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1、导数在研究函数中的使用-单调性、极值、最值一、 基本概念1、 单调性：(1)、已知函数y=f(x),x(a,b)如对任意的x(a,b),恒有 0,则f(x)为增函数,切线的倾斜角为锐角.如对任意的x(a,b),恒有0,则f(x)为减函数,切线的倾斜角为钝角.（2）0 f(x)是增函数，0 f(x)是减函数 y= f(x)在a出有极值=0, =0 f(x)在a处有极值.(1) 如果在附近的左侧0,右侧0,那么f()是极大值(2) 如果在附近的左侧0, 右侧0,那么f()是极小值(3) 如果在附近的左侧及右侧不变号,那么f()不是极值3、 最值问题恒成立问题 若不等式f(x) A在区间D上恒成立A
2、 若不等式f(x)B在区间D上恒成立B(2) 能成立问题若在区间D上存有实数x,使不等式f(x) A成立A若在区间D上存有实数x,使不等式f(x) B成立B(3)、恰成立若不等式f(x) A在区间D上恰成立f(x) A的解集为D若不等式f(x) B在区间D上恰成立f(x) B的解集为D函数的单调性典型例题：题型一：研究函数单调区间与原函数图像间的关系例1：求下列函数的单调区间并画出原函数与导函数的图像(1)f(x)=2 (2)f(x)=+sinx,(x0,2例2：以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不准确的序号是A、B、C、D、题型二：单调性与单调区间例3（1）若函数f
3、(x)= 在（0,1）内单调递减，则实数a的取值范围（2）已知函数y=的递增区间为（-2,3），求a、b的值。变式：1已知函数的单调递减区间为（-5,5），求函数f(x)的单调递增区间（2）若三次函数在区间（-，+）内是增函数，则a的取值范围为题型三：求参数的值 例4：(1)若函数f(x)=,在区间(1,4)上为减函数,在区间(6, )上为增函数,试求实数a的取值范围? (2)已知函数f(x)=m+x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为 变式1：已知函数f(x)=,是否存有正整数a,使得f(x)在()上既不是单调增函数,也不是单调减函数?若存有,试求出a的值;若不存有,请说明理由.
4、变式2：已知函数f(x)=lnx,g(x)=a+bx(a0),若a=-2,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围. 题型四：求函数的单调区间(带参数的如何分类讨论)例题5：(1)已知函数aR,函数f(x)=(x-a),求函数f(x)的单调区间 (2)已知x=1是函数f(x)=m-3(m+1)+nx+1的一个极值点,其中m,nR,m0求m与n的表达式,并函数f(x)求单调区间(3)已知函数f(x)= (x+1)-x+,求f(x)的单调区间题型五：抽象函数单调性问题例6;(1)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时, . g(x)+ f(
5、x). 0,且g(-3)=0,则f(x).g(x) 0的解是 (2)对于R上的可导函数f(x),若满足(x-1). 0,则f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系是 练习1： 已知函数f(x是定义在R上的奇函数，当x0时, x+f(x) 0,且f(-2)=0,则xf(x)0的解是 2、设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足则不等式的解集为 3、已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为 题型六：证明不等式例7：已知x1,证明：xln(x+1) 函数的极值、最值题型七：求下列函数的极值例8（1）.若f(x)=有极大值和极小值,则a的范围是 （2）、求f(x)=在区间0,
6、2上的最大值与最小值 . (3)、已知函数f(x)=a,问是否存有实数a,b,使f(x)在-1,2上取得最大值3,最小值-29,若存有,求出a,b的值;若不存有说明理由; (4)f(x)=在x=2处的极值为,求实数a与b的值. 题型八：方程根的情况例9、已知方程有三个根，求实数a的取值范围为 .变式1：（1）已知方程有解，求k的取值范围（2）已知函数f(x)= (1) 求函数f(x) 的单调区间 (2) 判断方程的解得情况. 题型九：恒成立问题：例10：函数f(x)=,若对于任意x-1,2都有f(x) m成立,求实数m的取值范围 . 变式：已知f(x)=+alnx,若函数g(x)=f(x)+在
7、1,4上是减函数,求实数a的取值范围.题型十：能成立问题例11已知函数f(x)=(a为实常数) (1) 若a=-2,求证：函数f(x)在区间(1,+ )上是增函数(2) 求函数f(x)在1,e上的最小值及相对应的x的值;（3）若存有x1,e,使得f(x) (a+2)x成立,求实数a的取值范围.变式2：已知函数f(x)=(1) 当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;(2) 求函数f(x)在区间1,e上的最小值;(3) 设g9x)=(1-a)x,若存有,使得f()g(),求实数a的取值范围.题型十一：构造函数例12、已知函数f(x)=(a+1)lnx+a+1(1)讨论函数f(x)的单调性(2)设
