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1、经济应用数学二(线性代数) 2065 - 经济应用数学二（线性代数） 单项选择题 1设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（ ） A.|A|=0 B.|E+B|=0 C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=0 答案：C 2 A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：C 3若C=AB，则（ ） A.A与B的阶数相同; B.A与B的行数相同; C.A与B的列数相同; D.C与A的行数相同。 答案：D 4A*是A的伴随矩阵，且|A|0，刚A的逆矩阵A-1=（ ）。 A.AA* B.|A|A* C. ； D.AA* 答案：C 5矩阵A的秩为r，则知 （ ） A.A中所有
2、r阶子式不为0； B.A中所有r+1阶子式都为0； C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0； D.r-1阶子式都为0。 答案：B 6A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（ ）。 A.|A| ； B.1； C.|A|n-1 D.|A|n+1 答案：C 7设A，B，C为同阶矩阵，若ABAC，必推出BC，则A应满足条件（ ） A.|A|0 B.AO C.|A|0 D.A0 答案：A 8设A是sxt矩阵，B是同mn矩阵，如果ACTB有意义，则C应是（ ）矩阵。 A.sn B.sm C.mt D.tm 答案：C 9设 A、B为n阶矩阵，A可逆，k0，则运算（ ）正确. A. B. C.
3、D. 答案：D 10设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（ ）。 A.2 B.-2 C. D. 答案：C 11设 A是mk矩阵, B是mn矩阵, C是sk矩阵, D是sn矩阵,且kn, 则下列结论错误的是（ ）. A.BTA是nk矩阵 B.CTD是nk矩阵 C.BDT是ms矩阵 D.DTC是nk矩阵 答案：B 12设 A、B为n阶方阵，则（ ）. A. B. C. D.AB = O时，A = O或B = O 答案：A 13设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（ A.若A ,B均可逆, 则 A + B 可逆 B.若A ,B均可逆, 则 AB 可逆 C.若A + B可逆, 则 A
4、- B 可逆 D.若A + B可逆, 则 A, B均可逆 答案：B 14当（ ）时，A =是正交阵. A.a = 1, b = 2, c = 3 B.a = b = c = 1 C. D. 答案：C 15设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（ A.A=0 B.A3=0 C.R(A)=0 D.R(A)=3 答案：B 16在下列命题中，正确的是（ ） A. B.若AB，则； C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵； D. 。） ） 答案：D 17t满足（ ）时，线性无关. A.t1； B.t=1 ； C.t0； D.t0. 答案：A 18设 1,2,s为n维向量组, 且秩R(1,2,s)
5、=r 则（ ）。 A.该向量组中任意r个向量线性无关； B.该向量组中任意 r+1 个向量线性相关； C.该向量组存在唯一极大无关组； D.该向量组有若干个极大无关组. 答案：B 19如果两个同维的向量组可以相互线性表示, 则这两个向量组（ ）. A.相等 B.所含向量的个数相等 C.不相等 D.秩相等 答案：D 20设1,2,3是AX = B的三个线性无关的解, 其中A是秩为1的43矩阵, B是4维列向量，则下列（ ）是AX=O的基础解系. A.1+2+3 B.1+223 C.1，2，3 D.21，32 答案：D 21如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（ ） A.相等； B.所含向量的
6、个数相等； C.不相等 ； D.秩相等。 答案：D 22两个n阶矩阵A与B相似的，是指（ ） A.PAP-1=B B.QTAQ=B C.Q-1AQ=B D.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵） 答案：C 23当A是正交阵时，下列结论错误的是（ ）. A.A-1=AT B.A-1也是正交阵 C.AT也是正交阵 D.A的行列式值一定为1 答案：D 24设 =4 是方阵A的一个特征值, 则矩阵A5E的一个特征值是（ ）. A.1 B.9 C.1 D.9 答案：B 计算题 25计算行列式D= 答 。 案： 26计算行列式 答。 案： 27计算行列式D = 答案：D=(2-b2)2 . 28 答案：解
7、： 29解矩阵方程XA =B ，其中.求X。答案： 30判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。答案：解：因为 可逆。 所以 。 所以。 ，所以 31求解线性方程组. 答案： 32求向量组 量用此极大无关组线性表示。 ，的一个极大无关组，并把其余向 答案： ，且 。 所以一个极大无关组为 33求齐次线性方程组的通解。 答案：解:， 所以，基础解系.所以通解为： 。 34设，求A的特征值及对应的特征向量. 答案：解： 对于15， 特征值15，231. ，特征向量为 对于2-1， ，特征向量为 . 35 答案： 解：由 得A的特征值为： 当时，齐次方程组为 。 , ， 由，解得基础解系为 ，所以A
8、的属于特征值 当 由 时，齐次方程组为 的全部特征向量为, 。 ，解得基础解系为 特征值的全部特征向量为。 所以A的属于 36求矩阵的特征值和特征向量。 答案：解：由 当时，齐次方程组为 解得基础解系为 , ，得A的特征值为：。 ，所以A的属于特征值 当时，齐次方程组为 的全部特征向量为, 。 解得基础解系为 所以A的属于特征值的全部特征向量为。 37将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。 答案：解： 38将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。 答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得
9、39化二次型f(x1,x2,x3)=x12-4x1x2-4x1x3+2x22+3x32为标准型。 答案： 填空题 40行列式D=的转置行列式DT= _ 。 答案：DT= 418级排列36215784的逆序数在(36215784)=_. 答案：10 42若行列式，则x=_。 答案：-5 43排列36i15j84在i=_,j=_时是奇排列。 答案：7，2 44若 答案：5 45 答案： ，则x=_. 46设A为三阶矩阵且|A|2，则|4A|_ . 答案：128 47A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=_。 答案： 48若A= 答案：2 49设A=，则R(A) =_. ，则A-1=_. 答
10、案： 50若A= 答案：3 ，则R(A) =_. 51设向量组， _（填线性相关或线性无关）。 答案：线性相关 ，则向量组1,2,3,4线性 52k满足_时，线性方程组只有零解. 答案：k2且k1 53单独一个零向量必线性_，单独一个非零向量必线性_. 答案：相关，无关 54设=(1 1 0),=(0 3 0),=(1 2 0),则 3+2-4 =_。 答案：(-1 1 0) 55二次型 f(x,y)= x2-4xy+y2 的系数矩阵是 ? 答案： 56当 t 满足条件_，使二次型 f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。 答案： 57二次型 f(x,y)
11、=2x2-xy-y2的系数矩阵是_。 答案： 证明题 58设A,B为 r 阶矩阵，且 答案：证明：由，证明：A2=A成立的充要条件是B2=E。 又 故B2=E,从而A2=A等价于B2=E。 59设向量组1,2,3线性无关，证明：向量组1+2,2+3,3+1线性无关。 答案： 60如 1,2,3,t向量组线性无关，试证明：向量组1,1+2,1+2+3, ,1+2+t 线性无关。 答案：证明：假设向量组1,1+2, ,1+2+ +t 线性相关，那么存在不全为0的数 k1，k2， kt，使得： k11+k2(1+2)+k1(1+2+ +t )=0 ， 所以：k11+k21+k22+k11+k12+ +ktt =0； 即：（k1+k2+kt）1+(k2+kt)2+ktt=0 。 因为向量组 1,2,3,t 线性无关，所以： k1+k2+kt =0， k2+kt =0， ， kt =0， 所以 k1=k2=kt =0 矛盾。故向量组 1,1+2, ,1+2+ +t 线性无关。