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1、第12章 全等三角形一、选择题1下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A3个B2个C1个D0个2如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙3在ABC和ABC中，AB=AB，A=A，若证ABCABC还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）AB=BBC=CCBC=BCDAC=AC4如图，P是AOB平分线上一点，CDOP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到AOB两边距
2、离之和A小于B大于C等于D不能确定5如图从下列四个条件：BC=BC，AC=AC，ACA=BCB，AB=AB中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个6有以下条件：一锐角与一边对应相等；两边对应相等；两锐角对应相等其中能判断两直角三角形全等的是（）ABCD7如图，ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于（）A1：1：1B1：2：3C2：3：4D3：4：58如图所示，在RtABC中，AD是斜边上的高，ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EGBC于G，下
3、列结论正确的是（）AC=ABCBBA=BGCAE=CEDAF=FD二、填空题9如图，RtABC中，直角边是，斜边是10如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使ABEACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）11如图，把ABC绕C点顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于点D，若ADC=90，则A=12如图，ABCD，ADBC，OE=OF，图中全等三角形共有对13如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店14正方形ABCD中，AC，BD交于O，EOF=90，已知AE
4、=3，CF=4则SBEF为三、解答题（共44分）15已知：如图AC，BD相交于点O，A=D，AB=CD，求证：AOBDOC16如图，AB=AD，AC=AE，1=2求证：BC=DE17如图2，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你红方的指挥员，请你在图1所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明理由18如图，在ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论19如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于点F，且BE=CF求证：AD平分BAC2
5、0八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离阅读后回答下列问题：（1）方案（）是否可行？请说明理由；（2）方案（）是否可行？请说明理由；（3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是；若仅满足ABD=BDE90，方案（）是否成立？第12章 全等三角形参考答案与试
6、题解析一、选择题1下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A3个B2个C1个D0个【考点】全等图形【专题】常规题型【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边
7、是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确综上可得只有（3）正确故选：C【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键2如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙【考点】全等三角形的判定【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和ABC全等；
8、故选B【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS3在ABC和ABC中，AB=AB，A=A，若证ABCABC还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）AB=BBC=CCBC=BCDAC=AC【考点】全等三角形的判定【分析】注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等【解答】解：AB=AB，A=A，B=B符合ASA，A正确；C=C符合AAS，B正确；AC=AC符合SAS，D正确；若BC=BC则有“SSA”，不能证明全等，明显是错误的故选C【点评】考查三角形
9、全等的判定的应用做题时要按判定全等的方法逐个验证4如图，P是AOB平分线上一点，CDOP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到AOB两边距离之和A小于B大于C等于D不能确定【考点】角平分线的性质；垂线段最短【分析】过P作PEOA于E，PFOB于F，则PED=PFD=90，根据垂线段最短得出PCPE，PDPF，即可得出答案【解答】解：过P作PEOA于E，PFOB于F，则PED=PFD=90，所以PCPE，PDPF，PC+PDPE+PF，即CD大于P点到AOB两边距离之和，故选B【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解此题的关键是推出PDPF，PCPE5如图从下列四个条件：B
10、C=BC，AC=AC，ACA=BCB，AB=AB中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】全等三角形的判定与性质【分析】根据全等三角形的判定定理，可以推出为条件，为结论，依据是“SAS”；为条件，为结论，依据是“SSS”【解答】解：当为条件，为结论时：ACA=BCB，ACB=ACB，BC=BC，AC=AC，ACBACB，AB=AB，当为条件，为结论时：BC=BC，AC=AC，AB=ABACBACB，ACB=ACB，ACA=BCB故选B【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理6有以下条件：一锐角
11、与一边对应相等；两边对应相等；两锐角对应相等其中能判断两直角三角形全等的是（）ABCD【考点】直角三角形全等的判定【专题】证明题【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL对逐个分析，然后即可得出答案【解答】解：一锐角与一边对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，所以不能判定两直角三角形全等故选D【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的
12、判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题7如图，ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于（）A1：1：1B1：2：3C2：3：4D3：4：5【考点】角平分线的性质【专题】数形结合【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C故选C【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的8如图所示
13、，在RtABC中，AD是斜边上的高，ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EGBC于G，下列结论正确的是（）AC=ABCBBA=BGCAE=CEDAF=FD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=EG，再利用“HL”证明RtABE和RtGBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BA=BG【解答】解：BAC=90，AD是斜边上的高，AD是ABC的平分线，AE=EG，在RtABE和RtGBE中，RtABERtGBE（HL），BA=BG故选B【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质以及三角
