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1、因式分解基本方法知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.【例1】：判断：下列变形是否是
2、因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.【例2】：用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.(2)因式分解最后如
3、果有同底数幂，要写成积的形式.知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2.其中，a22ab+b2叫做完全平方式.【例3】：判断：下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.【例4】：把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2； (4)(m+n)2-6(m+n)+9.知识点4 分组分解法把多项式进行适当的分组，
4、分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).【例5】：分解因式：（1）3x7+24x548x3 （2）9m26m+1n2 （3）ax2+ay22axyaz2知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解（十字相乘法）x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+
5、(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.【例6】：把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8； (3)y2-7y+10； (4)x2+7x-18.【因式分解的注意事项】：1.因式分解时要注意四种方法的使用次序：先提公因式再运用公式再用十字相乘法最后考虑分组分解法2.三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。3.因式分解一定要彻
6、底，不可半途而废。4.因式分解最终结果一定要进行整理：提高练习：1、把下列各式分解因式：（1）x22x63 （2）a3ab2a+b （3）（x2+6）225x2（4）x 3y 3+2x 2 y 2 xy （5）a 2+a+ （6）x 4 2x 2+1（7）a 23aab+3b （8）y 2 x 2 + 6x 9 （9）（x 2+x）2 14（x 2+x）+24（10）mn（m-n）-m（n-m）2 （11）2m3-32m； （12）a2（x-y）+b2（y-x）2.(1)7.6199.9+4.3199.9-1.9199.9；(2)20022-40062002+20032；(3)565211-435211；(4)(5)2-(2)2.3.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.4.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.5.利用因式分解计算19992+1999-20002.6.若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.7.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.