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1、 北约自主招生数学题及解答1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，x=42。2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，6x+7y-1=0为所求。3、等差数列a1,a2,满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,中哪一项最小，并求出这个最小值。解：d=a7-a37-3=164=4，a1=-21，S
2、n=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。4、ABC的三边a,b,c满足a+b2c，A,B,C为ABC的内角，求证：C60。解：ab(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)21-2c24c2=12，所以C60。 5、是否存有四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存有四个正实数分别为abcd，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，a2bc=6，a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=1516，故不存有。或解：a
3、bcd=32，而(abcd)3=180016，不满足，故不存有。6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。解：设两定圆C1，C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。当r1=r2C1与C2相交时a).C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。O1与O2外切时a).C与它两都外切，轨迹是线
4、段C1C2的垂直平分线去掉两圆的切点；b).C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆的切点。O1与O2相离时a).C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；b).C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=|CC2|+r2，|CC1|-|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。当r1r2，不妨设r1r2C1与C2相交时a).C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，
5、去掉两圆公共区域的部分；b).C与它两都内切，|CC1|+r1=|CC2|+r2，或r1-|CC1|=r2-|CC2|轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支； c).C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=r2-|CC2|，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。 O1与O2外切时a).C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆的切点；b).C与它两都内切|CC1|+r1=|CC2|+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=
6、r2-|CC2|，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆切点。O1与O2相离时a).C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支；b).C与它两都内切，|CC1|+r1=|CC2|+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；c).C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=r2-|CC2|，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。O1与O2内切时a).C与它两都外切，轨迹是射线C2C1在两圆切点以外部分；b).C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是C1C2，去掉C1、C2和两圆切点的射线。c).C与两
7、圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。O1与O2内含时a).C与它两都内切，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆；b).C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。7、求f(x)=x-1+2x-1+|2011x-1|的最小值。 解：f(x)=|x-1|+|x-12|+|x-12|+|x-13|+|x-13|+|x-13|+|x-12011|+|x-12011|+|x-12011|，一共有1+2+3+2011=10062011个绝对值，则是偶数个，故中间第5032011个和第5032011+1个之间取得最小值；设第5032011个绝对值是|x-1n|
8、，1+2+3+n=n(n+1)25032011，n(n+1)10062011=2023066，20230661422，14221423=2023506，取n=1421。第5032011个和第5032011+1个绝对值是|x-11422|，fminx=f11422=|11422-1|+|21422-1|+|31422-1|+|20111422-1|=11422(|1-1422|+|2-1422|+|3-1422|+|2011-1422|)=11422(1421+1420+1419+1+0+1+2+3+589)= 11422(142214212+5905892)= 11422(1010331+173755)=592043711。920431+173755+33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333