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1、基本不等式教案( 高一年级下册 必修 5 第三章第四节 )成都华西中学数学组 张 宇一、【教材分析】1、教学内容本节课内容是人教 A 版教材必修 5 第三章不等式第四节 , 其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。2、地位与作用本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修 4-5不等式选讲中用以研究不等式提供了一种重要依据。因此本节课起着承上启下的作用。同时本节课给出了不等式中 2 个最重要的不等式，它的探究方法对后续的不等式选讲的学习有着方法上的指导意义。二、【学情分析】1、知识基础： 高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识， 并能用这些知识解决相关问题
2、，对不等式证明的书写较为熟悉。2、认知水平与能力 ：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法， 掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。3、任教班级学生特点 ：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容， 但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足， 逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。三、【目标分析】1、教学目标依据教材的教学要求， 渗透新课标理念， 并结合以上学情分析， 我制定了如下教学目标：（1）知识与技能理解基本不等式的内容及证明；能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；进一步学会用数学语言对不等式证明
3、进行正确规范地书写。（2）过程与方法在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中， 经历观察、分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识；在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方法的重要性，并学会应用解决相关问题；（3）情感态度与价值观在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度；通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化。2、教学重点及难点重点： 理解基本不等式的含义及证明难点： 基本不等式等号成立条件的运用重、难点解决的方法策略本课在设计上采用由特殊到一般、 从具体到抽象的教学策略， 通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己
4、推导出 2 个不等式同时，借助多媒体的直观演示， 强化学生对重要不等式、 基本不等式的理解认识，从而突出重点。 为了强化学生对基本不等式的理解认识， 在应用上， 注意通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突破教学难点。四、【教学模式与教法、学法】本课采用“ 合作探究 ”教学模式。教师的教法 突出活动的安排与问题的引导。学生的学法 突出合作学习、探究发现与归纳建构。五、【过程设计】结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：创设情景提出问题 探究重要不等式视频欣赏 猜想证明 （5 分钟）探究基本不等式（15 分钟）（2 分钟）前后呼应 推论应用方法提炼解决问
5、题 基本不等式的应 上升认识归纳总结 用与议练活动（3 分钟）（2 分钟） （13 分钟）教学过程：教学 活 动 教 师 活 动 学 生 活 动环节 说 明一、创设情境： 现实模型：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家模 型大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个新 直 观课风车，代表中国人民热情好客 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？用实际生活引引入 新引入新课，板书课题：基本不等式（一） .课. 入生活实例二、探究新知（一）探究一：观察图形， 学生自己完成学案上问题。数学通 过问题 1：设直角三角形的长为 a、b，那么正方形的边长为
6、_;面积为_,4 个ICM 的探直角三角形的面积和是 _.大会图问题 2：根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系， 我们可得到一个怎样的不标，学 生较容究等式_问题 3：4 个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？问题 ：你能给出它的证明吗？ 4通过观察，得出结论，小易观察出面积之间的组合作，自己完成证明； 关系，小组相互交流证明过程， 引入基解决问题。 本不等归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数 a,b,式很直都 有 _; 当 且 仅 当_。观数探究二：问题5：既然对于任意的实数 a,b,都有 a2b2学探 2ab如, 果 a0，b0，用
7、a， b分别代替 a2b2 2ab中的 a，b 会得到怎样的不等式？ab问题6：如何证明不等式 ab2 (a0，b0)?学生小组合作自行验证结论，过程中引导学生感悟数学整体代换的思想方法，进而体会逻辑证明通过整体代换变形得到基本的必要性 .不 等式，是 究学生难证明过程印证了不等式 点，但的正确性， 并能加深学生 是要引归纳小结：若 a0,且 b0,那么 _我,对基本不等式的理解导学生感悟数 们把这个不等式叫做基本不等式 （又叫均值不等式）。学整体问题7：如下图， AB 是圆O 的直径，点 Q 是AB 上任一点， AQa，BQb，过点 Q 作 PQ学生单独解答， 并完成结代换的垂直 AB 于
8、Q，连接 AP，PB.你能利用这个图论。 思想方ab形得出基本不等式 ab的几何解释吗？2法，几何解释的目的是让学 几何直生体会数形结合的基本观解释数学思想。让学生体会数“半径不小于半弦”形结合的数学 定理解读：（1）基本不等式的几何意义：思想（2）平均数解释：（ 3 ） 定 理 成 立 的 条 件 是_；结论是 _。 例 1 和议变式训 三、知识应用例 1 已知 a，b，c为任意的实数，求证： a2练，主b2c2 ab bcca.学生自己完成证明 .要是让学生学练 会用新知识解决 问变式练习1：已知 a，b，c为不全相等的正数，活题，实求证： abc ab bc ca展示个别学生的证明过际上
9、学程，指出学生错误和需要 生大多注意的地方， 体会证明的习惯采动逻辑性以及严谨性 . 尤其用作差总结：例 2 已知 x、y 都是正数求证：y xxy 2.是变式 1 中等号不能取得。法 证明，这是正常现象，感知利 变式练习2：3已知 a 0,求a+ 的最小值.a用基本不等式证明的总结：课堂练习：学生单独作答简洁11已知 a0，则4a+a的最小值是 （ )后，例2 和变A2 B2 2 C4 D5 式 2 就2设a、b 是实数，且 ab3，则2a2b 的顺利成最小值是 ( )章的完课A6 B4 2 C2 6 D8本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主成了引导学要内容，教师加以补充说堂总四、课堂
10、总结1、课堂小结：教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容（采用填空形式）2、课后作业：明：（1）回顾本节所学数学知识。（2）体会数学整体代换的数学思想。生进行回顾总结，归纳本节结教材 100页练习共 4 个题目 .3、课后思考题：探 究 函 数 f (x) ax b (a 0,b 0)x的 最课内容，完善认知值.结构板书设计： 3.4 基本不等式（一） 三、例题解答 学一、重要不等式例 1：生二、基本不等式变式训练活动三、数学思想与方法例 2：展示区变式训练(主板书 )(副板书 ) (辅助性板书 )六、【教学反思】根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：（1）根据新课程课堂
11、教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本科教学设计中突出了学生的小组合作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，所以绝大多数学生能很好地掌握基本不等式，并能用于解决相关问题，形成了较好的数学学习经验。（2）本课设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“整体代换”和“数形结合”两种数学思想与方法，不等式的推导与例题后变式训练以及一题多解、一题多变的训练模式都是为了这两个目的而设计的。（3）本课在教学中始终贯穿学法指导，特别是通过对赵爽弦图的引入，得到基本不等式，最后有用几何图形直观解释基本不等式，不仅有利于学生形成数学“数”与“形”的链接，而且让学生感悟到数学文化 。（4）本节课充分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化，生动活泼，趣意盎然。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。