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1、.变量不等式约束的粘滞现象分析及其微分协调法状态变量不等式紧约束作用分析杭乃善，杨柳林,阳丽.广西大学电气工程学院，广西南宁市大学路 100号，邮编 530004；摘要：对于具有运行要求的条件潮流，分析了由于因状态变量受不等式条件限制而引起的变量未能按不平衡量的所需作相应修正而阻碍收敛的粘滞现象；在此基础上，利用系统状态变量对控制变量的无约束微分，根据运行条件的具体要求进行相应线性组合的微分协调方法，得到了优化目标函数的约束灵敏度，以解决状态变量受不等式约束的迭代中粘滞和极值条件方程计及控制变量相关性的粘合问题；作出了节点功率方程与支路功率方程的混合潮流模型；求解了具有潮流控制与电压管理条件的
2、潮流问题和有功、无功最优潮流极值点的准确求解；算例的计算和分析中，表明了状态变量的不等式约束条件的微分协调法处理，仍可保持 Newton 法的收敛性，能准确达到所需运行条件，优化目标是可经受小偏差校验的极值点，同时，通过算例分析，指出了多目标潮流控制的一些应用特性。关键词：不等式约束；潮流控制与电压管理；最优潮流；约束灵敏度；微分协调法1 引言潮流控制问题可描述为(潮流方程优化目标， PQV 节点条件，支路输送功率条件，状态变量条件，控制变量条件)在发电功率与负荷功率平衡的机组组合下，潮流控制主要是利用交流电源的可调容量进行电力系统稳态潮流控制与电压管理的分析。潮流控制与电压管理的分析，按人工
3、调节概念，采用：预分配机组功率，再检查控制偏差，将该偏1这类直观方法的特点是逐次逼近，计算收敛性差。20 世纪 60 年代， Carpentier 提出了最优潮流问题的数学方程描述，其与经典的经济调度问题2相比较，是计及了网络潮流方程。最优潮流的概念是针对优化目标而利用电源进行潮流控制。最优潮流概念提出之后，文献3将断面潮流功率作控制目标，按输送功率的偏差以 Newton 方向修正电源电势，逐次迭代求解给定的潮流控制。文献4将交换功率与给定值的偏差作优化的目标函数，成为了按极值条件方程求解的最优潮流形式。由于许多问题可以转换为最优问题求解，所以4,5条件方程组的数值求解。1968 年，Domm
4、el 和 Tinney 进行了简化梯度法的最优潮流求解6，明确了寻找最优解方法中的极值条件方程组的基本形式和连续变量最优值求解的方向。1984 年，Sun、Tinney 等人7提出了将所构成的等式约束条件转换为 Lagrangian 函数，并用二阶收敛性的 Newton 法及稀疏技术求解该方程，使大规模电力系统的最优潮流问题有了实用价值，确立了迭代求解极值条件方程的基本结构。1991 年， Clements8、Quitana9提出了采用内点法来处理电力系统中的不等式约束条件，使变量保持在可行域内，且对偶仿射方法能有规则的进行变量修正，其收敛性远优于单纯形算法8。内点法较好地解决了最优潮流问题的
5、变量不等式约束可能引起“粘滞(adhere9)”现象。由以上最优潮流问题研究历程的几个关键点以及后续的现代优化理论在最优潮流的应用研究说明，目前关注的问题是更能反映不等式紧约束作用的极值方程的分析与求解。本文的前述 15作了因变量不等式约束现象的分析，并指出： 1 个运行条件至少需要 1 个控制变量作相应的条件控制。受条件控制变量的粘合影响，优化控制变量的约束灵敏度可表示为：在无约束灵敏度的基础上，针对具体的紧约束状态和所选择的条件控制变量，再作取自于无约束灵敏度元素的线性组合修正。本文是在约束灵敏度的基础上，讨论状态变量不等式紧约束情况下极值点求解的准确性和求解规模问题。根据函数分析方法将因
