《高三立体几何单元测试卷及详细答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三立体几何单元测试卷及详细答案.docx（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、立体几何单元测试卷一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求 )1设 m ，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列四个命题：若 ，m? ，则 m；若 m，n? ，则 mn；若 ， m，则m；若 m，m，则 .其中为真命题的是()ACBD2用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()8 8 2A.B.33C8 232 D.33某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ()A4B2 220D8C.34. 如图所示，正四棱锥 P ABCD 的底面积为 3，体积为2，E 为侧棱 PC2
2、的中点，则 PA 与 BE 所成的角为 ()A.B.64C.D.325直三棱柱ABC A1B1 C1 的直观图及三视图如下图所示，D 为AC的中点，则下列命题是假命题的是()AAB 1平面BDC 1BA1C平面BDC 1C直三棱柱的体积V4D直三棱柱的外接球的表面积为43.6. 如图所示是一个直径等于 4 的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成 80角的截面，则截面的面积为 ()A.B2C2 Dsin80 7一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()3 3 33A. 5 1B2 533 12223 3 333 C. 5D. 5 122228二
3、面角的棱上有A、B 两点，直线 AC、 BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知 AB 4，AC 6，BD 8，CD 217，则该二面角的大小为 ()A150 B45 C60 D120 9. 如图所示，已知 ABC 为直角三角形，其中 ACB 90 ，M 为 AB 的中点， PM 垂直于ABC 所在平面，那么 ()APA PB PCBPA PBPCCPA PB PCDPA PBPC10正方体 ABCD A1B1 C1D1 中， E 是棱 BB 1中点， G 是 DD 1 中点， F 是1)BC 上一点且 FB BC ，则 GB 与 EF 所成的角为 (4A30 B120 C
4、60 D90 11已知正方体 ABCD A1B1 C1D1 棱长为 1，点 P 在线段 BD 1 上，当APC最大时，三棱锥 PABC 的体积为 ()11A.B.241811C.D.91212. 已知正三棱锥 P ABC 的高 PO 为 h，点 D 为侧棱 PC 的中点， PO 与2BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥 PABC 的体积为 ()33323A.h3B.h388333C.h3D.h384二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )13已知四个命题：若直线 l平面，则直线 l 的垂线必平行于平面 ；若直线l与平面 相交，则有且只有一个平面经过直线
5、l与平面垂直；若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体其中正确的命题是 _14(2013 江苏) 如图所示，在三棱柱A1 B1 C1 ABC 中，D，E，F 分别是AB ，AC ， AA1 的中点，设三棱锥FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1 B1C1ABC的体积为 V2，则 V1 V2 _.15(2012 辽宁)已知正三棱锥 P ABC ，点 P，A，B，C 都在半径为3的球面上，若 PA ，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_16如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方
6、形， E、 F、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF 平面PBC ；平面 BCE 平面PAD.其中正确的有 _个三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17 (本小题满分10 分) 如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，ADC 45 ，AD AC 1，O 为 AC 的中点， PO 平面ABCD ，PO 2， M 为 PD 的中点(1)证明： PB 平面ACM ；(2)证明： AD 平面PAC ；(3)求直线 AM 与平面 A
