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1、等差数列、等比数列的综合应用教案一、教学内容：必修5：等差数列、等比数列的综合应用二、教学目标1、熟练地掌握等差、等比数列的相关知识及其性质，并利用这些知识解决相关数列的综合性问题。2、利用等差数列、等比数列知识建立实际问题的数学模型。3、充分利用方程的数学思想、函数的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等解决数列的综合问题。三、知识要点分析1、等差数列、等比数列相关知识的类比与总结（1）等差数列、等比数列的定义：（d为常数）（）（2）等差数列、等比数列的通项公式：（等差数列），（等比数列）（3）等差数列、等比数列的中项：，（等差），（4）等差数列、等比数列的前n项和公式： ， （
2、5）等差数列与等比数列的性质比较：（a）数列，成等差数列，则数列成等差数列。数列成等比数列，则数列成等比数列（b）数列成等差数列且m+n=p+q,则，数列成等比数列且m+n=p+q,则（c）是等差数列的前n项和，则成等差数列,等比数列也有类似的性质 （d）数列分别成等差、等比数列，则数列分别成等差、等比数列。2、建立等差等比数列模型解决实际问题（等差、等比数列的应用）（1）解答数列实际问题的基本步骤：审题；建模（建立数列模型,分清是等差还是等比数列）；求解；还原。（2）常见的类型：（a）等差模型：在实际问题中，若增加或减少的是固定的量，该模型是等差模型（b）等比模型：在实际问题中，如果增加或减
3、少的量是固定的百分数，则该模型是等比模型（c）混合模型：在实际问题中，涉及等差等比数列知识的则是数列的混合模型。（d）递推模型：由已知找出数列的递推关系，转化为等差、等比求解。【典型例题】考点一：等差数列、等比数列的基本知识的综合使用例1：设数列是各项都是正数的数列，且对任意的正整数n,都有成等差数列，成等比数列。求证：【思路分析】要证明的结论与数列无关，故可由已知条件推出数列是等差数列，然后利用等差数列的性质证明。解：由等差中项、等比中项的定义知：，由（2）得：故有把的表达式代入（1）得：，即数列是等差数列。故有：。故结论成立例2：试判断能否构造一个实数等比数列，使其满足下列三个条件.（1）
4、 （2） （3）至少存有一个自然数m,使 依次成等差数列，若能，请你写出数列的通项公式，若不能，请说明理由。【思路分析】这是一道探索性的命题，先假设存有满足条件的等比数列，由（1）（2）可确定数列的通项公式，然后利用其验证是否满足条件（3）。解：假设存有等比数列满足题设条件，数列的公比是q，首项是根据等比数列的性质：，故 解得：故，即所求数列的通项公式是（i）当时，由条件（3）得：解之得：，故当时，存有题设要求的m.（ii）当时，同理有：，此时不是完全平方数。即符合条件的m不存有。综合（i）（ii）能构造出满足条件的等比数列，通项公式是。考点二：等差、等比数列与函数、不等式、平面向量等知识点综
5、合使用。例3：已知函数对任意实数x,y分别满足：（i）且（ii）g（x+y）=g（x）+2y,且g（6）=15, n为正整数，求数列的通项公式，（2）设求的前n项和。【思路分析】由条件（1）能够证明数列是等比数列，在条件（2）中，给x,y赋值，即令x=n,y=1可证数列是等差数列。根据（1）求数列的通项公式最后求前n项和。解：（1）由已知函数对任意的实数x,y成立，故对任意的正整数也成立。 又f（1）=f（1+0）=3f（0）=1故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，即由g（x+y）=g（x）+2y令x=n,y=1得：,故数列是公差为2的等差数列。设数列的前n项和是，例4：已知三个点列，满足