6、变量受限制的状况转换为自变量的微分协调，以解决粘滞问题。利用无约束灵敏度的线性组合，构成约束灵敏度，以解决粘合问题，并可得到能准确反映不等式紧约束的优化目标极值方程。在微分协调法和约束灵敏度的基础上，采用最少变量模式求解。并利用约束灵敏度给出优化的调节方向与措施。自最优潮流问题提出后，就开展了对极值点方程求2潮流控制问题及其约束灵敏度的应用。主要体现为根据极值点解方法的多方面的研究差按灵敏度再分配到指定机组上的灵敏度方法 。2.1 潮流控制问题对式(1)的最优潮流问题，参照文献15取潮流控制问题是g ( x, y) = 0min f ( x, y)(1-1)(1-2) x2 y2 dx2 D2
7、1=D12 dy1 D22 dy2 h( x) 0x j = xsjxmin x xmax(1-3)(1-4)(1-5)其中，x1 是受紧约束的状态变量，y1 是为满足 x1 受限制而须作相应控制的控制变量，x2 为可自由变化的松约束状态变量。称 y1 为条件控制变量，y2为优ymin y ymax (1-6)2.2 节点功率、支路功率方程混合的潮流模型h( x) 0 的支路输送功率条件，表现为支路功率 P + jQij = Ps + jQij 为所需值。运行要求的Vi = Vi s 负荷节点，该节点成为PDi、QDi、Vi均为确定值的 PQV 节点。当负荷点 i 的电压 Vi达边界值的紧约束
8、时，节点 i 成为 PQV 节点。若 Vi 电压不越界，其 Vi 为可自由变化的松约束变量，节点 i 是 PQ 节点。将电源表示为有功功率 PGi、机端电压 VGi可调节的 PV 节点，再设置一个电压可调节的平衡节点。设网络节点数为 n，平衡节点电压为 Vn， PV化控制变量。因 dy2 所引起的 dx1，可由 dy1 作相应的平衡。为满足 dx10，N 对 N 方式协调的控制变量 dy1 为dx1 = D12 dy21 (4-1)D11dy1 = -dx1 (4-2)1. dx1 与 dy1 的 N 对 N 协调形式dx1 的偏差由相应的 dy1 所平衡，即dy1 = -D111dx1 (5
9、)而 dy2 可任意，并作用于另外的控制目的。2. dxi 与多个控制变量微分的 N 对 1 形式N 个控制变量 y1 调节以满足 1 个状态变量的要求，即节点数为 m， PQ 节点数为 n-m-1。令 PQ 节点的电压为dx1i = Dij dy1 jj y1TN 对 1 形式是冗余控制方式，可用于其他控制作用的控制变量 y2 减少。其加权平均值的形式为PV 节点的电压为TDkk1.k ijjjN3. dxi 与 1 个控制变量微分的 1 对 1 形式(6)PV 节点的有功功率为T状态变量 x 和控制变量 y 分别为或1 个控制变量针对 1 个状态变量的要求dx1i = Dij dy1 jd
10、y1 j = dx1i Dij (7)N 对 N 或各自的 1 对 1 是紧约束的状态数等于x = q DTqGTTVGT Vn T所需条件控制变量数的等量控制方式。从控制的角度，应利用尽量少的条件控制变量 dy1 以满足紧约PQ、PV 节点方程为nj=1nSGij =1i=1,2,n-m-1n= P - P -V (G cosq + B sinqj =1i=n-m,n-m+1,n-1 (2-3)不计支路两端的接地支路，则支路潮流控制方程为束状态的要求，而使其余尽量多的 dy2 用于其他的多个优化控制目标。2.4 优化目标函数的约束灵敏度当 x1 受紧约束，其 dx1=0。 式(1)目标函数
11、f 对优化控制变量 y2 的微分为T T Tdf = dx2 + dy2 + dy1若 f 中仅含 y，计及 y 与 x 相关联，即 f 中仍隐含 x，则2Qij = Vi 2Bij +VV j (Gij sinqij - Bij cosqij ) - Qij = 0 (3-2)Tdf = T Tdx2 + dy2 + dy12.3 粘滞现象的控制变量微分关系函数的优化目标的极值点微分条件是 df =0，2x = ，y = , 11 x1 y1 dx1 Dij ij s-VD = V1 V2 L Vn-m-1 ， q D = q1 q 2 L q n-m-1TVG = Vn-m Vn-m+1