14、形全等的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键二、填空题9如图，RtABC中，直角边是，斜边是【考点】直角三角形的性质【分析】根据直角三角形的定义解答即可【解答】解：RtABC中，直角边是AC、BC，斜边是AB故答案为：AC、BC；AB【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的定义以及边的概念是解题的关键10如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使ABEACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）【考点】全等三角形的判定【专题】开放型【分析】要使ABEACD，已知AE=AD，A=A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对
15、应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可【解答】解：A=A，AE=AD，添加：ADC=AEB（ASA），B=C（AAS），AB=AC（SAS），BDO=CEO（ASA），ABEACD故填：ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEO【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健11如图，把ABC绕C点顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于点D，若ADC=90，则A=【考点】旋转的性质【分析】根据旋转的性质，可得
16、知ACA=35，从而求得A的度数，又因为A的对应角是A，即可求出A的度数【解答】解：三角形ABC绕着点C时针旋转35，得到ABCACA=35，ADC=90A=55，A的对应角是A，即A=A，A=55；故答案为：55【点评】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角12如图，ABCD，ADBC，OE=OF，图中全等三角形共有对【考点】全等三角形的判定【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难【解
17、答】解：ADBC，OE=OF，FAC=BCA，又AOF=COE，AFOCEO，AO=CO，进一步可得AODCOB，FODEOB，ACBACD，ABDDCB，AOBCOD共有6对故填6【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏13如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店【考点】全等三角形的应用【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块
18、均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃应带去故答案为：【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法14正方形ABCD中，AC，BD交于O，EOF=90，已知AE=3，CF=4则SBEF为【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】结合正方形的性质可证到AOEBOF，则有AE=BF=3，即可得到AB=BC=7，从而可求出EB=4，由此可求出BEF的面积【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，OA=OB，ABC=AOB=90，BA
19、C=CBD=45EOF=90，AOE=BOF=90EOB在AOE和BOF中，AOEBOF（ASA），AE=BF=3，BC=BF+FC=3+4=7，AB=BC=7，BE=ABAE=73=4，SBEF=BEBF=43=6故答案为6【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证到AOEBOF是解决本题的关键三、解答题（共44分）15已知：如图AC，BD相交于点O，A=D，AB=CD，求证：AOBDOC【考点】全等三角形的判定【专题】证明题【分析】根据对顶角相等可得AOB=DOC，然后利用“角角边”证明即可【解答】证明：在AOB和DOC中，所以，AOBDOC（AAS）【点评】本题
20、考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于根据对顶角相等确定出三角形全等的条件16如图，AB=AD，AC=AE，1=2求证：BC=DE【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】要证明BC=DE，只要证明三角形ABC和ADE全等即可两三角形中已知的条件有AB=AD，AC=AE，只要再得出两对应边的夹角相等即可我们发现ABC和DAE都是由一个相等的角加上DAC，因此ABC=DAE，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），两三角形就全等了【解答】证明：1=2，1+DAC=2+DAC即：BAC=DAE在ABC与又ADE中，ABCADEBC=DE【点评】本题主
21、要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法17如图2，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你红方的指挥员，请你在图1所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明理由【考点】全等三角形的应用【专题】作图题【分析】根据角平分线的性质，到角的两边相等的点在这个角的角平分线上作图即可【解答】解：在两条路所夹角的平分线上，由比例尺算出到B点的距离为3.5cm【点评】本题考查了全等三角形的应用；关键是把实际问题中铁路，公路转化成两条相交线，产生夹角，利用角平分线性质，解决问题18如图，在A
22、BC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定【专题】探究型【分析】首先根据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质有目的地证明相关的角相等，从而证明直线平行【解答】解：ABCF证明如下：AED与CEF是对顶角，AED=CEF，在ADE和CFE中，DE=FE，AED=CEF，AE=CE，ADECFEA=FCEABCF【点评】运用了全等三角形的判定以及性质，注意根据已知条件选择恰当的角证明两条直线平行发现并利用三角形全等是解决本题的关键19如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB于E，D
23、FAC于点F，且BE=CF求证：AD平分BAC【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DEAB，DFAC，利用HL易证RtBDERtCDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在BAC的平分线上，即AD平分BAC【解答】证明：D是BC的中点BD=CD，又BE=CF，DEAB，DFAC，RtBDERtCDF，DE=DF，点D在BAC的平分线上，AD平分BAC【点评】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质解题的关键是证明RtBDERtCDF20八（一）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如
24、下方案：（）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离阅读后回答下列问题：（1）方案（）是否可行？请说明理由；（2）方案（）是否可行？请说明理由；（3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是；若仅满足ABD=BDE90，方案（）是否成立？【考点】相似三角形的应用；全等三角形的应用【专题】应用题；方案型【分析】（1）由题意可证明ACBDCE，
25、AB=DE，故方案（）可行；（2）由题意可证明ABCEDC，AB=ED，故方案（）可行；（3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是ABD=BDE；若仅满足ABD=BDE90，故此时方案（）不成立【解答】解：（1）方案（）可行；DC=AC，EC=BC且有对顶角ACB=DCEACBDCE（SAS）AB=DE测出DE的距离即为AB的长故方案（）可行（2）方案（）可行；ABBC，DECDABC=EDC=90又BC=CD，ACB=ECDABCEDCAB=ED测出DE的长即为AB的距离故方案（）可行（3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是ABD=BDE若仅满足ABD=BDE90，方案（）不成立；理由：若ABD=BDE90，ACB=ECD，ABCEDC，=，只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长但是此题没有其他条件，可能无法测出其他线段长度，方案（）不成立【点评】本题主要考查了全等三角形的证明及性质和相似三角形的判定和性质