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1、第三章 多变量系统的极点、零点和稳定性Poles, Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems 本章内容：? 传递函数的 Smith-McMillan 标准形? 传递函数的极点和零点? 传递函数的矩阵分式描述 (MFD)? 系统的内稳定? 奈奎斯特稳定判据3.1 Introduction 多变量系统的传递函数矩阵 transfer-function matrixG(s) C(sI A) 1B D gij (s)gij (s) 是有理真分式 (rational proper fraction) ，对多变量系统的研究很多 时候采用状态
2、空间模型。最基本的 两个系统 的连接(connection):串联(series)、并联(parallel)和 反馈 (feedback) 连接。一个反馈系统如图2.1(c)【P85】，有关系式y1 G1(s)u1,y2 G2(s)u2,u1 u y2,y1 u2则1y1(s) I G1(s)G2(s) 1G1(s)u(s)G1(s)I G2(s)G1(s) 1u(s)(注意乘积的顺序 )回差 (return difference) :I G(s)G2(s),IG2(s)G(s)回比(return ratios):G1(S)G2(S),G2(S)G1(S)3.2传递函数的Smith-McMil
3、lan 形式对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式.单模阵(幺模阵，unimodular) : U(s)与U 1(s)都是多项式矩阵. 或 detU(s) c常数(与s无关)初等矩阵(elementary matrix):单位矩阵经过一次初等变换 (elementary operations)后的矩阵。初等变换：交换两行或列；用常数乘以某行或列；某行或列乘一多项式加到另一行上。两个矩阵等价，P(s)与Q(s)等价，记为P(s)Q(s):P(s) L|(s)L Li(s)Q(s)&(s)L Rr(s)定理3.1:任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式，形式为Smith标
4、准型 Smith form (pseudo-diagonal polynomial matrix):P(s)S(s) diag i(s), 2(s),L , r(s),0, L ,0i (s)是首一 (monic)多项式，是P(s)的不变因子，且满足：i(s)| i i(s), i 1,2, L ,r 1 (整除特性 divisibility property)i (s)是 P(s)的不变因子(invariant factors) oD(s) 1, Ds), D2(s),L Q(s)丄 行列式因子i(s)Di(s)/Di 1(s).determinantal divisors例1:化下面多项式
5、矩阵为Smith标准形式(怎样化标准形？)s 10s 11P(s)彳,p2(s)0s10 s 1s 10P3(s)0s1s 11sP4(s)2CA50ss 1 s3s 1112P5(s)s 1s 2 s3 ,s2 s1s22 s23s定理3.2 (Smith-McMillanform):如果G(s)是有理函数矩阵Smith-McMillan标准形：G(s)M (s)diagi(s)2(s) L r(s) 0 L 01(S)2(S), r( s),i(s) i i(s)i i(s) i(s),i 1,2,L ,r 1rational matrix,具有一般秩r ,则可以通过系列初等变换化为解释一
6、般秩：Normal rank例203.3传递函数的极点和零点Poles and Zeros of a transfer function matrix定义G(s) M (s)diag1(S)2(s) |r(s) 0 L 01(S)2(s)r(s)极点多项式：p(s)1(s)2(s)Lr(s)零点多项式：z(s)1(s) 2(s)Lr(s)p(s)与z(s)的根(roots)称为传递函数G(s)的极点和零点G(s)s2 3s 2 s2 3s 2s2 s 4 2s2 s 8s2 3s 2 s2 3s 2s 22s 4s 1s 2G(s)M (s)s2 3s 200传递函数G(s)的极点和零点的含义
7、：极点：G(s)的分母中有因子(以该点为根)零点：G(s)的分子中不一定有因子，但该点使G(s)的秩下降，但重数不能这样简单确定。极点多项式P(s)的次数称为传递函数 G(s)的McMillan次(degree) 零点：通常称为传递(输)零点(transmission zeros)上面例2中，零点2,极点-1, -1, -2,都是简单的(simple)。推论：如果G(s)是方的，则detG(s) c z(s)/ p(s)。G(s)L(s)M (s)R(s)3.4 矩阵分式描述 Matrix Fraction Description (MFD)设G(s)是严格真(strictly proper)