12、L Vn-1 ， q G = q n-m q n-m+1 L q n-1TDy= - Dx DPG = PGn-m PGn-m+1 L PGn-1VDT ； y = PGTgPDi = PGiS - PDi -Vi V j (Gij cosqij + B ij sinqij ) = 0 (2-1)gQDi Di i V j ij ij ij ij ) = 0 (2-2)= Q - Q -V (G sinq - B cosqgPGi Gi Di i V j ij ij ij ij ) = 0 f f f x2 y2 y1 P = -Vi Gij +VV j (Gij cosqij + Bij s
13、inqij ) - Ps = 0 (3-1) f y2 y2 x2 f f y2 y1 i S计及 f 中可以隐含 x，极值点方程的一般形式可写为 i=1 n-1T T T(8) x2 y2i y2i y1 y2i式中， dx2 dy2 i 为 d y2i 所引起的约束微分，可利用无约束灵敏度的线性组合得到，文献15给出变-n -1j = n - mj y1n-m-1j =1j sn njn njsin q nj + Bnj cosq nj )dVGj )sin qnj + Bnj cosqnj )dV j )量的约束微分为= - Dy2i-1(9-2)dy2 i计及不等式约束粘合现象的极值点
14、必要条件是式(8)与式(2)、式(3)的联立。3 网络有功功率损耗的约束灵敏度网络有功功率损耗的节点功率形式为n n - m -1 n -1 nsGi Gii =1 i =1 i = n - m i =1其中，平衡节点功率 PGn 是平衡节点所关联支路节点的状态的复合函数，为n-1V (G sinq - B cosq )dq (15)j =1对于紧约束电压 V1，式(12)中对 VGi的约束微分分别为-1(16-1)dVGi VGk VGi-1(16-2)dVGi Vn VGi ky1 VGk dV (16-3)dVGi VGi ky1 VGk即有以 V、 表示的极值点方程n-1 i=1 n(
15、11)j =1式(11)中，V、 是电源 y 所确定。平衡节点功率也反映了各电源独立调节时所引起全网络状态变化后的网络功率损耗变化，且有T T VG VD q n -1j = n - mj y1n-m-1- n njj =1j sn-1j =1- n nj + B cosq )dV(17)式(8)用于有功网损的极值条件时，其极值点方程为i=n-m,n-1 (13-1)PGi(13-2)VGi显然，式(13)中的偏导数是相对于优化控制变量 y2的，是计及 y1 协调作用的约束偏导数，则将式(12)用于相应的约束偏导数概念时，对于紧约束电压 V1，式(12)中相对 PGi 的约束微分分别为-1(1
16、4-1)dPGi-1dVnGi dPGi(14-3)dPGi Gi为简明，微分符号中不再计条件，即有以 V、 表示的极值点方程4 条件潮流的修正方程及迭代格式4.1 潮流控制与电压管理问题的求解模式对于潮流控制和电压管理问题，采用 Newton法求解条件潮流方程的三个基本步骤为1.根据不平衡量的电压修正量根据式(2)、(3)的节点功率和支路功率的混合型方程，可以进行电源修正的修正方程为 H DD H DG N DD 0 0 PGDD DPLine PLine PLine DVGy1 0 0Line qij Vij (18)即由不平衡量，求解得x 和线路的条件控制y1。3 G + V (G co