6、与共线，且点列在斜率为6的一条直线上。（1）试用与n表示。（2）设且求数列中的最小项。【思路分析】（1）本题是数列与向量的综合试题，由点列在斜率为6的直线上，可证明数列是等差数列，再利用两向量共线找出数列的递推关系。（2）把表示为关于n的二次函数，求出最值。解：（1）由点列在斜率为6的直线上点列在斜率为6的直线上，即，即数列是公差为6的等差数列。又且两向量共线，故有：当时，（2）把代入上式得：即n=4时，取得最小值，最小值是。例5：已知点都在函数的图像上（1）若数列是等差数列，求证数列是等比数列。（2）若数列的前n项和，过点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求使（）恒成立的实数t的范围。【
7、思路分析】（1）利用定义证明，（2）先求从而确定直线的直线方程，然后确定直线与两坐标轴的坐标，进而用n表示三角形的面积。根据恒成立确定t的取值范围。解：（1）设等差数列的公差是d,即（常数）由题意：=常数（不为零）故数列是等比数列。（2）当n=1时，当时，n=1时也适合此式。即数列的通项公式是，由故有： ，过这两点的直线方程为：此直线与两坐标轴的交点坐标分别为，要使恒成立，只要成立，下面求数列的最大值：即数列递减，又故所求t的取值范围是考点三：建立等差、等比数列模型解决实际问题例6：流行性感冒是呼吸道传染病，据资料记载从2008年的11月1号起，某市流感感染者有20人，以后每天新的感染者平均比
8、前一天的感染者增加50人，因为该市医疗部门采取紧急的医疗措施，使病毒传播得到控制，从某天起每天新的感染者平均比前一天减少30人，到11月30号为止该市在这30天内的感染患者有8670人，问11月几号感染的人数最多？并求这个天的新患者的人数。【思路分析】根据题意知：本题是等差数列模型，假设11月内的第k号，感染流感的人数最多，由30天内流感的总人数是8670人，建立关于k的方程，求k。解：设11月内第k号新增的流感人数最多。则从11月1号到11月k号的流感人数+从11月（k+1）号到11月30号流感人数=8670从11月1号到11月k号患者的人数构成首项为20，公差为50的等差数列，故从11月1
9、号到11月k号患者的总人数是：从11月的第k+1号到11月30号患者的人数构成等差数列，项数是（30k ）,首项是，公差是30从11月第k+1号到11月30号患者的总人数是：故由已知得：整理得：，即11月12号新患者的人数最多，有=570人。答：11月12号新患者的人数最多，是570人。例7：某汽车销售公司为了促销，在2009年5月1号采用了灵活的付款方式，对购买10万元一辆的汽车在一年内将款全部付清的前提下，提供了如下两种分期付款的方案。方案（一）：分3次付清，购买后第4个月的月末第一次付款，再过4个月的月末第二次付款，再过4个月的月末第三次付款方案（二）：分12次付清，购买后第一个月的月末
10、第一次付款，再过一个月的月末第二次付款，购买后第12个月的月末付款。规定：每月付款的数额相同，月利率是8%，复利计算。（1）试比较上述两种方案哪一种付款的总额最少？（2）若汽车销售公司将收回的售车款实行再投资，可获月增长2%的效益，为此，决定对一次性付清车款的顾客给予降价p%的优惠，为保证一次性付款经一年后的本息低于方案（一）、方案（二）中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本息要高于车价款一年后的本息，试确定p的取值范围。【思路分析】对于（1）（2）是分期付款的问题，是等比数列的模型，比较两种方案的付款总额的大小，是等比数列求和问题。对于（2），直接根据已知条件建立关于p的不等式组。解
11、：（1）对方案（一），设每次付款x元，则第一次付款x万元到结束的本息和是（万元）第二次付款x万元到结束的本息和是（万元）第三次付款x万元（无利息）而10万元一年的本息和是（万元）（万元）三次付款的总额是（万元）对于方案（二）：设每次付款y万元 第一次付款y万元到结束付款的本息和是万元第二次付款y万元到结束付款的本息和是万元，第12次付款y万元（无利息）而10万元1年的本息和是万元即万元，12次付款的总额是万元。显然方案（二）付款的总额较少。（2）降价p%后的车款为10（1p%）,按规定月利率是0.8%，则一年后产生的本息是万元，而转入再投资产生的本息是万元由题意知：解得：答：所求p的取值范围是
