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1、第一章 向量与坐标,1.1 向量的概念,1.2 向量的加法,1.3 数量乘向量,1.4 向量的线性 关系与分解,1.5 标架与坐标,1.6 向量在轴上的射影,1.7 两向量的数量积,1.8 两向量的向量积,1.9 三向量的混合积,1.10 三向量的双重向量积,1.4 向量的线性关系与向量的分解,定义1.4.1 由 与实数 所组成的向量 叫做 的线性组合.(也称向量 可以用向量 线性表示,或 可以分解成 的线性组合.),定理1.4.1 如果向量 , 则 与 共线的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,或者说 是 的线性组合,即 并且系数 被 惟一确定. 这时 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
2、,必要性 若 与 共线,当 同向时,取 ;当 反向时,取 ,则有,下证 惟一.如果 ,则 ,即 ,但 ,则 .即,证明: 充分性 若 ,则由数乘的定义可知 与 共线.,定理1.4.2 如果向量 不共线, 则向量 与 共面的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,即 并且系数 被 唯一确定. 这时 叫做平面上向量的基底.,证明: 因为 不共线,所以 .,共线,则有 (或 ).,只要取 (或,),则有 .,若 与 都不共线,把 归结到共同始点 ,并设,过点 作 , 分别交,所在直线于 两点.,必要性 若 与 共面,若 与 (或 ),充分性 若 ,当 时,例如 ,则有 与 共线,所以 共面.,当 时,
3、则 ,即 平行 确定之平面.而 ,所以 共面.,由于 与 共线, 与 共线,则由定理1.4.1有,下证 惟一.如果 ,则 .若 ,则有 由定理1.4.1可知 共线,矛盾. 同理有 .,定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么空间任意向量 可以由向量 线性表示,或说空间任意向量 可以分解成向量 的线性组合，即 并且其中系数 被 唯一确定. 这时 叫做空间向量的基底.,证明: 因为 不共面,则由定义1.1.5知 ,且它们彼此不共线.,如果 和 之中的两个向量共面, 例如 ,则由定理1.4.2有 ,则结论成立.,如果 和 中任意两个都不共面. 将 归结为到共同始点 ,并设 ,所以有,再由定理1.4.
4、1,有,则有,下证 被 唯一确定.若 则 .如果 ,则 则由定理1.4.2可知 共面,故 . 同理可得,例1 已知 , , 分别是两边 上的点,且有 , .设 与 交于,如图.试把向量 分解成 的线性组合.,解: 因为,而,因为 不共线,由定理1.4.2,有,即,例2 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.,解: 设四面体 一组对边 的中点 的连线为 , 它的中 点为 ,其余两组对边中点分 别为 ,下只需证三 点重合就可以了.,取不共面的三向量 , 下证 重合.,又 为 中点,则有,连接 ,由于 为 的中点,则有,而 ,所以,同理可得,所以, 重合.,定义1.4.2 对于 个向量 ,
5、如果存在不全为零的 个数 使得 那么 个向量 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就指:只有当 时,上式成立.,推论 一个向量 线性相关,定理1.4.4 在 时,向量 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.,证明: 必要性 设 线性相关, 则,存在不全为0的 ,使得,因为 不全为0,不妨设 , 则,充分性 设 中有一个向量是其,设这个向量为 ,即,因为 ,所以 线性相关.,则,余向量的线性组合.,定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关.,证明: 设有一组向量 ,其中一部分,如 线性相关,即存在不全为0的 ,使得 则,其中
6、 不全为0,所以 线性相关.,定理1.4.6 两向量共线 它们线性相关.,证明: 充分性 设 线性相关, 则存在不,全为0的 ,使得 .,不妨设 ,推论 一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性相关.,则 .如果 ,由定理1.4.1知, 共线.若 ,则 共线.,必要性 设 共线,若 ,则任取 ,有 ,即 线性相关.若 , 由定理1.4.1,存在 ,使 ,即 , 所以 线性相关.,定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关.,证明: 必要性 设 共面,由定理1.4.2,存在 ,使得 ,即 .,以 线性相关.,充分性 设 线性相关,则存在不全为0,不全为0,不妨设 ,则有 .,由定理1.4.2知
7、 共面.,所,的 ,使得 .,由于,定理1.4.8 空间任何四个向量总线性相关.,证明: 设空间任意四向量 ,若,共面,由定理1.4.7知 线性相关,理1.4.5知 线性相关.,若 不共面,由定理1.4.3可设 ,1.4.4知 线性相关.,推论 空间四个以上向量总是线性相关.,再由定,再由定理,例3 设 ,试证三点 共线的充要条件是存在不全为0的实数 使得 且,证明: 必要性 设 共线,则 共线,由定 理1.4.6知 线性相关,即存在不全为0的 ,使得,即 .可得,令 , 即有 不全,为0,使 且 .,不妨设 ,代入整理得,充分性 设有不全为0的 ,使,即 .,可知 不全为0,共线,即 共线.,所以,由,且,例4 设 为两不共线向量,证明 共线的充要条件是,证明: 由定理1.4.6, 共线 存在不全为0的数 ,使得,即,又 不共线,即 线性无关,而 不全为0,