17、sq + B sin qlPGi = 1 - 2Vn nn j nj nj nj nj dVn f x2 f f y1ly2 i = + + = 0 i y2 (V (G (V (Gdy1 11-1x1 (9-1)x2 jx2 j x1k x1k= - dx2 jy2i y1k ky1 y1k y2iky1f = PL = (PGi - PDi ) = P P+ PGn - PDi (10)+-Vn j nj nj nj nj j V1 1VdVGk = = k y1dVGk V1 V1V1+ dVn = dVndVGk = = + dq j Gkdq j q j q j lVGi = - 2
18、VnGnn + V j (Gnj cosqnj + Bnj sin qnj dVnPGn = -Vn V j (Gnj cosq j - Bnj sin q j ) PGn Gn Gn P PTdPGn = dVG + dVD + dq (12) (V (Gsin q nj nj nj Gj ) (V (Gsinqnj + Bnj cosqnj )dV j )-VnV j (Gnj sinqnj - Bnj cosqnj )dq jlPGi = 1+ = 0PGnPGnlVGi = = 0 i y2 V1 V1= k y1dVGkdVGk VGk PGidPGi V V1 1 1V+ dVn
19、dP = (14-2) Vn PGi ky1 VGkdVGkdPGi= = + dq jdq j q j q jdVGk dPdPGi PGi ky1 VGkg PG g PG H GD H GG N GD Dg PD VGy1 PGy1 Dq D DqG DggQD0 MM DGLDD DgQD = VGy1 DVD 0 DQLine qij DPGy1 Vij Q QLine 0 00 2. 针对状态变量约束的条件控制修正量为保证 x 的不等式条件，进行 x 的越限检查。当出现变量越限时，即 g(x, y) = 0 l(x, y) = 0(21)( k )或( k )式(21)可采用 Ne
20、wton 法进行逐次线性化逼近的求解，其修正方程形式为式(22)。变量取不等式边界的常数值Vi ( k ) = Vmax i 或 Vi ( k ) = Vmin i且得越限量x1( k +1) ( k ) (k +1)xi(k +1)maxi i i max对于达到可行域边界值而取常数值的状态变量 x1，其修正量须为零，则须由条件控制变量y1补偿该x1。 线性组合协调方式根据式(5)，选择适当的控制组合y1,可有补偿 Dg P Hq D Hq G NVD NVG g P.PG Dq D Q Mq G LVD LVGl DlPG lPG.q D lPG.q G lPG.VD lPG.VG 0 D
21、PG (22)针对变化平缓的网损函数，对其极值点方程的不平衡量l，仅考虑起主要影响的修正量，可形成解耦、交替计算的迭代格式，即以最少变量模式求解潮流方程式(18)，然后按式(19)进行状态变量受约束的条件控制变量修正，再根据极值点方程的不平衡量，相应的优化控制变量的增量为x1 所需条件控制变量的修正量为-1(19-1)Dy2i = kiDli5 算例及分析(23) N 对 1 线性协调方式根据(6)，选择适当的控制y1，可有补偿x1所需的条件控制变量为为进行概念性讨论，以较简单的 IEEE5 节点系统作原理性分析。该系统有两端供电特点，机组调节对潮流变化影响较大，升压变压器的作用明显。 j k
22、 Dik(19-2)系统接线如图 1。 一对一线性协调方式对越限量x1，选择灵敏度 Dij 较大的y1，根据式(7)，取Dy1. j = - Dx1i Dij(19-3)图 1 IEEE5节点系统接线图由于该实验系统不计变压器的激磁导纳支路，3. 变量修正当Pline、Qline 不越限时,不需作VGy1、PGy1的修正。变量修正为x ( k +1) = x ( k ) + Dx ( k ) (20-1)y ( k +1) = y (k ) + Dy1(k ) (20-2)以上过程与常规潮流计算相比较，仅多了第 2步的y1 微分协调。越限状态的辨识，近端控制的选择，利用无条件灵敏度的线性组合方
