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1、编号 毕业论文 （ 2013 届本科）题 目： 切比雪夫不等式的推广及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 指导教师： 职称： 完成日期： 2013 年 5 月 24 日二一三 年 五 月切比雪夫不等式的推广及应用摘 要 本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.关键词 切比雪夫不等式;推广;应用;实例.中图分类号 O211.1The promotion and application of chebyshev inequalitySon
2、g Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract: Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probabi
3、lity of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance1 引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知
4、时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃. 对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深
5、对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.2 预备知识定义1 (切比雪夫不等式)若随机变量有数学期望和方差,则对于任意的正数,总有: .定义2 如果函数和对于一切均成立,则称与成似序；倘若反向的不等式成立,则称与成反序.定义3 设连续型随机变量的概率密度函数为,若积分收敛,则称为的数学期望,则为的方差.3 主要结论及证明定理1 切比雪夫不等式积分形式如果连续函数与在区间上成似序,则成立如下不等式相反,如果与成反序,则不等号反向.证明 引入辅助函数,求导得 .由于与与在区间上成似序,故有,于是,因此在上单调递增,又,即,.同理反序成立.定理2 切比雪夫不等式有限形式 若和是
6、两个实序列,且满,或,则成立如下不等式.证明 设,为两个有相同次序的序列,有排序不等式得,将这个式子相加得到,不等式两边同时除以,得.定理3 设,则当或者时,有如下不等式成立 当或者时,也有如下不等式成立 并且当,对于任意的时,则,中等式成立的条件是.证明 先证明成立.用数学归纳法时则不等式成立.假设时成立.下证时 .当时,两边取极限则有成立.同理可证（2）式成立.4 切比雪夫不等式的应用4.1 利用切比雪夫不等式估计随机变量落入区间内的概率例1 设随机变量的概率密度为,用切比雪夫不等式估计解 第一步:求和. .第二步:将不等式的各端同减去,把待估概率化成的形式 .第三步:取,利用切比雪夫不等
7、式估计概率 .4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式例2 设在每次试验中,事件发生的概率为,利用切比雪夫不等式求:需要多大时,才能使得在次独立重复试验中,事件出现的频率在之间的概率至少为？解 设为次试验中,事件出现的次数,则,.所求为满足的最小的.可改写为,则 .在切比雪夫不等式中取,则 .依题意,取,解得 .即取18750时,可以使得在次独立重复试验中,事件出现的概率在之间概率至少为0.90.4.3 利用切比雪夫不等式证明切比雪夫大数定理例3 设是相互独立的随机事件,其数学期望和方差分分别为,且存在常数,使,则对于任意给的正数,有.解 设则 ,.由切比雪夫不等式得: .所以.另,由两边夹定
8、理.4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式例4 证明 .证明 构造一个随机变量,设,则,.且.由切比雪夫不等式知.所以.5 总结切比雪夫不等式不等式是概率论中的重要不等式，本文将切比雪夫不等式进行了不同形式的推广，并研究总结了切比雪夫不等式不等式在概率论中的不同应用，通过本文的研究可以将切比雪夫不等式及其推广的不同形式能灵活应用，所以研究切比雪夫不等式有很重要的研究意义.致谢 本文撰写过程得到老师的悉心指导,在此对朱老师表示衷心的感谢.参 考 文 献1陈希孺.概率论与数理统计M.合肥:中国科学技术大学出版社.2009.2韩生,白岩,刘光清,李茂.契比雪夫不等式的一个新证明J.长春师范学报.1995,17(1):24-25.3万星火.概率论与数理统计M.北京:科学出版社,2007.4楼宇同.契比雪夫不等式的推广J.曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54. 5上海交通大学数学系编.概率论与数理统计M.上海:上海科学技术出版社,2004.6周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩 译.理工科概率统计M.北京:机械工业出版社,2009.7陈启浩.概率论与数理统计精讲精练M.北京:北京师范大学出版社,2010.8霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用J.长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.9