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1、 新课标解读之“数与代数”领域内容分析与研讨各位老师大家好！今天能够作为小学暑期培训教师代表发言，我感到非常荣幸。我主要负责义务教育小学数学课程标准“数与代数”部分的解读。下面我结合自己的教学实践，与大家一起交流。也希望通过交流能够引发大家更多的思考和共鸣。 我们都知道，数与代数部分是小学数学课程的重要内容。在小学数学学习中占的比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，可以说它是学习数学的主线。“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程等。 通过研究分析这部分的内容,可以使我们了解小学阶段数与
2、代数内容的本质与发展，从整体上把握相关概念和数的发展脉络，促使数与代数内容的教学设计和教学目标的实现。下面我围绕以下几个问题和大家交流一下：1、 小学数学新课程标准和旧课标比较有何变化？2、 数与代数部分的核心概念。3、 如何建立“数”的概念？ 4、如何处理运算教学中的算理与算法的关系？ 5、如何落实新课标对估算的要求？ 6、 如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量 问题一：小学数学新课程标准和旧课标比较有何变化？标准对数与代数这部分内容作了较大地改革： 1重视数与符号意义以及对数的感受，体会数字用来表示和交流的作用。通过探索丰富的问题情景发展运算的含义，在保持基本笔算训练的前提下，强调能
3、够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法，加强估算，引进计算器，鼓励算法多样化。 2对于应用问题：选材强调现实性、趣味性和可探索性；题材呈现形式多样化（表格、图形、漫画、对话、文字等）；强调对信息材料的选择与判断（信息多余、信息不足）；解决的策略多样化；问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。 3使学生初步体会数学可以发现、描述、分析客观世界中多种多样的模式，把握事物的变化和事物间的关系；初步发展学生的符号意识，学会用符号表达现实问题中的一些基本关系，会初步进行符号运算。 4体会方程和函数是刻划现实世界，有效地表示、处理、交流和传递信息的强有力工具，是探究事物发展规律
4、，预测事物发展的重要手段，重视对简单现实问题的建模过程，学会选择有效的符号运算程序和方法解决问题，重视近似解法特别是图象解法。我们来看每个学段都有哪些变化： 第一学段: 增加“能进行简单的整数四则混合运算（两步）”增加了认识小括号， 使一些目标的表述更加准确。例如将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”，修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。 第二学段： 增加的内容： 增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。 增加“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。 增加“在具体情境中，了解常见的数量
5、关系：总价=单价数量、路程=速度时间，并能解决简单的实际问题”。 增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。 调整的内容： 将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质” 将“会用等式的性质解简单的方程(如3x+25，2x-x3)”，改为“能解简单的方程(如3x+25，2x-x3)”。 使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系”，改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。 问题二：“数与代数部分的核心概念”解读 此次标准提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用
6、意识和创新意识。把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。数与代数这一部分的重要核心概念包括：数感、符号意识、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。下面我主要把数感、符号意识、推理能力、模型思想等四个核心概念与大家一起交流。 1、数感：数感就是对数的感悟。是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。建立“数感”有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情景中的数量关系。在以前的教学中，总感觉数感是直觉，是潜意识的，我们也感到数感作为课堂教学目标不好把握，找不到它的教学支点。那么如何在教学过程中帮助学生建立数感呢？下面我就结合自己的
7、教学实践，谈谈我的一些观点： 数感的培养分成四个步骤： 体验生活,建立数感 在教学比的意义时。这节内容看似简单，其实要讲透十分困难，这节课的一个重点就是让学生体会比是一种数量关系。比如，甲数和乙数的比是3:2，那么甲是乙的几分之几？这类题目在毕业前总复习阶段常有学生弄错。我觉得可能主要的原因就是在比的概念的形成过程中，没有很完整地让学生经历概念形成的过程，为以后的学习埋下隐患。甲数与乙数的比为3：2，它可以表示至少两种数量关系：甲数是乙数的3/2，乙数是甲数的2/3。老师们看似简单，其实对学生来说是很容易混淆的。我们必须让学生明白知识“从哪里来”“到那里去”，比从哪里来？其实，比就是从生活中来
8、，我们必须让学生充分体验生活中的比所表示的关系，才能让学生真正理解知识，并应用知识。比如刚才的例子换成（课件出示：3杯牛奶和2杯果汁）先让学生用已有的分数知识表示出牛奶与果汁的关系，再引入比来表示牛奶和果汁的关系，从而让学生体会到比能简洁地表示出分数所能表示的两个数量关系，认识到学习比的必要性。并能理解比所表示的这两个数量关系，并很好地感悟比的意义，建立数感。当学生建立数感后，遇到生活中的溶液配制问题就会迎刃而解，比如：米与水的比为：1:2，学生会想到水量是米量的2倍。从而在这些生活实例中体会了数的含义，初步建立了数感。 实践操作,增强数感. 比如，教学“千克的初步认识”时可安排学生完成以下操
