处饮
6、马可使马所走的路线全程最短 .【思路点拨】将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线，则 AC+BC 的最小值为线段 AB 的值 .此情况可简称为 “两点 (直线异侧 )一线型 ” .【答案】如图，则点 C 就是所求点，即在河边 l 的 C 处饮马可使他所走的路线全程最短点 :活动整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题 2.牧马人觉得蹚水过河很不方便， 决定将帐篷 B 搬到河的另一侧即与马厩 A 位于河的同侧 .如图，牧马人从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后回到 B 地到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海
7、伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这就是著名的 “将军饮马问题 ” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题 2 抽象为数学问题：如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，能不能在直线 l 上找到一点 C，使 AC 与 BC 的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线 . 则 “所走的路线全程最短 ”转化为 “在直线 l 上找到一点 C，使 AC+BC 最小 ”的数学问题 . 此第 3页情况可简称为 “两点 (直线同侧 )一线型 ”.【设计意图】 学生通过动手操作， 在具体感知轴对称图形特征的基础上， 抽象出轴对称图
8、形的模型 学生将实际问题抽象为数学问题， 即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题 ”.3尝试解决数学问题活动大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B；（2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求【答案】如图，则点C 就是所求的点，即在河边l 的 C 处饮马可使马所走的路线全程最短点 .师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示： 若点 B 与点 A 在直线异侧，如何在直线l 上找到一点 C，使 AC 与 BC 的和最小； 现在点 B 与点 A 在直线同侧，能否将点 B 移到 l 的另一侧点 B处，且满足直线 l 上
9、的任意一点 C，都能保持 CB= CB? 你能根据轴对称的知识，找到（ 2）中符合条件的点 B吗？【设计意图】 一步一步引导学生， 将同侧的两点转化为异侧的两点， 为问题的解决提供思路 . 通过搭建台阶，为学生探究问题提供 “脚手架 ”，将 “同侧 ”难于解决的问题转化为 “异侧 ”容易解决的问题，渗透转化思想 .4证明 AC +BC “最短 ”活动反思过程，验证新知证明 “最短作图 ”的正确性：追问 1 你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点 C（与点 C 不重合），连接 AC，BC， BC由轴对称的
10、性质知， BC=BC， BC=BC， AC+BC=AC+ C B=AB，AC+ CB=AC + CB又在 AB C中， ABAC +B，CAC+BCAC+BC，即 AC +BC 最短第 4页活动集思广益，理解新知追问 2：证明 AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点 C(与点 C 不重合 )？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明 AC +BC 最小【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问 3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生
11、活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中， 体会轴对称的 “桥梁 ”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验 .活动反思总结，归纳新知【方法归纳】1、“两点 (直线同侧 )一线型 ”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿AB 的路径在地面上爬行小树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至 AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出