7、BCD 所成角的正切值18(本小题满分 12 分) 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA 平面ABCD ，四边形 ABCD 为正方形， AB 4，PA 3，A 点在 PD 上的射影为 G 点，E 点在AB 上，平面 PEC 平面PCD .(1)求证： AG 平面PEC ；(2)求 AE 的长；(3)求二面角 EPC A 的正弦值19(本小题满分 12 分) 如图所示，在六面体ABC DEFG 中，平面 ABC 平面 DEFG ，AD 平面 DEFG ，ED DG ， EFDG .且 AB AD DE DG 2，AC EF 1.(1)求证： BF 平面ACGD ；(2)求二面角 DCG F
8、的余弦值20 (本小题满分 12 分) 如图所示，在三棱柱ABC A1 B1C1 中， AC BC ，AB BB 1，AC BC BB1 2，D 为 AB 的中点，且 CD DA1.(1)求证： BB 1面ABC ；(2)求多面体 DBC A1 B1C1 的体积；(3)求二面角 CDA 1 C1 的余弦值21 (本小题满分12 分) 如图所示，在直三棱柱ABC A1 B1 C1 中，ACB 90，2AC AA 1BC2.(1)若 D 为 AA 1 的中点，求证：平面B1 CD 平面B1 C1D；(2)若二面角 B1 DC C1 的大小为 60 ，求AD 的长22(本小题满分 12 分) 如图所
9、示，在四棱锥PABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD ，侧棱 PA PD 2， PAPD ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD ，AB AD ，AB BC1，O 为 AD 中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q AC D 的余弦值为6？3PQ若存在，求出的值；若不存在，请说明理由QD立体几何单元测试卷答案一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求 )1答案C解析为空间面面平行的性质，是真命题；m， n 可能异面，故该命题为
10、假命题； 直线 m 与平面 也可以平行也可以相交不垂直故该命题是一个假命题；为真命题故选C.2答案B解析S 圆r21? r 1，而截面圆圆心与球心的距离d 1，球的半径为Rr2 d2 2.482VR3 ，故选 B.333答案D解析由三视图可知， 该几何体如图所示， 其底面为正方形， 正方形的边长为 2.HD 3，BF 1，将相同的两个几何体放在一起， 构成一个高为4 的长方体，1所以该几何体的体积为2248.24.答案C解析连接 AC 、BD 交于点 O，连接 OE ，易得 OE PA .所求角为BEO .612由所给条件易得 OB ，OE PA ，BE 2.2221cos OEB ，OEB
11、60 ，选C.25答案D解析由三视图可知，直三棱柱 ABC AB C1的侧面 BCCB 是边长为 21111的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，BC2.连接1 交BC1AB BCABB C于点 O，连接 AB 1，OD .在CAB 1 中，O，D 分别是 B1 C，AC 的中点，OD AB 1，AB 1平面BDC 1.故 A 正确直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA 1 平面ABC ，AA1BD.又 AB BC 2， D 为 AC 的中点，BDAC ，BD 平面AA1 C1C.BDA1C.又 A1 B1B1C1，A1B1 B1B，A1B1平面B 1C1 CB ，A1B1BC 1.BC
12、1B1C，且 A1B1 B1CB1，BC 1 平面A1 B1C.BC1A1C，A1C平面BDC 1.1故 B 正确 VSABC C1C 2224 ，C 正确2此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为 12 ，D 错误故选 D.6.答案C解析过半球底面的中心作一个与底面成80的截面，截面是球的半个大1圆，半径为 2，所以截面面积22，故选 C.S 227答案A解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为2，圆锥的母113线长为6，故该几何体的表面积为 S 252 2 6 ( 2)2224313 3 3 21 52 1.4228答案C解析由条件，知 CA AB 0， ABBD 0，CDCA
13、AB BD . |CD |2 |CA |2|AB |2 |BD |2 2CA AB 2AB BD 2CA BD 62 42821 268cos CA，BD(2 17) 2.cosCA ，BD ，CA ，BD 120 2，二面角的大小为60 ，故选C.9.答案C解析M 为 AB 的中点，ACB 为直角三角形，BM AM CM ，又 PM 平面 ABC ，RtPMB RtPMA Rt PMC ，故 PA PB PC .10答案D解析方法一：连 D1E，D1F，解三角形 D1 EF 即可方法二：如图建立直角坐标系Dxyz ，设 DA 1，由已知条件，得11311G(0,0 ， )，B(1,1,0)