9、作活动 A、让学生把大米装在塑料袋里，并称出1千克的大米，让学生掂一掂，初步感受1千克有多重。 B、学生分别掂一掂自带的物品（如重500克的袋装盐、重250克的味精）比较，并体会不同重量物品的感觉差异。 C、发给每组三个重量不一装有大米的塑料袋（内有一袋重为1千克），让学生分别掂一掂，找出重1千克的袋子，看谁找得准。 D、让学生拿出若干的课本和练习本，先掂一掂，并能够增减，估计一下是否有1千克，再用称验证，然后推测出2千克、5千克一共有多少本。 在实践操作中体会1克的物体能吹得动，1千克的物体能掂得动，强化了学生的数感。 合作学习，交流数感 我们知道，数学知识有一个从形象到表象，从表象到抽象，
10、两个过程。而这两个过程，也是两次提升，而在这个提升的过程中，合作交流起到了非常重要的作用。小组合作学习有利于学生人人参与学习全过程，它不仅能发掘个人内在的潜能，还能培养集体合作精神，人人可以尝试成功的喜悦。同学之间的语言最容易理解，数感也能得到进一步加强。 比如在9加几教学中， 在指导学生动手操作体会“凑十法“后，这时学生的思维停留在具体形象的层面，这时学生更多是对活动本身的喜欢，而不是对数学的热爱，若你认为活动经验的积累只停留这个层面，这样的教学很容易流于热闹的形式，根本没有深入到数学的本质。 动手、动口、动脑都是活动经验积累的方式，只动手是远远不够的，我们应在这个环节及时组织学生回顾、交流
11、操作过程，让学生通过“在头脑里摆学具”，获得完整的操作过程的表象。并试着让学生把理解的表象的过程通过表现出来，也就是留下我们思考的痕迹。接着，结合算式引导学生利用表象思考9+4可以怎样算，从而使学生明白：为了先凑成十，就把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，并在交流、对话中完成计算过程： 然后告诉学生：这种算法是将4分成1和3，先把9和1凑成10，再加剩下的3，这样算就会很方便，这样的方法就是“凑十法”。帮助学生根据动作过程抽象并认识“凑十法”。这样，学生的数感在讨论和观察中得到了进一步的发展。 解决问题,提升数感. 当学生把所学知识应用到生活中去,才能更好地掌握知识,内化知识
12、. 估算是解决问题的一种重要方法，老师们应该特别重视起来。比如学生在认识10以内数后，再认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。 我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？类似这样的问题可让学生举一反三。 总之,培养学生数感的过程是循序渐进的.培养学生的数感,可以使学生有更多的机会接触社会,体验现实,表达自己对问题的看法,
13、用不同的方式思考和解决问题,这无疑会有助于学生创新精神和实践能力的培养.随着数感的建立,发展和强化,学生的整体数学素养也会有所提高. 2、符号意识 所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”。感觉是有被动的意味，而意识是有主动实践意义的，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。符号在数与代数部分中的应用如下表。知识领域知识点 应用举例应用拓展数与代数 数的表示阿拉伯数字：0-9中文数字：一-十 百分号
14、：千分号： 用数轴表示数数的运算+、( ) （平方）（立方） 数的大小关系、”“3”和“3”“”“”表示两数之间的关系。由此可见，符号意识的培养需要坚实的经验为基础，在教学中应促进学生在交流、分享的过程中积累经验，学习符号化的多种途径，允许个性化地表示符号；逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性，感受符号在理解和解决问题过程中的价值。 3、推理能力 标准中的推理能力主要是指：合情推理与演绎推理。 合情推理主要是指归纳推理、类比推理。归纳推理是从特殊到一般，类比推理是从特殊到特殊。 演绎推理的思维进程是从一般到特殊。比如：在学生已经掌握了整数四则运算后，在进行小数加法时，以0.50.4为例
15、，学生很容易想到根据整数加法54=9，得到0.50.4=0.9，实际这是一种类比的方式进行合情推理，当然我们还必须用演绎推理来验证。 孩子们想到的方法有：第一种方法是结合具体问题情境，得到0.5元0.4元=5角4角=9角=0.9元； 第二种方法是根据之前学习的小数单位，得到0.5是5个0.1,0.4是4个0.1，所以它们的和是9个0.1，即0.9； 从某种意义上来说，我们平时说的演绎推理在计算教学中就是学生理解算理的过程。 因此，在推理的过程中，我们一般是按照下面步骤：启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出结论。 在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，学生很少经历
16、探索结论、提出猜想的活动过程。而在数学中发现结论往往比证明结论更重要。标准提出培养合情推理能力，对培养学生的创新意识提供了支撑。 怎样培养学生的推理能力 通过数与代数式、方程与不等式的计算来培养学生的演绎推理能力。计算要依据一定的“规则” 公式、法则、推理等。计算过程就是演绎推理的过程。 通过探索规律来培养学生的合情推理能力。发现规律的过程就是培养学生归纳能力，形成合情推理能力的过程。 数学活动经验的积累有助于培养学生的数学推理能力。“操作学具学数学”有利于学生有动作思维表象抽象思维。因此在教学中，要组织学生实践操作，让学生参与推理的全过程，引导学生的思维由直观向抽象转化，使学生从个别特殊的事
17、物中发现规律，进行归纳。 通过日常生活培养数学推理能力。除了学校的教育教学活动以外，还有很多活动也能有效地发展学生的数学推理能力。例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理。所以，要进一步拓宽发展学生数学推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“数学推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。小学数学中推理思想的应用如下表。 思想方法知识点应用举例不完全归纳法找规律 找数列和图形的规律整数计算四则计算法则的总结运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
