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1、第十五讲数论综合提高一本讲知识点汇总：一整除1整除的定义如果整数a除以整数b(b0)，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a2整除判定（1）尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除（2）截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征（3）截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征（4）分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分
2、拆成互质的整数，分别验证整除性3常用整除性质（1）已知a|b、a|c，则a|(b+c)以及a|(b-c)（bc）（2）已知ab|ac，则b|c（3）已知a|bc且(a,b)=1，则a|c（4）已知a|c且b|c，则a,bc4整除的一些基本方法：（1）分解法：分解得到的数有整除特性；两两互质.（2）数字谜法：被除数的末位已知；除数变为乘法数字谜的第一个乘数.（3）试除法：除数比较大；被除数的首位已知.（4）同除法：被除数与除数同时除以相同的数；简化后的除数有整除特性.二、质数与合数1质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数2分解质因数分解质因数
3、是指把一个数写成质因数相乘的形式如：100=2252，280=2357典型题型一整除1基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；（1）9的考点：乱切法；（2）11的考点：奇位和减偶位和；两位截断求和；三位截断，奇段和减偶段和2整除性质的使用；3整除与位值原理；4整除方法在数字谜中的应用二质数合数1质数合数填数字：注意2和5的特殊性；2判断大数是否为质数：逐一试除法；3末尾0的个数问题：层除法例1（1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被2
4、9整除，这个数最小是多少？分析（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答练习1、（1）六位数1037没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例2将自然数1，2，3，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？分析36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性
5、如何运用是关键练习2、将自然数1，2，3，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3已知3a7b0c是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字请问：三位数abc是多少？分析分解495=5911，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知a00b3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字请问：三位数abc是多少？例4一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小
6、值等于多少？最大值呢？分析根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例572乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？分析立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数例6在数列1、4、7、10、13、16、19、中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？分析
7、末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可数学王国里的一颗明珠梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p-1的先河，他在名著几何原本第九章中论述完美数时指出：如果2p-1是素数，则（2p-1）2(p-1)是完美数（Perfectnumber）1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”这封信讨论了形如2p-1的数（其中p为素数）梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2p-1作
8、了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的物理数学随感一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p-1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p-1是合数前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分不过，人们对其断言仍深信不疑虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p-1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地
9、研究2p-1；型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”并以Mp记之（其中M为梅（森姓名的首字母），即Mp=2p-1如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”即2p-1型素数）2300多年来，人类仅发现47个梅森素数由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程作业1.五位数305没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？2.（1）已知六位数2（2）已知六位数19012是99的倍数，那么这个六位数是多少？49是72的倍数，那么这个六位数是多少？3.2
10、01202203L500的末尾有多少个连续的0？4.两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？5.太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，颗颗炼成不老长生丹然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？1+2+3+N是9的倍数，即N(N+1)第十五讲数论综合提高一例7答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足
11、条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999例8答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有2是9的倍数，即N或N+1是9的倍数，所以满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍
12、数，所以N最小是36例9答案：865详解：495=5911，即只要满足是5、9、11的倍数即可对3a7，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0c一定是11和5的倍数，即是605于是3a7是9的倍数，所以a是8，所以a、b、c组成的三位数是865例10答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365例11答案：648例12答案：83详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第n+1个数应为125的倍数，即3n+1=125k，可知
13、k取2时符合要求，此时n为83练习：练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知a00b与3c5分别要被（4、9）与11整除，所以可求得abc是548或908练习4、答案：最小值是2907；最大是8793作业6.答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为380257.答案：（1）260172；（2）197496简答：（1）设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a+1+b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a=6，b=7，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为1974968.答案：75简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为759.答案：34简答：易知3421190352，所以可估算出所求的数为3410.答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5，于是当n=235=30时，n2=900为所求答案