8、有理传递函数，L(s)和R(s)是单模阵，G(s)可化为 Smith-McMillan 标准型:L(s)diag 谒罟七L ,0 R(s)M (s)diag 3,，l,3ql,o1(s)2(s) r(s)N (s)D (s) 1N (s) diag 1(s), 2(s)丄，(s),0丄,0D (s) diag 1(s), 2(s),L , r(s),1,L ,1G(s) L(s)M (s)R(s)L(s)N (s) R 1(s)D(s) 1N(s)D(s) 1上式被称为G (s)的右矩阵分式描述(right matrix fraction description).(同理有左矩阵分式描述 )N
9、 (s)-分子矩阵(numerator matrix)D (s)-分母矩阵(denominator matrix)(1) z is a zero of G(s) if and only if N (z) loses rank(2) p is a pole of G(s) if and only if D( p) loses rankMFD表示不是唯一的G(s) N(s)X(s)D(s)X(s) 1N%(s)D%(s)定义： 右互质(right coprime)如果 N(s) N%(s)U(s)D(s) D%s)U (s)只对单模阵 U(s)成立，则称N(s)与D(s)右互质这时称 G (s)
10、N (s) D (s) 1 是不可约的(irreducible)怎样判定N (s)与D (s)右互质？存在多项式矩阵X(s),Y(s)使得X(s)N (s) Y(s)D(s) I。如果G(s) N (s)D(s) 1是不可约的(irreducible)，则G(s)的极点多项 式：p(s) det D(s).3.5 状态空间实现 State Space Realization显然有 G(s) C(sI A) 1B DC：d忙A)BDdet(sI A)定理3.3:设G(s)有最小实现(A,B,C,D)，p(s)是G(s)的首一极点多项式，则P(s)si A例3:最小实现s 11(s 1)(s 3)
11、G (s)s 2G(s)s(s 2)(s 3)s(s 2)s 30 103 11A, B,C,D6 516 313.6 多少零点？ How Many Zeros?有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零 占八、 例4:怎样判定下面传递函数是否有零点?s1s3s2s41s1s5s6s31s4s2G(s)SISO传递函数情况:G(s)bm1.iSLn 1a1sLbman零点和极点：有 m个有限(finite)零点，有n个有限极点如果n m，在无穷远处(at infinity)有n m个零点 如果n m，在无穷远处(at infinity)有n m个极点G(s)在S 的极点和零点，通
12、过 H( ) G(1/ )在 点来定义.0的极、零传递函数是方阵情况:定理3.4:如果G(s)是方阵，那么它的极点和零点一样多mz(s) (s Zi),i 1np(s) (sPi)i 1z(1/ )det H ()(1Zi),(1p(1/ )nZi)/(1i 1Pi)(1Pi)设H()在0有z个零点，p个极点，则z p n m总的极点数与总的零点数相等:Pf p Zf z非方形传递函数上面结论不成立。例5: G(s) 邑二=4 有两个极点，没有零点s 2 s 4关于零点的进一步讨论(further discussion)设G(s)是方形，维数m m，最小实现：1r r CBCAB |G(s)
13、D C(sI A)1B D 2 LssH ( ) DCB2CAB l若rank D，则H ()在0至少有m个零点这样G(s)至少有m个零点在无穷远处因此至多n m个有限零点但当m时，一般情况，G(s)的秩在无穷远处不下降，所以得G (s)有n个有限零点。若D 0， G (s)至多有nm个有限零点，至少m个零点在无穷远处当rank CB m时，恰有n m个有限零点当rank CB m d时，至多有n m d个有限零点更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：CA i 1B .更详细讨论 Kailath(1980), MacFarlane (1976)-IJC3.7 内部稳定性