23、式来确定条件控制变量的协调修正，称为解决粘滞现象的微分协调法。4.2 最优潮流的修正方程与迭代格式最优潮流极值点方程简写为也不计负荷的静态电压特性，对有功网损而言，将是电压越高，网损越小。反之，计及运行中应考虑的接地支路和负荷静态电压特性，将是电压越低，发电功率越少。当电网电压采用统一的Vi min Vi Vi max 技术要求时，具有 k*1 变压器(1: k* 模型中，k *1 的副边标幺值电压大于原边标幺值电压的变压器)的电网，其网络节点电压可能高于电源节点电压，这时负荷点电压的不等式条件才可起作用。忽略机端变压器意味着其高压母线节点成为电压源，该节点不再受负荷点电压不等式条件的约束，而
24、转变为接受电源不等式的约束。忽略输电中的 k *1 变压器，意味着沿输电过程电压渐降，电源电压是电压最高点，负荷点电压的不等式条件不起作用。当网络负荷点电压的不等式条件不起作用，4 SLine (x) = 0Vi + DVi Vmax iVi + DVi Vmin i 0 ,xi min xi ix maxDx1i = xi + Dxi - xmini , xi min x( k ) + Dx - x x,x i iDg0 DqG Mq DDSLine = Sq D Sq D SVD SVG 0 DVD DlVG lVG .q D VGl .q G VGl .VD VG.VG 0 DVG Dy
25、1 = - ( D1 ) Dx1Dy1.k i - Dij Dy1. j = - Dx jN 仅有控制电源的不等式条件，就不会出现粘合、粘表 3 潮流控制与电压管理算例方案滞现象，使问题大为简化。有功网损为最小的有功电源优化调度、无功电源优化调度，本文中简称为有功优化、无功优化。迭代计算的初值条件为 PG(0)4 = 5 , V4(0) = 1.05 ，(0) (0) (0)5始计算中出现灵敏度为零）。收敛精度=10-6。5.1 潮流控制与电压管理的计算分析方案 6方案 7方案 8方案 9运行条件V3=1.05，P23=Q23=0V3=1.05，P23=Q23=0.3P23=Q23=0P23=
26、Q23=0.3电源组合调节方式PG4、VG4调节线路，VG5 调节 V3PG4、VG4调节线路，VG5 调节 V3PG4、VG4调节线路PG4、VG4调节线路为验证与分析潮流控制方法的计算特性和控表 4 潮流控制与电压管理算例计算结果制特性，针对 5 节点情况，设置了表 1 的计算方案。表 1 电压管理算例方案方案 6支路潮流控制与电压管理方案 7支路潮流控制与电压管理方案 8支路潮流控制方案 9支路潮流控制运行条件电源组合调节方式V1/P. U0.8565150.9430250.8518870.964490方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5V2=V3=1.1V2=V3=1.1V1=0.
27、9V1=0.9V1=0.91 对 1 ,VG4调 V2,VG5 调 V32 对 2,VG4VG5 组合调 V2V31 对 1,VG5 调 V11 对 1,VG4 调 V12 对 1,VG4VG5调 V1V2 /P. UV3 /P. UV4 /P. UV5 /P. U 1/rad 2/rad 3/rad1.0499991.051.0191121.052496-0.368524-0.126936-0.1269361.1477491.051.1148901.03600-0.292635-0.060397-0.1151901.0470071.0470071.0164471.05-0.371194-0.