14、，E(1,1 ， )，F(，1,0) ，GB (1,1 ， )，EF ( ，2242410， )2 GB EFcos GB ， EF0，则 GB EF . 故选 D.|GB |EF|11答案B解析以 B 为坐标原点， BA 为 x 轴， BC 为 y 轴， BB 1 为 z 轴建立空间直 AP CP角坐标系，设 BP BD 1，可得 P(，)，再由 cos APC 可求得当|AP |CP |11 111 时，APC 最大，故 VPABC 11 .33 231812.答案C解析设底面边长为 a，连接 CO 并延长交 AB 于点 F，过点 D 作 DE PO2交 CF 于点 E，连接 BE ，则B
15、DE 为 PO 与 BD 所成的角，cos BDE . 3PO 平面ABC ，DE平面ABC ，即BED 是直角三角形，点 D 为侧棱 PC 的h，BE 143中点，DE h.易知 EF a，则在 RtBEF 中， BE2EF 2243a2a2731 1333FB 2，即 h2，a2 h2 ，VPABC aaha2 hh3 ，3482322128故选 C.二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )13答案解析正确，如右图， A1C 与 B1D 互相平分，则四边形A 1B1CD 是平行四边形，同理四边形ABC 1D1 是平行四边形， 则 A1B1 綊
16、 AB 綊 CD ，因此四边形ABCD 是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体14答案124解析由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为 12，SADE SABC 14.1AF SAED3因此 V1V2 124.2AF SABC315 答案3解析正三棱锥 P ABC 可看作由正方体 PADC BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥 PABC 的外接球的直径，且PF 平面ABC .设正方体棱长为 a，则 3a212 ，a 2，AB AC BC 22.13SABC 2 22 22 3.2211123由VV，得 222，所以h，因此球心PABCBPAC3A
17、BC3233到平面 ABC 的距离为.316答案2解析将几何体展开图拼成几何体 (如图 )，因为 E、 F 分别为 PA 、PD 的中点，所以 ，即直线BE与CF共面，错；因为B?平面PAD，EEF AD BC平面 PAD ，E?AF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为EF ADBC ，EF?平面 PBC ，BC?平面 PBC ，所以 EF 平面PBC ，正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，错三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )1745答案(1)略 (2) 略 (3)5解析(1)连接 BD ， MO ，在平行四边形 ABC
18、D 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点，所以 PBMO .因为 PB?平面 ACM ，MO 平面ACM ，所以 PB 平面ACM.?(2)因为ADC 45，且AD AC 1，所以DAC 90 ，即AD AC .又 PO 平面ABCD ，AD?平面 ABCD ，所以 PO AD .而 AC PO O ，所以 AD 平面PAC .(3)取 DO 中点 N，连接 MN ，AN .因为 M 为 PD 的中点，所以 MN PO ，且1MN PO 1.由 PO 平面ABCD ，得 MN 平面ABCD ，所以MAN 是直线 AM 215与平面 ABCD 所成的
19、角在 RtDAO 中， AD1，AO ，所以 DO .从2215MN145而 AN DO .在 Rt ANM 中， tanMAN ，即直线 AM24AN55445与平面 ABCD 所成角的正切值为.5183632答案(1)略 (2)(3)1025解析(1)证明：PA 平面ABCD ，PA CD .又CD AD， PA AD A，CD 平面PAD .CD AG .又 PDAG ，AG 平面PCD .作 EFPC 于点 F，连接 GF ，平面PEC 平面PCD ，EF平面PCD .EF AG .又 AG?平面 PEC ，EF?平面 PEC ， AG 平面PEC .(2)解：由 (1) 知 A、E、
20、F、G 四点共面，又 AECD ，AE?平面 PCD ， CD?平面 PCD ，AE平面PCD .又平面AEFG 平面PCD GF ，AE GF .又由 (1)知 EFAG ，四边形AEFG 为平行四边形， AE GF .12PA 3， AD 4，PD 5，AG .59又 PA2 PG PD ，PG .59GPPG436536又，GF ，AE .CDPD52525(3)解：过E作于点O，连接OF，易知EO平面，又 ，EO ACPACEF PCOF PC.EFO 即为二面角 EPC A 的平面角362182，又 EF AG 12EO AE ，sin45225525EO18 253 2sinEFO
