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1、精品毕业设计基于矩阵QR 分解的模糊模型结构分析摘要研究用矩阵QR 分解分析一类模糊模型的结构, 用模糊统计信息判据指导规则的精简, 用R 矩阵的主对角线元素分布与模糊规则的关系确定重要规则、 冗余或不重要规则, 实现模糊模型结构优化。该方法已成功地应用于M ackey- Glass 浑沌系统建模。关键词模糊模型, 模糊统计信息准则,QR 分解, 最优结构辨识, 非线性动态建模一：问题背景模糊模型的最优结构要求模糊模型的规则尽可能覆盖整个输入输出映射空间, 而又力求模糊模型的规则尽可能少, 使模型具有良好的泛性。研究表明, 寻求在一定性能指标下的最简模型结构具有 3 方面优点: 1) 防止模型
2、的过拟合; 2) 简单的模型便于解释和理解; 3) 最简模糊模型对于因系统参数摄动、 工作点漂移、 时滞变化引起的变化具有良好的鲁棒性。构造最优模糊模型的关键是模型的结构辨识, 有的应用SVDQR 分解研究了模型结构设计,有的根据统计信息准则提出模糊模型的统计信息准则, 应用SVD 方法实现模型结构优化。本文构造以模糊聚类为基础的Takagi- Sugeno - Kang 型模糊模型(TSK 模型) , 直接运用矩阵列主元QR 分解对模糊模型的前件推理矩阵进行结构分析, 利用QR 分解的信息识别因数据噪声或知识表达不确切而造成模型结构冗余; 在模糊统计信息准则指导下选择最优的规则集, 在保证模
3、型精度和泛化能力的基础上, 实现最优模糊模型构造。最后以著名的M ack2ey- Glass 浑沌序列建模证明了本文方法的有效性。二：问题求解1一类模糊模型的描述在非线性系统模糊建模和控制系统中, 模糊系统推理规则的前件常用单点模糊化、 高斯型(或三角型)隶属函数、 Sup - p roduct 合成推理, 模糊规则的后件为常数型或输入变量的线性组合。对于多输入单输出模糊系统, 这类系统可用著名的TSK 模型统一描述, 即其中, 为输入向量, y 为输出变量, 是输入模糊子集,M 是规则数, 是后件系数。当在前件合成推理采用乘积推理和重心解模糊化时, 模糊模型的解模糊化输出为式中, 是第l条规
4、则的前件第k 个输入模糊子集的隶属函数, p l (x) 是第l条规则的前件推理结果。 当输入空间采用模糊聚类作为一种模糊划分, 前件隶属函数采用高斯型函数其中c 是聚类中心向量, 可用多种聚类算法求得; r 是对应的聚类半径, 本文采用FCM 聚类算法。 应当指出, 本文提出的模型分析方法只要求前件推理结果与后件函数具有线性关系, 对合成推理算子、 输入空间模糊划分和后件表示没有特殊要求。2模糊模型结构的QR 分解与模型结构优化列主元QR 分解算法: 设给定P (n m ) , rank (P ) = rm , 并有正交矩阵Q , 置换阵0 , 则有矩阵P 的列主元QR 分解式中是上三角阵,
5、 其主对角线元素的绝对值按降值排列。设有N 对数据样本x (k ) , y (k ) , k = 1, 2, ,N , 令(1) 式的后件。 如果用(1)式逼近未知系统, 则可由以下的特殊的线性回归方程表示, 并写成向量与矩阵形式（5）其中, y = (y (1) , y (2) , , y (N ) ，P=（p(1),p(2),，P(N), 。并称 P 为前件推理矩阵, 是后件向量, 是残差向量。对P 进行QR 分解是处理秩亏损的最可靠方法之一, 对上式的P 进行QR 分解, 则有式(5) 中矩阵P 的秩意义如下: 如P 满秩, 表明P 所对应的输入空间聚类线性独立; 如P 秩亏损, 输入空
6、间存在线性相关的聚类, 在聚类所对应的规则集中包含了一些冗余规则。 当主对角线元素的绝对值非常小时, 表明对应的规则(或聚类) 对模型的贡献非常小。 秩亏损和一些特别小的值的起因一般与数据中含有噪声或专家知识冗余有关。对矩阵P 进行QR 分解, 要解决两个基本问题: 1) 在模糊模型中, 模糊规则对模型的贡献大小, 可由R 的主对角线元素绝对值(包括零) 按降值排列来表明; 2) 根据主对角线元素绝对值变化分别确定要保留、 要删除或要合并的规则各自在矩阵P 中的列号, 置换阵 0 的列向量中元素为1 的行号恰好就是对应于P 的列号。应用FS IC 准则和矩阵P 的QR 分解, 将模型的FS I
7、C 准则最小或适当小作为最优性能指标, 在初步选择的模型基础上, 经过若干次迭代简化就可找到问题的最优解或合理解。3应用实例M ackey - Glass浑沌模型是检验非线性动态系统建模的重要例子4 ，,M - G 模型由如下大滞后微分方程描述设TSK 模型的输入为 y ( t) , y ( t - 6) , y ( t - 12) , y ( t - 18) , 输出为y ( t + 1)。 许多文献研究过本例的建模, 但都回避了M G模型全程建模实质问题, 我们运用时间分段建模方法有效地实现了全程建模。 限于篇幅, 在此只给出应用FS IC 准则和QR 分解实现模型结构最优辨识的主要结果。
8、1) t = 0 100 时段, 用101 对输入输出数据训练, 得到50 条规则的初始模型, 对其进行QR 分解后, 通过FS IC 综合评价, 确定M = 44 的模糊模型。2) t = 101 2000 时段, 用 t = 100 1100 共1001 对输入输出数据训练。 设模糊聚类数C = 5 50变化,M = C = 24时FS IC 达到最小, 用t = 1101 2000的数据进行检验也得到同样的结论, 初始模型规则数确定为M = 24。 经QR 分解的模型结构分析, 通过FS IC 综合评价, 确定模型规则数M = 18。 模型输出的部分离散数据如图 1 (a) 所示。 模型
9、的各项指标见表1, 表中RM SE 为均方根误差, PMAXE 为最大正误差,NMAXE 为最大负误差。3) 模糊模型的鲁棒性是非线性动态系统建模的关键问题之一。 我们检验了当初始点在y (0) = 0 . 5 1 . 5之间变化时模型对初值的鲁棒性。 一般在起始段( t = 0 100) 模型跟踪误差较大, 但当浑沌系统呈现其 “周期性、 遍历性”时, 模糊模型又具有良好的适应性。 图 1 (b) 是y (0) = 1 . 1 时模型输出的离散数据图, 图1 (b) 表明当浑沌系统的过渡过程结束, 随着时间推移模型输出基本上跟踪M - G 模型输出。三：应用小结矩阵分解在模糊控制领域有很强的应用。把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等；另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。本文中应用FS IC 准则和矩阵QR 分解方法进行模糊模型的结构分析和规则精简, 能获得模糊模型的合理结构, 概念清晰, 方法简便可靠。 应当指出: 本文仅运用了模糊模型简化中的规则删除, 在FS IC 准则指导下交互地进行规则删除和规则组合, 可得到更为精简的模糊模型。