28、127630-0.1276301.1626891.0661521.1282871.05-0.282938-0.058570-0.111838 4/rad-0.083027-0.018088-0.083471-0.017324表 2 电压管理算例计算结果P2300.30.3方案 11 对 1方案 22 对 2方案 31 对 1方案 41 对 1方案 52 对 1Q23迭代次数-0.27562511-0.0293329-0.2740564-0.0379615V1/P. UV2/P. UV3/P. UV4/P. UV5/P. U 1/rad 2/rad 3/rad 4/radPL/ PG4迭代次数0
29、.921 3851.11.11.065 6001.1109 93-0. 065 4760.301 080-0. 066 0810.368 3150.172 863100.921 381.11.11.065 601.1109 9-0. 065 470.301 08-0. 066 080.368 310.172 86380.91.082 961.090 261.051.104 37-0. 068 060.3118 3-0. 067 390.3811 30.179 56170.91.1132 21.043 551.083 421.05-0. 080 820.287 42-0. 073 550.352
30、 760.169 8670.91.101 691.061 331.070 681.070 68-0. 075 690.296 94-0. 071 050.363 750.173 596表 2、表 4 算例说明，节点功率与支路功率混合模型及微分协调方法，可成为利用电源进行潮流控制与电压管理的有效算法。计及状态变量和支路输送功率的要求，在迭代中须不断改变控制量，使迭代次数明显增加，但仍在 Newton 法的收敛性范围内。5.2 最优潮流的计算与分析本文最优潮流算例是验证极值条件方程的准确性和计算方法的有效性。电压管理算例表明：表 5 电压控制的极值点算例方案表 2 计算结果和收敛情况表明，PQV
31、节点的微分协调计算方法对解决粘滞现象是可行高效的。 由表 1 的方案设置和表 2 的计算结果表明，状态变量的条件，可由相应的条件控制变量予以实现。方案 1、2 的计算结果说明，当运行条件数与条件控制变量数相同，则不同的控制方式的效果相同。但组合控制调节方式的收敛性较好。算例 35 说明，当控制变量数多于运行条件数的冗余情况时，不同的控制方式可得不同的运行方式，提供了灵活控制的选择。方案 10方案 11方案 12方案 13运行条件V3=1.05，LVG=0 的无功优化，PG4=5V3=1.05,VG4=1.05,LPG0 的有功优化V31.05, LVG=0, LPG0 的有功、无功优化V2=1
32、.1,V3=1.1,LPG=0 的有功优化电源组合调节方式VG5 调节 V3,VG4 调节LVG=0VG5 调节 V3，PG4 调节LP=0VG5 调节 V3,VG4 调节LVG=0,PG4调节 LPG=0VG4 VG5 组合调节 V2V3，PG4 调节 LPG=0在求解条件潮流的状态后，引入复合函数的约束灵敏度值，有助于潮流调整的分析。方案 15 的PLPG 4转换为网络损耗，同时指出，降低 PG4的输出功率，将有利于降低网损。方案 1012 分别是在相同的电压运行条件下的无功优化、有功优化和有功、无功同时优化的考察。方案 13 是在Vi 1.1的电压运行条件下的通常优化算例，2 个电压控制
33、变量作维持 V2、V3 的控制，仅剩一个有功优化控制变量。5= 1.05，负荷节点V = 1.00,q = 0.01（为避免初V 0.17 ，说明 PG4 的功率增量 dPG4 中约有 17%表 6计及电压管理的极值点计算结果Vol.14(1): 105-111, 19996 H.W.Dommel,W.F.Tinney, Optimal Power Flow SolutionJ,IEEE Trans.方案 10V3=1.05LVG=0方案 11V3=1.05LPG=0方案 12V31.05LVG=0LPG=0方案 13组合调节LPG=0On Power Apparatus and System
34、s,PAS-87(10):1866-1876,19687.D.I.Sun,B.Ashley,B.Brewer,A.Hughes, W.F.Tinney, Optimal Power Flowby Newton Approach J, IEEE Trans. On Power Apparatus and Systems,PAS-103(10):2864-2880,19848 K.A.ClementmP.W.Davis,K.D.Frey, Power system state estimation withV1/P. UV2/P. UV3/P. UV4/P. UV5/P. U 1/rad 2/rad 3/rad 4/radPG4/P. UPG5/P. UPL/ PG4PL/ VGP