8、a-1,如果对任意的,(0,+ ), 4,求a的取值范围.变式1：已知函数f(x)=lnx,g(x)=(b为常数)(1)、函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与g(x)的图像相切,求实数b的值. (2)、h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存有单调减区间,求实数b的取值范围. (3)、若b2,对于区间1,2上的任意两个不相等的实数,都有成立,求b的值. 题型十二：恒成立与存有性问题例13、已知函数f(x)=-,g(x)=,若f(x)在区间-2,2上的最大值为20.(1)求实数m的值. (2)是否存有实数a1,使得对于,总存有,使g(=f()成立?若存有,求出实数a的
9、值;若不存有请说出理由. 变式：已知函数，若对，使得，则实数m的取值范围是题型十三绝对值题型处理例14（本小题满分16分）已知函数.（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围练习：1.已知函数f(x)x|xa|2x求a的取值范围，使得对任意x1,2时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方变式2：设实数a1,使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是变式3：若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数t的取值范围是题型十四参数分离例15、已知函数（1） 讨论函数的单调区间；（2） 设当a=1时，若对任意的（e为自然对数的底
10、数），求实数b的取值范围。练习：定义函数（1） 解关于a的不等式；（2） 已知函数f(x)在上的最小值为f(1),求正实数a的取值范围。题型十五 函数、方程、不等式之间的转化例16 已知函数f(x)ln(1x).(1)求f(x)的极小值；(2)若a、b0，求证：ln aln b1.审题破题 (1)求函数的极值可通过求导、列表的方法；(2)证明不等式能够观察式子和题中函数的关系，借助函数的极值实行求证(1)解 f(x)(x1)令f(x)0，得x0.列表如下x(1,0)0(0，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，x0时f(x)取得极小值f(0)0.(2)证明 在x0时，f(x)取得极小值，而且是
11、最小值，于是f(x)f(0)0，从而ln(1x)在x1时恒成立，令1x0，则11，ln aln bln 1.所以ln aln b1在a0，b0时成立反思归纳 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的协助，解决函数的问题需要方程、不等式的协助，所以借助于函数、方程、不等式实行转化与化归能够将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围跟踪练习：（2014江苏卷）已知函数其中e是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存有，使得成立试比较与的大小，并证明你的结论【
12、答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合使用数学思想 方法分析与解决问题的水平.满分16分.（1），是上的偶函数（2）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立（3），当时，在上单调增令，即在上单调减存有，使得，即设，则当时，单调增；当时，单调减所以至多有两个零点，而当时，；当时，；当时，答案：例1：（1）例2：例3（1）（2）；变式x5或x0例4：【5,7】 【(,+)】 变式：【2】；【b】例5：例6：【(-,-3) (0,3)】；变式1、2、3、例7：例8：（1） （2）【;0】 （3）【a=2,b=3或a=-2或b=-29】（4）【a=6
13、,b=7】例9： 变式： （2）【增(3,+ );减(-,2)和(2,3)】；【 k,2个; k=,1个;0k,无;k0,1个】例10：【(7,+ )】变式：【(-,-)】 例11：【a-2,=f(1)=1;a-2,-2, =】（2）a-1 变式：例12： 变式：【-1】；【(2,+ )】；【2】例13：【-2】； 【a-10】 变式：例1420解：（1）若a=1, 则 当时, ,， 所以在上单调增, . 2分 （2）因为， （）当时，则， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时， 所以在上单调减，在上单调增.4分（）当时，当时， , 令，得（舍），若，即, 则，所以在上单调增；若，即, 则当时
14、，；当时，所以在区间上是单调减，在上单调增. 6分当时, ,令，得，记，若，即, 则，故在上单调减；若，即, 则由得，且，当时，；当时，；当 时，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 8分综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是；当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是；当时, 单调递减区间是(0, )和，单调的递增区间是和. 10分（3）函数的定义域为 由，得 *（）当时，不等式*恒成立，所以；（）当时，所以； 12分（）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立令，则因为，所以，从而因为恒成立等价于，所以令，则再令，则在上恒成立，在上无最大值综上所述，满足条件的的取值范围是 16分变式：a0时，f(x)在（0,2a）上单调递减，在（2a，+）上单调递增；当a0时，f(x)在（0，-a）上单调递减，在（-a,+ ）上单调递增；（2）练习：（1）；（2）