12、该点的位置.(保留作图痕迹，不写作法 )【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将树顶 C，D 抽象为两个点，将路径 AB 抽象为一条直线；（ 2）如图，作 D 关于 AB 的对称点 D，连接 CD 交 AB 于点 E，则点 E 就是所求的点 .【思路点拨】本题为 “同侧两点一线型 ”， 通过“作 D 关于 AB 的对称点 D”转化为 “异侧两点一线型 ”，再根据 “两点之间，线段最短 ”解决 . 【答案】 如图，则点 E 就是所求的点 .师：海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的 “将军饮马问题 ”：探究二“一点两线型 ”的最短周长问题问题 3. 如图，有一
13、条河流和一块草地，马厩A 建在河流和草地所成的MON第 5页内部 .牧马人某一天要从A 牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点 A 关于 OM、ON 的对称点 A、A，连接 AA分别交 OM、 ON 于 E、F，此时 AEF 周长有最小值；【思路点拨】（ 1）将 OM，ON 抽象为两条相交的直线， 将马厩 A 抽象为一个点；（ 2）抽象为数学问题：如图，点 A 在 MON 内部，试在 OM、ON 上分别找出两点 E、F，使 AEF 周长最短；（3）当
14、 AE、 EF 和 AF 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一 ”作图 .求三角形周长最短，即求 AE+EF+AF 的最小值为 AA的值，根据轴对称的性质得AE=AE，AF=AF，再由 “两点之间，线段最短 ”解决 .此情况简称为 “一点两线型 ”.【答案】作图如图1， 则此时点 E、F 使 AEF 周长有最小值AMAMECCAEAEOFD NO F FD N图 1A图 2A 师：能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图 ”的正确性：【理由简要分析】如图 2，在 OM 上任取一个异于E 的点 E，在 ON 上任取一个异于 F 的点 F，连接 AE，AE，EF，
15、AF，AF，则 AE AE，AFAF，且 AEEFFA AA=AEEFFA= AEEFFA，所以 AEF 的周长最小，故 E， F 就是我们所求使 AEF 周长最短的点练习如图所示，点 P 为 AOB 内一点， P1、P2 分别是点 P 关于 OA、OB 的对称点， P12交 OA 于点 E，交 OB 于点 F.若 P12，则PEF的周长是（）PP =9A.7B.8C.9D.10【知识点】轴对称知识【解题过程】因为 P1、 P2 分别是点 P 关于 OA、OB 的对称点，根据轴对称的性质得 PE= P1E，PF=FP2， 所以 PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .第
16、6页【思路点拨】根据轴对称知识， PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，故答案选 C. 【答案】 C师：回到家的海伦继续思考： 如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷， 又怎样设计行走的最短路线呢？探究三“两点两线型 ”的最短路径问题问题 4 如图， A 为马厩， B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩 A 牵出马，先到草地边 MN 的某一处牧马， 再到河边 l 饮马，然后回到帐篷 B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线 .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1) 作点 A 关于 MN 的对称点 A，作 B 点关于 l 的对称点 B；(2)连接 AB，分别交 M
17、N 于点 C、交 l 于点 D，则沿 A C DB 的路线行走，马一天行走的路程最短【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB 的最小值， AC+CD+DB 的最小值为 AB的值，根据轴对称的性质得CA=CA， DB=DB，再由 “两点之间，线段最短 ”即可解决 .此情况简称为 “两点两线型 ”.【答案】如图所示，牧马人沿A CDB 的路线行走，所行走的路线最短.练习 某中学八 (2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 1 所示两直排 (图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮他设计一条行走路
18、线，使其所走的总路程最短 .(保留作图痕迹，不写作法)图 1图 2【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作法： (1)作点 C 关于 OA 的对称点 C1，作 D 点关于 OB 的对称点第 7页D1 ，(2)连接 C1D1，分别交 OA 于 P、交 OB 于 Q，那么当小明沿 C P QD 的路线行走时，所走的总路程最短 .【思路点拨】 “两点两线型 ”求路径最短，所求 CP+PQ+QD 的最小值为线段 C1D1 的值 .【答案】作图如图2，小明沿 C P QD 的路线行走，所走的总路程最短.【设计意图】考查学生解决“最短路径问题 ”的综合能力 .【方法归纳】 “一点两线型 ”求三