21、 .EF251210196答案(1)略 (2)6解析方法一： (1) 设 DG 的中点为 M，连接 AM ，FM .则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形MF DE ，且 MF DE .平面ABC 平面DEFG ，ABDE .AB DE，MF AB ，且 MF AB ，四边形 ABFM 是平行四边形BFAM .又 BF?平面 ACGD ，AM?平面 ACGD ，故 BF平面ACGD .(2)由已知 AD 平面DEFG ，DE AD .又 DE DG ，且 ADDG =D,DE平面ADGC .MF DE ，MF 平面ADGC .在平面 ADGC 中，过 M 作 MN GC ，垂足为 N，连
22、接 NF，则MNF 为所求二面角的平面角连接 CM .平面 ABC 平面DEFG ，AC DM .又 AC DM 1，所以四边形ACMD 为平行四边形， CM AD ，且 CM AD 2.AD平面DEFG ，CM 平面DEFG ，CM DG .在 RtCMG 中，CM 2 ，MG 1，CM MG22 5MN .CG55在 RtCMG 中，25MF 2，MN ，5FN42304 .5525MN56cos MNF .FN230 656二面角DCG F 的余弦值为.6方法二：由题意可得， AD ，DE ，DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系则 A(0,0,2) ， B(2,0,2) ，C
23、(0,1,2) ， E(2,0,0) ， G(0,2,0) ，F(2,1,0) (1)BF (2,1,0) (2,0,2) (0,1 ， 2)，CG (0,2,0) (0,1,2) (0,1 ， 2) ，BF CG .BF CG .又 BF?平面 ACGD ，故 BF平面ACGD .(2)FG (0,2,0) (2,1,0) ( 2,1,0) 设平面 BCGF 的法向量为 n1 (x，y，z)，n1CG y2z 0，则n1FG 2xy0.令 y 2，则 n 1 (1,2,1) 则平面 ADGC 的法向量 n2(1,0,0) n 1n2cos n1， n2|n1 |n2|116.12 22 12
24、 1 202 0266由于所求的二面角为锐二面角，二面角D CG F 的余弦值为.6201015答案(1)略 (2)(3)35解析(1)证明：AC BC ，D 为 AB 的中点，CD AB .又 CD DA1 ，AB A1DD，CD 面AA 1B1B .CDBB 1.又 BB1 AB， ABCD D，BB 1 面ABC .(2)解：V多面体DBC11C1 V棱柱ABC11C1V棱锥A1ADCA BAB | 1|1 |1 | |111 |5 |1|SSS1| |SABC3ADCABC32ABC6ABC10 .3(3)解：以 C 为原点，分别以 CB， CC 1，CA 的方向为 x 轴，y 轴，
25、z 轴的正向，建立空间直角坐标系 (如图所示 )，则C(0,0,0) ，B(2,0,0) ，A(0,0,2) ，C1(0,2,0) ，A1(0,2,2) D(1,0,1) n1 (1 )是平面DCAn1CD 0，设1，1，1 的一个法向量，则有即xyzn1CA1 0，x1z1 0，2y12z1 0.x1 z1，故可取 n (1,1 ， 1)1y1 z1.同理设 n2 (x2，y2 ，z2)是平面 DC 1A1 的一个法向量，且 C1 D(1， 2,1) ，C1 A1(0,0,2) n2 C1D 0 ，x2 2y2z20，则有即2z2 0.n2 C1A1 0，x2 2y2 ，故可取 n (2,1
26、,0) 2z2 0.n n31512cos n1， n23 5.|n1 |n2 |515又二面角 C DA 1C1 的平面角为锐角，所以其余弦值为.521答案(1)略(2)2解析(1)方法一：证明：A1C1B1ACB 90 ，B1C1A1 C1.又由直三棱柱的性质知B1 C1CC 1，B1C1平面ACC 1A1 .B1C1CD .由 D 为 AA 1的中点，可知 DC DC 1 2.222，即 CD DC 1.DC DC 1CC 1由可知 CD 平面B1 C1D.又 CD?平面 B1CD ，故平面 B1CD 平面B1C1D.(2)解：由(1) 可知 B1C1平面ACC 1A1 ，在平面 ACC
27、 1A1 内过 C1 作 C1 ECD ，交 CD 或其延长线于 E，连接 EB1，B1 EC 1 为二面角 B1 DC C1 的平面角B1 EC 160 .由 B C 2 知， C223E.111tan60 3设 AD x，则 DC x2 1.1223C的面积为 1， x1 1.DC123解得 x2，即 AD 2.方法二：(1)证明：如图所示，以 C 为坐标原点， CA 、CB 、CC 1 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0) ，A(1,0,0) ，B1 (0,2,2) ，C1(0,0,2) ，D(1,0,1) ，即C1 B1(0,2,0) ，DC 1 (1,0,1) ，CD (1,0,1) 由CDC1 B1 (1,0,1