《2020届高考数学教研讲义：柯西不等式(无答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学教研讲义：柯西不等式(无答案).docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、柯西不等式试题分析：年份高考试题主要考点考查内容2010自选模块， 5 分柯西不等式利用柯西不等式求最值2011自选模块， 10 分柯西不等式利用柯西不等式证明不等式2012文 9，5分柯西不等式的应用利用柯西不等式求最值2014文 16，4 分；自选柯西不等式的应用基本柯西不等式模块 5分求最值，证明不等式一、知识点1、柯西不等式的二维形式(a 2 + b2 )(c2 + d 2 )(ac + bd ) 2，（当且仅当adbc 时，等号成立）2、柯西不等式的n 维形式设 a1, a2 , an ; b1 ,b2 ,bn 为实数，则有(a b + a b + a b )2(a2+ a2+ +
2、a2 )(b2+ b2+ + b2 )1122n n12n12nnnna1a2anii简写为 ( i i i iina2 )(2) (a b )2（当且仅当=或 a,b,1,2,3, ,bb1b2=i=1i=1i=1bn中有至少一方全为零等号成立）3、柯西不等式的三角形式：a2 + b2 +c2 + d 2 (a + c)2 + (b+ d )2 （当且仅当 adbc时，等号成立）4、柯西不等式的向量形式：m n m n、n 共线时等号成立）（ m二、 实战训练1、利用柯西不等式解决不等式证明问题【典例精析】（ 2017 江苏）已知 a,b, c, d 为实数，且 a2b24, c2d 216
3、 ，证明： acbd8变式训练：1. （ 2014 年高考浙江自选模块）设正数a,b, c 满足 abc = a + b + c ，求证：ab+ 4bc+ 9ac 36 ，并给出等号成立的条件.2. （ 2011 浙江自选） 设正数 x, y, z 满足 2x2 yz1 .（1）求 3xyyzzx 的最大值；（2）证明：3111251xy1yz1zx261493.已知 x, y, zR ，且 x + y + z= 1，求证： + + 36 x y z4.已知 a1 , a2 , , anR , 求证： a12 + a22 + + an2 1( a1 + a2 + + an )2n2、利用柯西不
4、等式解决最值问题【典例精析】 （ 2014 年高考浙江卷文科第16 题）已知实数a,b, c 满足 a+ b+ c = 0 ，a 2 + b2 + c2 = 1 ，则 a 的最大值为 _.变式训练：1.（2010 浙江自选）设正实数a，b， c，满足 abc 1a2b2c2求b 2c的最小a 2bc 2a值ab2.已知 a, b 为正常数，x 0, y 0 ，则 ( x+ y)(+) 的最小值为（）xyA. 4abB. (a +b) 2C. 2abD. a+ b3.若正数 a, b 满足 a + b = 1，则1+4 的最小值是 _a+ 1b+ 24.已知1+1的最小值为 _R ，则22sin
5、 cos11在条件 ab c 时恒成立，则的取值范围是 _5.若不等式0a bb c c a【典例精析】（ 2012 年高考浙江卷文科第9 题）若正数 x, y 满足 x3y5xy ，则 3x + 4 y 的最小值是 _.变式训练：1.已知 x, y R+ ，且 3x2 + 2 y2 6 ，求 = 2x+ y 的最大值。2.求函数 y3x1102x 的最大值。3.函数 y =1- x +4+ 2x 的最大值为 _3、柯西不等式的向量形式【典例精析】若a = (cos ,sin ) ， b = (3 cos2,3sin 2) ，则 ab 的取值范围是 _变式训练：1.若 a, b R+ ，且 a
6、 + b =5，求证： 2a 1 3b 21062.设 a( 2,2), b = 6 ，则 ab 的最小值是 _,此时 b = _4、柯西不等式的三角形式【典例精析】函数( )28202610 的最大值是f xxxxx_变式训练：求函数( )2- 6132440 的最小值f xxxxx5、柯西不等式的综合应用【典例精析】（ 2014 年高考湖北卷理科第9 题）已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1 PF23，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.4 3B.2 3C.3D.233变式训练：1.若长方形ABCD 是半径为 R 的圆内接长方形，则长方
7、形ABCD 周长的最大值为（）A.2 RB.22RC.4RD.42Rxy1通过点 M (cos,sin) ，则（）2.直线 abA. a2b21B. a2b21111111B. a2b2D. a2b23.（陕西卷） 设 a, b,m, nR ，且 a2b25, manb5 ，则m2n2 的最小值为 _.4. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 120 . 如图所示， 点 C 在以 O 圆心的圆弧 AB 上变动， 若 OCxOAyOB ，其中 x, y R ，则 x y 的最大值是 _.课后练习49161.设 a, b, c 均为正数且 a+ b+ c = 9 ，则+
8、 +的最小值为（）abcA.81B.9C.7D.492.若存在实数x 使3x614xa 成立，常数a 的取值范围为 _ .3.已知 lg( x + y) = lg x+ lg y ，则 x+ 2 y 的最小值为 _.4.已知 a, b R+ ，且 a+ b= 1 ，求证： (ax + by)2 ax 2 + by 25.已知 a, b, c, d 是不全相等的正数，求证：a2 + b2 + c2 + d 2 ab + bc + cd + da222333a + b + c6.已知正数 a, b,c 满足 a+ b+ c = 1，证明： a + b + c37. （ 2017 年高考全国卷理科第23 题）已知 a0,b0 ， a3b3 2 ，证明：（） a b a5b54 ；（） ab2.8. （ 2013年高考新课标卷理科第24 题）设 a, b, c 均为正数，且a b c 1 ，证明：a2b2c2bc1 .a