19、角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点， 顺次连接所给的点与两交点即可得三角形 . “两点两线型 ”，也可以为求四边形 CPQD 的周长最短问题，类比 “一点两线型 ”即可解决 .3. 课堂总结师：让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题 ”，总结一下他所解决“最短路径问题 ”的所用的原理与方法 .知识梳理1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用 “两点之间线段最短 ”解决问题 .重难点归纳：最短路径问题
20、的主要类型问题作法图形原理AlB连接 AB，线段 AB直线异侧有两点：在 l与直线 l 的交点就类型一是点 P.上求一点 P，使得PA+PB 最小B作点 B 关于直线Al直线同侧有两点：在 ll 的对称点 B；连接 AB，与直线上求一点 P，使得l 相交于点 P类型二APA+PB 的最PlB小值为 AB 的值，两点之间，线段最短PA+PB 的最小值为 AB的值， PB第 8页类型三类型四PA+PB 最小 .APBO两条相交直线所成的角内有一点 P：分别在边 OA、OB 上求一点E、F，使 EFP 的周长最小 .APQOB两条相交直线所成的角内有两点 P、Q：分别在边 OA、 OB 上求一点 M
21、、N，使得四边形 MNPQ 的周长最小 .则点 P 即为所求（同样可作点 A 的对称点）分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P、P；连接 PP，与直线 OA、 OB 分别交于点 E、F则点 E、F 为所求的点作点 P、Q 分别关于直线 OA、OB 的对称点 P、 Q；连接 PQ，与直线 OA、 OB 分别交于点 M、N则点 M、N 为所求的点BAP lBPACEPBOFDPPAMPQONBQ=PB，两点之间，线段最短PE+EF+PF的最小值为PP的值，PE=PE，PF=FP，两点之间，线段最短 .PM+MN+MQ的最小值为PQ的值，PM=PM，NQ=NQ，两点之间，线段最短 .（三）
22、课后作业基础型自主突破1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在 l 上的某处修建一个水泵站，分别向 P、Q 两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）作点 P 关于直线 l 的对称点 P；（2）连接 QP，与直线 l 相交于点 M；则在 l 上的点 M 修建一个水泵站所需管道最短【思路点拨】根据 “两点一线型 ”的最短路径模型，故选 D.【答案】 D2.如图，在平面直角坐标系中，点A（ -2，4），B（4，2），在 x 轴上取一点 P，第 9页使得点 P 到点 A、点 B 的距离之
23、和最小，则点P 的坐标是（）A. （-2 ，0）B.（4 ，0）C. （2 ， 0）D.（ 0 ，0）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B（4，-2），过点 A 作 AC x 轴， BC y 轴于 E， AC 和 BC相交于点 C，连接 A B交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 D A（ -2，4），B（ 4，-2）C（-2，-2），E（0，-2），AC= BC=6. 又 ACBC， CA B= A BC=45. DEAC， DE B=90， ED B=DBE=45， DE = EB=4， D（0，2）. 同理可得 OD P = OP D
24、=45 ，OP=OD=2 ， P（ 2， 0）【思路点拨】在直角坐标系中抽出 “两点一线型 ”的最短路径模型：在直线 x 轴的同侧有点 A 和点 B 点，在直线 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 最小 .作图如图，再由图可构造得等腰直角 AC B，求出坐标 . 【答案】 C3.如图，等边 ABC 的边长为 6，AD 是边 BC 上的中线， E 是 AD 边上的动点， F 是 AC 边上的一点 .若 AF=3，当 EF+EC 取得最小值时， ECF 的度数是（）A.15 B.22.5 C.30 D.45 【知识点】等腰三角形的“三线合一 ”、轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（ 1）因为
25、等边 ABC 的边长为 6，又 AF=3，所以点 F 为 AC 中点 .取 AB 中点 F， 则点 F 与点 F关于直线 AD 对称；（2）连接 CF，与直线 AD 相交于点 E，此时 EF+EC 取得最小值 .因为 CF是等边 ABC 的边 AB 上的中线，所以 CF平分 ACB，则 ECF 的度数是 30.（做题前应先忽略原图中的点E，如图 1，再根据 “两点一线型 ”的最短距离的模型作图，如图2：）【思路点拨】分离出点F、点 C 和直线 AD，找出 “两点一线型 ”的基本模型是解决本题的关键 .连接 CF（或者连接 BF）与直线 AD 交于点 E，此时 EF+EC 取得最小值为 CF（或
26、者 BF），但题目要求 ECF 的度数，则只能连接CF，根据等腰三角形“三线合一 ”的性质求解 .【答案】 C4.如图，在四边形ABCD 中， A=90，AD=3，连接 BD，且 BDCD， ADB=C. 若 P 是 BC 边上的动点，则DP 长的最小值为.第 10 页【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短【解题过程】过点 D 作 DP BC 于 P， A=90，BDCD ， BAD 和 BDC 都是直角三角形 . 又 ADB=C， ABD= DBC. BD 是 ABC 的平分线，垂线段 DP=DA=3.【思路点拨】由题意可得BAD 和 BDC 都是直角三角形，又因为 ADB=C