14、Internal Stability定义：指数稳定(exponentially stable) : G (s)正则且没有闭右半复平面 (CRHP)极点.内部稳定(internally stable):图2.2【P103】所示反馈系统是内部 稳定的，当且仅当传递函数Heu(s)H 11 (s) H 12 (s)H“(S) H22(S)，H11H12U1e2HHu21222是指数稳定的。(相对于外部稳定)这是称(G (s), K (s)是内部稳定的，或K(s)镇定 G(s)求出(注意正反馈条件下)Heu(s)(I KG ) 1(I KG ) 1 KG(I KG ) 1(I GK ) 1两点说明：(
15、1) 定义中排除了 G(s)与K (s)不稳定的极零点相消;(2) 检验四个传函H j (s)都是指数稳定的。内部稳定-指反馈系统，指数稳定-指传递函数。定理3.5:如果K (s)指数稳定，则图2所示反馈系统内部稳定当 且仅当H 21 (s) G (I KG ) 1指数稳定。(存在K (s)指数稳定时，称G (s)是可强镇定的strong stabilizable)证明:Hn(s)I KG (I KG ) 1 IKH 21 (s)H/s)H22(s)Hn(s)K(s)I G(I KG ) 1K I定理3.6:如果K (s)指数稳定，则H21(s)K(s)H 21 (s) G(I KG ) 1
16、指数例6:K (s)G(s)det1G(s)K(s)1 GK 1Gs 2(s 1)(s 1)因此，K(s)不能镇定G(s).稳定当且仅当(1) det( I G(s)K (s)在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点including infinity)； H 21 (s)在G (s)的闭右半平面极点处解析(analytic包括无穷远极点)。【更详细(细致)的结果】负反馈：K (s)换为 K (s).设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对消3.8 一般Nyquist稳定判据The Generalized Nyquist Stability Criterion取反馈K (s) kl (负反馈
17、)，并设det( I kG (s)在闭右半平面 上有Po个极点和Pc个零点，则由幅角原理(the principle of theargument)argdet(l kG(s) 2 (Pc p。)注意：I kG (s)的极点就是G(s)的极点闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定pc 0如果i(s)是G(s)的特征值，则1det(l kG(s) 1 kargdet( I kG(s)所以判定稳定性问题转化为计算 i 的圈数问题，进一步得 k i(s)绕k i(s)是I kG (s)的特征值i(s)arg1 k ,(s)k i(s)的Nyquist图围绕原点1 j 0点的圈数问题(与经典判据一样了)i
18、(s)的图被称为 特征轨迹characteristic loci例7：(取k 1 )0 1G(s) ，1,2 (s)J(s 1)/( s 1)s 11,2 (j ) J 耐下面的问题：数圈一一1( j )和2( j ) 一起形成一个封闭曲线(如图2.3【P108】)是一个单位圆。(s 1) k2(s 1)(s 1)所以k 1时系统稳定，k 1时系统不稳定。det(l kG(s) 1 k2_(s 1)定理 3.7 (Generalized Nyquist Theorem)如果 G (s)有 po 个不稳定Smith-McMillan极点，则具有回比为kG (s)的闭环系统稳定，当且仅当kG (s
19、)的特征轨迹一起逆时针包围1 jO点Po圈，假设没有隐藏不稳定模(没有极零点对消)例8：G(s)1s 1 s1.25(s 1)(s 2)6 s 21,2(S)2j 3124 j51 j(2T5见书中图2.4【P109】(附下图：1i2 (s)的Nyquist图)分析：0,1,2 (s)( 31) /50.4,0.8，1,2 (S)0 ,再计算一个点(确定分支).设 124 j (j)2，取1，则0.11785.2,时，取m72 /12 jU2m0.11785.j)1,2 () 0.33610.0941 j,0.81880.3946当k变化时系统的稳定性:1/ k0.8系统稳定0.81/k0.4系统不稳定0.41/k 0系统稳定01/ k0.53系统不稳定0.531/k系统稳定j总结 Summary?掌握多项式矩阵的Smith标准形及传递函数的Smith-McMillan 标准形(会求);?掌握传递函数的极点和零点的概念；?掌握传递函数的左、右互质及矩阵分式描述；?熟练掌握系统的内稳定概念及相关运算；? 了解一般奈奎斯特稳定判据；?尝试使用计算机绘制特征轨迹，并判别系统稳定性。Y1u11 A fz1WnW12U1附加作业：设yy 2Wyu (S)U2W21W22U2作业：2.4,2.5,2.10Wyu(S)并证明Wyu(s)指数稳定的充要条件是 Heu(S)指数稳定。求出