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1、综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184 ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。ana12a13_2an3an -a12ai31.设 D=a21a22a23=M工Q 则 D1=-2a213a21 -a22a23a31a32a33-2為3a31 -_ a32a33(B )A. 2MB.2MC. 6MD.6M2. 设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C,贝S A 应满足(D ).A. ASB. A = OCJA |= 0D. | A|M
2、03. 设A, B均为n阶方阵，贝S( A ).A. |A+AB|=0,贝S |A|=0 或|E+B|=0B.(A+ B)2=A2+2AB+ B2C.当 AB=O 时，有 A=O 或 B=OD.(AB)-1=B-1A-1(a b、4二阶矩阵 A=, |A|=1,则 A-1=(B ).2 d丿db、r d_b、a_b abA. BJC.D. m8. 对方程组Ax = b与其导出组Ax = o,下列命题正确的是（D ）.A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，A
3、x = o只有零解.丄2片 x2 _ X3 = 09. 设方程组X2 kx0有非零解，则k = ( D ).x-i x2=0A. 2B. 3C. -1D. 110. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D ).A. |A|0B.存在n阶方阵C使A=CtCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 四阶行列式D中第3列元素依次为-1, 2, 0, 1，它们的余子式的值依次为5, 3, -7, 4,贝S D =-15.12若方阵A满足A2 = A,且AE，则|A|= .113若A为3阶方阵
4、，且| A b-，则|2A|= _4.10-12、14设矩阵A=2-1-26的秩为2,则t =_-3.31t415设向量：=(6, 8, 0),： =(4 , 3 5),则 C / )=.16设n元齐次线性方程组 Ax = o, r(A)= r n,则基础解系含有 解向量的个数为n-r个.17设:=(1 , 1, 0)，:尸(0, 1, 1), ： 3=(0, 0, 1)是 R3 的基,则1 =(1 , 2, 3)在此基下的坐标为(1,1,2).18设A为三阶方阵，其特征值为1, -1, 2,则A2的特征值为19.二次型 f (x1,x2,x3 2xf - 3x2 - x；2 - 4x1x2
5、- 2x2x3 的矩阵 A=(2-20、-231120.若矩阵A与B = 002 3）2 4相似，贝S A的特征值为二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）一 11- x 121.求行列式111 + y11 1的值.11 - y1 + x111.解：1 1-x11111 + y11111 -y1 + x100=xy1100001 + y100111 + X 111 1-x -x0 01 1y 10 0y -yx 0001 1 002 2 =x y .00 y00 0 110 3(1 1 -r2、22.解矩阵方程：-2 1 1X =3,1 1 1 丿2丿由 AX=B,得:X=A-1B
6、=11、3321 111_ 13=336016Z-12丿012121-n公令A=-211B=31110(11-11001-11 00)因为(AE )=-211010T03-12 1011001002-1 01/0011、/11、1 0033330 10111所以A11112362360 01101101122丿22丿23. 求向量组:=( 1,1, 2, 3 )，:二=(-1, 1, 1, 1 ), ；=(1,3, 3, 5 ), :=(4,- 2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换:1-114、1-114、
7、/ TTT1-13-2002_613a4 )=T2135031-33156丿042-61-114、1-114、007、002_6011-30100TTT011-3001-3001-300-26J0000丿0000丿所以，,G234)=：3,极大无关组为a 1化卩3；a47。1-笑3.2% x2 + X3 + X4 = 124. a取何值时，方程组t xi + 2x2 - X3 + 4x2有解？并求其通解 % + 7x2 _4x3 + 11& = a(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：_1111 12_142 、A =12-1420-53-7-317
8、-411a105_37a - 212_142t 0 -53-7-3(0000a - 5 丿若方程组有解，则r( A) = r(A)，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得:1 0At 0 10 0164A5553 73-3 - 3，原方程组的同解方程组为:5550 0 04 16xi 飞-5X3-5X4,x3,X4为自由未知量，令X3=X4=0,得原方程组的337一个特解:X2 V齐一訐5001 6与导出组同解的方程组为:X1 = _ 5 X3 _ 5 X4,x3,x4为自由未知I 37x5x5X4量，令X315351分别取65750所以,0?1,得到导出组的基础解系:方程组的全部解为:0