27、，所以 ABD=DBC，则 BD 是 ABC 的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP 长的最小值为 3.【答案】 35.如图，要在河道l 边上建立一个水泵站，分别向A、B 两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将村庄 A、B 两地抽象为两个点，将河道l 抽象为一条直线；（ 2）作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 相交于点 C.【思路点拨】 “两点 (直线同侧 )一线型 ”，在直线 l 上找一点 C，使 AC+CB最小，AC+CB的最小值为线段AB的
28、值，再根据 “两点之间，线段最短 ”解决 .【答案】如图，点C 即为水泵站建所在的位置：6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲若甲站在AOB 内的 P 点，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P、P，连接 PP交OA 于 E、交 OB 于 F，此时 PEF 周长有最小值，即乙站在 E 处、丙
29、站在 F 处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为 “一点两线型 ”求三角形周长最短问题 .在 OA、OB 上分别找点E、点 F，PE+EF+PF 的最小值为 PP的值，根据轴对称的性质得 PE=PE，PF=FP，再由 “两点之间，线段最短 ”解决 .第 11 页【答案】如图所示，因为乙站在OA 上，丙站在 OB 上，所以当乙站在OA 上的E 处，丙站在 OB 上的 F 处时，才能使传球所用时间最少能力型师生共研7.八年级（ 6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小
30、明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地 A？ (保留作图痕迹，不写作法 )【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作 “小明 ”关于小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A，连接 AA交直线 OP 于点 B，则按“小明” B A 的线路跑，去捡 B 处的球，才能最快拿到球跑到目的地 A.【思路点拨】 “两点 (直线同侧 )一线型 ”，在直线 l 上找一点 B，使 AB+BA最小，AB+BA的最小值为线段 AA的值，再根据 “两点之间，线段最短 ”解决 .【答案】如图，小明行走的路线是 :“小明” BA，即在 B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地 A.8.如图，
31、AOB=30，点 P 为 AOB 内一点， OP=6cm，点 M、 N 分别在 OA、 OB 上，求 PMN 周长的最小值 .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定【解题过程】分别作点P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2 交 OA 于点M，交 OB 于点 N，此时 PMN 周长有最小值 = P1P2，根据轴对称的性质得 1=2， 3=4，OP1 = OP =O P2， P1OP2= 1+2+3+ 4=2AOB= 230=60， P1OP2 为等边三角形， P1 P2= OP1 =O P2 =6cm，即 PMN 周长的最小值为 6cm.【思路点拨】该题属于
32、 “一点两线型 ”求三角形周长最短问题，所求 PMN 周长 PM+MN+PN 的最小值为 P1P2 的值；根据轴对称的性质可求得 P1OP2=60， OP1 = OP =O P 2，P1OP2 为等边三角形， P1P2=6cm.【答案】 6cm探究型多维突破9、如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A，B 到河岸 CD 的距离分别为 AC，BD，且 ACBD，若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m. (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；(保第 12 页留作图痕迹，不写作法 )(2)求出最短路程 .【知识点】轴对称知识、两点
33、之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】(1)作法：如图作点 A 关于 CD 的对称点 A；连接 AB 交 CD 于点 M. (2)由(1)可得直线 CD 是点 A 与点 A的对称轴， M 在 CD 上， AMAM， ACAC，又 AC BD， ACM= BDM=90 ， AMC= BMD ， ACM BDM， CMDM ， AMBM， M 为 CD 的中点，且 AB2AM ， AM 500 m，所以 AB AM BM2AM 1 000 m即最短路程 1000 m.【思路点拨】该题为 “两点 (直线同侧 )一线型 ”求最短路径问题，在直线 l 上找一点 M，使 AM+MB 最小， AM+MB