12、（4，13.2）例8：某市决定对社会有贡献的企业实行评价，用表示企业第n年投入治理环境污染的费用，用表示企业第n年的产值，治理环境污染的费用每年比上一年增加2a（万元），企业的产值每年比上一年的平均增长率是10%，（万元），（万元），用表示企业第n年对社会的贡献率（1）求企业第一年、第二年“对社会的贡献率”。（2）从第几年开始“企业对社会的贡献率”不低于20%？（）【思路分析】本题是等差、等比数列的综合模型，由已知条件知，治理环境污染的费用构成是一个等差数列，首项是a,公差是2a,企业的产值构成是等比数列，首项是b,公比是1.1.由此可求出数列的通项公式。进而求出。解：（1），即企业第一年对社
13、会的贡献率是1%，第二年对社会的贡献率是3.3%（2）企业治理环境污染的费用构成的数列是，则企业的产值构成的数列为，则下面判断函数的单调性：是关于n的单调递增函数。下面再验证：同理能够验证：故从第7年开始企业对社会的贡献率不低于20%。例9：某县位于沙漠边缘，2000年底全县的绿地面积占全县面积的30%，从2001年起县政府积极采取措施，每年将有16%的原沙漠地变成绿地，但同时原有的4%绿地被侵蚀，变成沙漠。设全县的面积为1，2000年底绿地面积为，经过n年后绿地面积是。（1）试用表示。（2）在这种政策下，全县的绿地面积能超过80%吗？【思路分析】设2000年沙漠的面积是，经过（n1）年后沙漠
14、的面积是，（n1）年后绿地面积是则有，由已知可得：，由此可求与的关系。然后求出数列的通项公式解：（1）设2000年沙漠的面积是，经过（n1）年后沙漠的面积是，（n1）年后绿地面积是则，故（2）由，是以为首项，公比为的等比数列显然。故：在这种政策下，全县的绿地面积不可能超过80% 【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了等差、等比数列的综合应用，求解等差、等比数列的通项公式、前n项和公式时利用了方程的数学思想方法，在解决数列与向量、函数、不等式综合问题及应用数列解决实际问题（数学建模）时使用了函数的数学思想、等价转化的数学思想和方法以及分类讨论的数学思想。【预习导学案】（数列通项公式的求法）一
15、、预习前知（1）用数学表达式表示等比数列、等差数列的定义。（2）已知数列是等差数列，d是公差，（、）是数列的第m项，用和d表示。（3）已知数列是等比数列，q是公比，（、）是数列中的第m项，用q， 表示。二、预习导学探究反思探究任务：数列通项公式的求法。1、用观察法求数列的通项。主要是观察数列中的项与项数n的关系。【反思】数列9，99，999，的通项公式是什么？由此数列的通项公式写出数列3，33，333，及数列7，77，777，的通项公式。2、若数列中相邻两项满足_关系时，常用“累差法”求通项。【反思】已知数列中，你能求出此数列的通项吗？3、若数列中相邻两项存有_关系时，常采用“累积法”求通项。
16、【反思】已知数列中满足：，猜想一下该数列的通项公式。再用累积法求其通项，证明你的猜想是否准确？4、在数列中，当其前n项和时，常利用_关系式求数列的通项。【反思】在利用上述关系求通项时，要注意什么？若已知数列的前n项和，你能求出数列的通项公式吗？5、当数列中相邻两项之间存相关系：时，常采用“辅助数列法”求通项公式，即转化成一个新的等比数列，公比是p，求出，再求_。 【反思】（1）在上述方法中，你了解这个转化的过程吗？其中t=?（用p，q表示）可用待定系数法求出t） （2）在数列中，满足：，试用两种以上的方法求。 （3）若把q换成，你能求出数列的通项公式吗？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选