9、丿甘、1)r 6)1555337|+ C1-+ C255501060丿 1v 二其中，ci，C2为任意常数.2 0 025. 已知A= 1 2 -1，求 A的特征值及特征向量，并判断 A 1 01能否对角化，若能，求可逆矩阵 P,使P -AP = A （对角形矩阵）.解：矩阵A的特征多项式为：扎-200|EA 卜 -1 Z - 21=（九 一2）2（丸一1）,-10丸1所以，A的特征值为:对于=2，求齐次线性方程组（2 E- A） x = o的基础解系,000雲d 0 -n2E - A =-10 1T0 0 0-1 0 100 0得基础解系:0Z1A1J0O,从而1q1+ C20c1,c2不全
10、为零o对于3=1,A的对应于特征值 1的全部特征向量为：c（廿0）.矩阵A的对应于特征值2的全部特征向量为:（-1 0 0、10 0E_ A =-1 -1 1T0 1 -1,得基础解系：11-1 0 0 丿0 0 0 ；l1丿求齐次线性方程组（E- A） x = o的基础解系,从而矩阵z0 1 020 0、1所以，A相似于对角矩阵，且P =1 0 1,A =0 2 0.0 1 b4矩阵A的秩r(A)=1 , 三个线性无关的解向量 (D ).A. : , ,二C.： - ,-:6. 向量： ( 1 , 2, 3姑(C ).A. k =-4B . k = 47. 设U1, U2是非齐次线性方程组
11、导出组Ax= o的解，则有A. C1+C2 =1B. C1= C28.设A为n（n2阶方阵，且A2=E,则必有：,1 ,是齐次线性方程组Ax= o的 则方程组的基础解系为B .:, - ：D . ot,a+0,o(+B+了(2 , ：2.= 2 ) , k线性相0关，)则C . k =-3 D . k = 3Ax= b的两个解，若qg - gu2是其 (B ).C . C1 + C2 = 0 D . C1 = 2c2(B ).A . A的行列式等于1B. A的秩等于nC . A的逆矩阵等于ED. A的特征值均为19. 设三阶矩阵 A的特征值为2, 1, 1 ,贝卩A-1的特征值为(D ).A
12、. 1,2B . 2, 1, 110. 二 次 型11C . , 1D . ,1,122f (x1,x2,x3 xf 2x2 3x3是(A ).A .正定的B.半正定的C .负定的 D.不定的、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分1 1 111.314=_58 9 5-1 1 0、1 1 0、13.设 A=0 0 2,B =0 2 20 0 2i00312设A为三阶方阵，且|A|=4，则|2A|=_32,-1 0At B-11、01 0 410f (XX2,X3)二f(x1,x2,x3 X2 2x； - 3x； xx2 - 3x1x3
13、广21、r_2 -p14设 A =,则 A1=_-5 -25215向量B =(1, 2, 5)表示为向量组库广(1, 0, 0)严2 = (0, 1, 0),；3 =(0, 0, 1)的线性组合式为2二 * 5 33x1 X2 - X3 = 016.如果方程组t 3x1 + 5X2 - 2x3 = 0有非零解，贝q k.4x2 + kx3 = 0=_-117设向量=(1, 0, -2)与 1/1118.已知实对称矩阵A=2仝2= (a,1,1)正交，则 a =2.2 220,写出矩阵A对应的二次型0-319.已知矩阵 A与对角矩阵(100、A= 0-10相似，则00-1A2=E20.设实二次型
14、f (x1,x3,x3,x4)的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为_y： + y； + y； - y；二、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21计算行列式Dy y y x的值.x +3yyyy1yyyx +3yxyy1xyy=(x + 3y)x +3yyxy1yxyx +3yyyx1yyx解：原式=y=(x 3y)=(x 3y)(x- y)x _ y00-10、121，B=0232122设矩阵A= -1、212，求矩阵A-1 B .1(1 -10 11 ”(AB )= - 1210-202232 丿(00 1 11 1 314131-10 1 1t 01 o
15、3 - 10T201413f-21-9 .A=-3-10413广123设矩阵A = -1 k1002-9010-3-1000141 3-2 3k2k -3，求k的值，使A的秩r(A)分别等于-23丿1, 2, 3.r 1-2 31r1-23kA二-1 2k -3T0 2k - 2 3k - 3k -230 2k-2 3-3k2解：对矩阵A施行初等变换:(1当 k=1 时，At 001当 k= -2 时，At 001-23k、-23k、T02k-23k-3T0k-1k-1006 - 3k - 3k2 *00(k + 2)(k_1)-2 300，矩阵A的秩r(A)=1 ;0 0 -2 -6)-3
16、-3，矩阵 A 的秩 r(A)=2;0 0当 kzl且 k=2 时，At 00-2 3k11 ，矩阵A的秩r(A)=3.0 1丿rr11 1；224.求向量组1 =宀=13|1a3(137I113丿2410I20的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示解：将所给列向量构成矩阵 A,然后实施初等行变换:1112、1112 12340122T137100268141320丿031218（r： 2： 3： 4）二2广1112广1002、2T0122T010-2400120012200000000(1 1 1012002001所以，向量组的秩r（“2,3,4）= 3，向量组的一