34、 的最小值为线段 AB 的值，再根据 “两点之间，线段最短 ”解决 ; 由条件 “ACBD”可推出 ACM BDM ，从而得到最短距离 AB=2AM= 1000m【答案】 (1)如图，点 M 即为所求的点 ;(2) 最短路程为 1000 m.10.如图，在五边形ABCDE 中，在 BC，DE 上分别找一点 M ，N，使得 AMN 周长最小； (保留作图痕迹，不写作法 )若 BAE125， B E 90，ABBC，AEDE， AMN ANM 的度数为 _【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】取点 A 关于 BC 的对称点 P、关于 DE 的对称点 Q，连接
35、PQ 与 BC 相交于点 M，与 DE 相交于点 N，如图 1，PQ 的长度即为 AMN 的周长最小值，如图 2；如图 3， BAE 125，在 APQ 中， P Q180125 55， AMN P PAM2P， ANM Q QAN2Q， AMN ANM 2(P Q)255110【思路点拨】转化为 “一点两线型 ”求三角形周长最短问题，所求 AMN 周长AM+MN+AN 的最小值为线段 PQ 的值 . 根据三角形的内角和等于 180求出 P Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决【答案】作图如图2，此时 AMN 周长最小； AMN ANM110.自助餐第 13 页1. 如图
36、，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（ 2，8）和（ 6，0），点 C 是y 轴上的一个动点，且A、B、 C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（）A.（ 0， 0）B.（ 0，2）C.（ 0， 4）D.（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作 B 点关于 y 轴对称点 B点，连接 AB交 y 轴于点 C，当点 C 在C处时 ABC 的周长最小 . 过点 A 作 AEx 轴于点 E， 点 A、 B 的坐标分别为（ 2， 8）和（ 6，0）， B点坐标为（ 6，0）， E（ 2， 0），AE=8， OE=2. BE=8
37、， BE =AE，O B=BEOE=6. 又 AE BB， A BE=BAE=45，COAE ， COB=90， C BO= BCO =45 ， CO = BO =6，点 C的坐标是（ 0，6），当点 C 在 C处时 ABC 的周长最小，故选 D【思路点拨】分离出 “两点一线型 ”的最短路径模型：在 y 轴的同侧有点 A 和点B，点，在 y 轴上找一点 C，使 AC+CB 最小 .作图时应忽略图中的点 C，再由图可构造等腰直角 AC B，求出坐标 .【答案】 D2. 如图所示，点 P 为 AOB 内一点， OP=9，P1、P2 分别是点 P 关于 OA、OB的对称点， P1P2 交 OA 于点
38、 E，交 OB 于点 F.当 PEF 的周长是 9 时，AOB 的度数为（）A.15 B.30 C.45 D.60 【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的知识【解题过程】连接 O P1，2OP=9 ，P1 、P2 分别是点 P 关于 OA、OB 的对O P .称点 ，根据轴对称知识O P1=O P2=OP =9，PE= P1E， PF=FP2 . PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9， O P1=O P 2= P 1 P2， OP1 P2 是等边三角形 .又由轴对称知识得 P1 OP2=P1 OP+ POP2=2（ AOP+ POB）=2AOB， 2 AOB
39、=60， AOB=30【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，如图连接 OP1， O P2 易得证 OP1 P2 是等边三角形，故答案选B【答案】 B3.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A 村与 B 村供水(1)若要使厂部到 A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？第 14 页(2)若要使厂部到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法 )【知识点】垂直平分线的知识，轴对称知识，两点之间线段最短【解题过程】 (1)作线段 AB 的垂直平分线，与 EF 交于点 P，交点 P 即为符合条件的点如图 1，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 作 AB 的垂线，交 EF 于 P，则P 到 A，B 的距离相等也可分别以A、B 为圆心，以大于1 AB 为半径画弧，两2弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点 P 即为所求