18、除法商不变的规律分数分数的基本性质类比推理整数读写法亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比整数的运算四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比小数的运算整数的运算法则、顺序和定律推广到小数分数的运算整数的运算顺序和运算定律推广到分数除法、分数和比除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比问题解决数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比鸡兔同笼不同素材的鸡兔同笼问题的类比 4、模型思想 模型思想是此次修订标准新增的核心概念。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及
19、其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。 数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。 建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。数学与外部世界的联系，是数学发展到今天在其自身的舞台上最精彩的表演。 下面我结合比例应用题具体的教学案例说明数学建模的一般步骤： 首先，“从现实生活或具体情境中抽
20、象数学问题”。也就是发现和提出问题是数学建模的起点。比如两道比例的应用题：（1）100千克黄豆可榨出13千克豆油，照这样计算，要榨出130千克豆油需要多少千克黄豆？ （2）100千克黄豆可榨出13千克豆油，照这样计算，130千克黄豆能榨出多少千克豆油？ 我们先看第一道题。经过分析，让学生明白：这里的黄豆、豆油是两个基本的量，它们之间的关系通过出油率来体现的。因此，我们认为这是两道典型的出油率问题。这是从具体情境抽象数学问题的过程。 然后，“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，
21、得到模型。这是建模最重要的一个环节。经过第一步的分析，我们把问题聚焦在出油率上，因为它表示的是黄豆与豆油这两个数量之间的关系。因此，我们得到数量关系为：豆油量=黄豆量出油率。 当然，这道题的关键并不是让学生这样做：13100=13 13013=1000千克。而是，要提醒学生利用比例来解决这道题。 应引导学生，经过分析得到：本题中的黄豆和豆油都是变量，但是出油率是不变的。豆油量=黄豆量出油率 13 100 一定 130 ？ 一定 因此，豆油和黄豆成正比例。所以可以列方程得到: 解：设要榨出130千克豆油需要x千克黄豆。 13:100=130：x我们更想让学生学会用第二种方法来解决这个问题。一个重
22、要原因是：方法一实际上用了两次数量关系，第一次是“豆油量=黄豆量出油率”，第二次是它的变形“黄豆量=豆油量出油率”，对于学生来说，这种数量关系的变形掌握起来，比较难。若第一题和第二题放在一起，很多学生就无所适从了。 这是建立模型的过程。这个模型有两个方面的理解：数量关系中，两个量是变化的，一个量没有变，就可以用比例来解。这是一种内容层面的模型 豆油量=黄豆量出油率 13 100 一定 ？ 130 一定这是方法层面的模型。 最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。经过第二步，我们让学生体会到，若在一个数量关系式中，有两个量是变的，有一个量是不变的，我们都可以用比例，
23、列方程来解决问题的。比如这两道题的同时出现，若成功建立了此类比例应用题的模型，那么这两道题之间不是混淆的，而是融会贯通的。因为，第二题完全满足我们刚刚建立的数学模型。原来的方程为：13:100=130：x 现在的方程为：13:100=x：130 问题三：如何建立“数”的概念一、课标中“数的认识”有何变化 数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括整数的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。在教材的安排中， 整数的认识中分为 10
24、以内认识、 20 以内的认识、 100 以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要有以下几点，在教学中我们要加以注意。内容 学段 标准要求的调整和变化 数的认识 第 一 学 段 “ 知道用算盘可以表示多位数 ” 。 “ 能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。 ” 第二 学 段 不再要求 “ 比较百分数的大小 ” 和 “ 探索小数、分数和百分数之间的关系 ” 在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的意义，
25、也就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？ 二、在建立数概念中要注意的问题 （一） 在整数的认识中要注意的问题 建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点 。 理解数的意义一般有两个角度 ，一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实际来体会，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来 ，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。在整数概念的
26、建立过程中要注意以下几点： 1. 依托多种形式建立整数数概念（ 1 ）在具体情境中理解数的意义学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的 2 匹马， 2 棵树， 2 头牛， 2 个人，抽象为 2 这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“ 2 ”。反过来， 2 可以表示任何具有 2 这样数量特征的事物，例如 2 只铅笔， 2 个人、 2 只小动物，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如 计数的数、数量的数