17、择题1、已知数列的前n项和是，=（ ）A. 629 B. 387 C. 604 D. 854*2、设数列是公比为a, (a不等于1)，首项为b的等比数列，是其前n项和，对任意的点列在直线（ ）上A. y=ax-b B. y=bx+a C. y=bx-a D. y=ax+b3、已知cba0,且a,b,c成等比数列，n为大于1的整数，则成（ ）A. 等比数列 B. 等差数列 C. 是等差也是等比数列D. 非等差、非等比数列*4、若且f(1)=2,则（ ）A. 2003 B. 2004 C. 2005 D. 2006*5、一个等差数列和一个等比数列，它们的首项是一个相等的正数，且第（2n+1）项也相
18、等，则第（n+1）项的大小关系是（ ）A. B. C. D. 6、某工厂2007年生产某种产品2万件，计划从2008年开始，每年的产量比上一年增长20%，经过n年这家工厂生产这种产品的年产量首次超过12万件，则n=( ) (lg2=0.3010,lg3=0.4771.A. 10 B. 11 C. 12 D. 137、某中学的“希望工程”募捐小组实行了一次募捐活动，共获捐款1200元，他们第一天只募得10元，之后采取积极的措施，从第2天起每一天比上一天多募得10元，这次募得活动共实行了（ ）天A. 14 B. 15 C. 16 D. 178、一弹性小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原
19、来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是（ ）米A. 199.8 B. 299.6 C. 166.9 D. 266.9*9、某公司要招聘一名打字员，按公司的要求，打字的错误量不超过0.1%，若第一天打字的错误量允许在2%内，每过一天能够使打字的错误量减少三分之一，则应过（ ）天才能正式使用这个打字员所打的文件。（必要时，lg2=0.3010,lg3=0.4771）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10*10、已知等差数列的前n项和，且则过点的直线的一个方向向量坐标是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：11、已知数列是公差不为零的等差数列，且是等比数列的连续三项，则= *1
20、2、已知整数对序列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4）（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第60个数对是 13、用砖砌墙，第一层（底层）用去了所有砖的一半，第二层用去了剩下一半再多一块，依次类推，每一层都用去了上次剩下的一半多一块，若到第十层恰好砖用完，则一共用了_块砖。*14、已知数列的首项且，是其前n项和，则= 三、计算题：*15、设数列的首项是，前n项和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列，（2）设数列的公比是,作数列使，求数列的通项公式。*16、定义一种运算“*”，满足：，为非零实数（1）对任意给定的k,设，求证
21、：数列是等差数列，并求当k=2时该数列的前n项和。（2）对任意给定的n,设，求证：数列是等比数列，并求此时该数列的前10项的和。（3）设，试求数列的前n项和。*17、为了解已有沙漠面积1000万公顷的某地区沙漠面积的变化情况，环保部门实行了连续四年的观察，并将每年观察的结果记录如下表，由此预测到该地区沙漠的面积将继续扩大，（1）如果不采取任何措施，那么到第m年底，该地区的沙漠面积将变为多少万公顷？（2）如果第5年底后，采取引水和植树造林等措施，使沙漠扩大的趋势得以减缓，从第6年开始的每一年底观察得到的沙漠面积比上一年的增加数y(万公顷)分别为：，而还构成首项为，公差为的等差数列，当沙漠化扩大的趋势停止后（即=0），每年改造18万公顷的沙漠，那么第n年底该地区的沙漠面积能减少到980万公顷吗？观察时间该地区沙漠面积比上一年沙漠面积的增加数y (万公顷)第一年底2 第二年底4 第三年底8 第四年底16