27、、度量的数和计算的数。 （ 2 ）用操作帮助学生具体感知自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数， 抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。 （ 3 ）多种模型的表征在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位老师在教学万以内的数的认识时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理
28、解数的意义。 通过方格模型的演示，让学生体会 10 个一是十， 10 个十是一百， 10 个一百是一千， 10 个一千是一万，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。 2. 把握核心概念，重视数位和位置值的理解为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚
29、地了解，同样一个数字“ 3 ” ，在个位上表示 3 个一；在十位上表示 30 ，即 3 个十；在百位上表示 300 ，即 3 个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。（ 1 ）重视 10 的概念的建立 一个 十 和几个 一 是十几 ， 这就是位值制的基础 ， 这样 10 个数字就可以表示出生活中无限多的物。教学中建立好概念非常重要。在
30、教学 10 的认识时要让学生亲自感受到由 9 再加 1 变成 10 的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受 10 个一是 1 个十。在 11-20 各数的认识中仍然要关注 10 的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。 10的概念的建立是学生建立百、千、万等概念的基础。（ 2 ）重视数计数单位：为帮助学生了解十进制计数法和位值制。要重视数计数单位逐步建立新的计数单位，10 个一是 1 个十，10 个十是一百，10 个百是一千，10 个千是一万，10 个万是十万，10 个十万是一百万，10 个百万是一千万，从而引出新的计数单位，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满
31、10 个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。 （ 3 ）重视数位顺序表的使用随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识 20 以内的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。 3. 关注对大数的感受在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情
32、境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关， 1200 张纸大约有多厚？你的 1200 步大约有多长？ 1200 名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。有时还要加入想象的成份， 1200 名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人会占多大地方。 这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。 （二）在建立分数概念中要注
33、意的问题 教师在数的认识的教学中 普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后来，在土地测量、产品分配等过程中 , 常常得到不是整数的结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。 1. 加强对分数意义的理解教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。 对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面： 两个主线即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。 分数意义理解的四个层面“
34、比率” 是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成 4 份，每一份是整体的 1/4。例如小红有 5 个苹果，小丽有 3 个苹果，小红的苹果是小丽的5/3倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。 “度量” 指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如 3/4里面有 3 个 1/4，就是用分数 1/4作为单位度量 3 次的结果。对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。 “运作” 主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例
35、如，求 6 张纸的 2/3是多少张纸，学生会这样理解：将6 张纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 3 2 ，也就是 6 2/3 。 “商” 这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。 以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。 2利用多种模型帮助学生理解分数的意义在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是1
36、/2个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是1/4 ，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。 （ 1 ）分数的面积模型：用面积的“部分整体”表示分数儿童最早是通过“部分整体” 来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。 （ 2 ）分数的集合模型：用集合的“子集全集”来表示分数这是“部分整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位 1 ” 不再真正是“ 1 个整体”了，而是把几个物体看作“ 1 个整体”，
37、作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把 4 个桃子看作“单位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 个占整体的 。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体 1 ”。 （ 3 ）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数3. 把握好每一阶段完成的任务在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识和第二阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显
38、性”和“隐性”结合起来。我们应该把握好每一阶段的教学： 第一阶段：认识平均分。 第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。 第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。 第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的。第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解 的多个维度。 必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这五个阶段在完成对分数意义方面各有侧重
39、，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。 总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。 （三）在建立小数数概念中要注意的问题 在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。由此可见小数和整数、分数有着密切的联系。 1. 利用知识迁移建立小数概念分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响 ， 后者的学习对前者也有促进作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是学生已有的知识 ， 只要通过提问 ，引起学生的回忆和思
40、考 ， 还可以写成 0.8 米， 也就是同一对象的两种不同形式 ， 使小数和分数建立起直接的联系 ， 使学生进一步体会到 ： 十分之几和一位小数，百分之几和两位小数之间的关系 。 再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用数轴表示数，这是认识整数、分数时常用的模型 ， 可以将其拓展到小数。例如：把一个正方形平均分成 10 份 、100 份 ， 其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示 ，这样能够帮助学生理解的小数意义，建立小数的模型，培养学生的数感 。 2. 沟通整数、小数、分数之间的关系（ 1 ）沟通整数和小数的关系。 整数与小数的计数方法是一致的 ， 相邻两个计数单位间的进率都是 1
41、0 ，小数的计数方法是整数计数方法的扩展 ， 教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数 ，为学生在计数的经验和方法上建立联系 ， 不仅如此 ， 还要利用这些活动帮助学生整理认数系统， 把原来认识的整数数位表扩充到小数 。 （ 2 ）沟通分数和小数的关系： 小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分数。（ 3 ）沟通分数、整数、小数之间的关系。关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数， 小数的表征形式与整数相似，数位顺序表得到补充，都是十进制。如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位
42、（百分位）等。这样“每相邻的两个计数单位之间的进率都是 10 ”得到了全面的概括；小数是十进分数。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。 3. 把握好小数认识的两个阶段的教学我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表 两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。 三、 建立数概念教学的具体建议 （一）在数认识中体现数感。 数感的建立非常重要，教师要设计多种活动培养学生的数感。 （二）整体把握内容之间的联系： 两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。 （三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用 。关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数和数之间的关系、数的应用；其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在