17、个极大无关组为:12，3，且有：-4=21- 2 22 3.捲 + 2x2 - 2x3 + 3& = 025.求线性方程组*2X1+3X2 - X3 +2x4 = 0的基础解系，并用基础解i 捲十 3x2 - 5x3 + 7血=0系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换:1 2 -2 312-23、(1 2 -2 3、A =2 3-12T0 -13-4T0 1-34J 3 -5 721-34 ;30 0 0,1 04-5t 0 1 -3 4卫0 00与原方程组同解的方程组为：丿Xi = -4“ + 5x4，其中X3, X4为自由未知2= 3x3_4x4量.X3分别取得基础
18、解系:(5 3,v =-410111丿方程组的通解为：C1v1 c2v2 C1r-45 3十C21-411010丿1U丿（G , C2为任意常数）“11、26. 已知矩阵A= 111，求正交矩阵P和对角矩阵 A,使J 1 1-1P AP= A解：矩阵A的特征多项式为：丸-1-1-1“ E-A 卜-1X-1-1 2(九-3)，-1-1 九-1得矩阵A的所有特征值为：八2=0,3 = 3.对于、=2 = 0，求方程组(0E - A)x二o的基础解系.1-1 -1 -rn 1 rr-nr-n f_1 -1 _1T0 0 0，得基础解系为a 1 =1ot = 严20 ，(T T T2 0 0,2丿J丿
19、将此线性无关的特征向量正交化，得:(1(11r 1、(r21，卩2 =12.再标准化，得：1鬣2 二1 176I 0丿102I )11 丿i V6)对于3 = 3解方程组(3E - A)x = o.(2 -1 -r1(1 0 -r-1 2 -1T0 1 -1，方程组的基础解系为。3 =1-1 -1 2丿i000 丿l1丿将其单位化，得:V3 |1 I冋31飞1令卩=（丫2，丫3）=正01忑1731A= 02 * 3,，T 2 * s也线性无关.证：令kr 1k2（ ： 1： 2）k3（：1：2： 3）ksC 1： 2:s）二。，整理得：（k1k2 .ks）： 1（k2 k3-. ks）： 2g
20、ks）： s_kok = 0k2 = 0ks=0ks=0因为12,.s线性无关，所以匕 k2 ks_ 1 ks = 0k2k3ks =0，解得ks+ ks = 0Iks = 0故:, ： 2, ： ： ： 3,.2 * s线性无关.线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分1当（D ）成立时，n（n 2）阶行列式的值为零.A. 行列式主对角线上的元素全为零B. 行列式中有个元素等于零C. 行列式至少有一个（n -1）阶子式为零D
21、. 行列式所有（n - 1）阶子式全为零2已知A, B, C均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC二E，则下 列 结 论 必 然 成 立 的 是（B ）.A. ACB= EB. BCA=EC. CBA= ED. BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是).-1 -1 -1A. (AB) = A B-1 -1 -1B. (A+ B) = A + BC. (AB)t=AtbtD. |(AB)J(B ).0 1 )（1 0）10、1 0、A.B.C.D.J 0丿0 1丿02丿、2 b4.下列矩阵不是初等矩阵的是i,则 m,.,65.设 m,.,6是4维向量组，(D ).A.线性无
22、关B. 至少有两个向量成比例C. 只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6. 设A为m冷矩阵，且m0B. A的每一个元素都大于零C.r A = nD. A的正惯性指数为n10设A，B为同阶方阵,且 r(A) = r(B)，则(C ).A. A与B相似B. A与B合同C. A 与 B 等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分1 23411行列式-1 034=24_1-204-1-2-3012.设A为三阶矩阵,|A|=-2，将矩阵A按列分块为A二(Ai, A2, A3),其中 Aj (
23、j =1,2,3)是 A 的第 j 列，B= (A3 -2 Ai, 3A?,人),则 |B|=_ 6_.广 1 0、(1 _1、13已知矩阵方程 AX=B,其中A=, B=，贝S X=_f 1丿J0丿-1 -仁-12.14已知向量组：t = (k , 1, 1), ：(1, k , 1),3 = (1 , 1 , k)的秩为2,贝y k =-2.15向量 a = (1,2, -1,3)的长度 |g |=尿16.向量 B = (2,-1,3)在基口 1 = (1,1,1),叫=(1,1,0)少3 = (1,0,0)下的坐标为(3,-4,3) .17设= 1/- 2/- 3是4元齐次线性方程组Ax
24、=o的基础解系，则矩阵A的秩 r(A)=1.101、18.设人=0是三阶矩阵A =020的特征值，则a10a丿1.19.若 f (x1,x2,x3) = xf 2x|xf 2x1x2 4%3，6x2x3是正定二次型，贝卩满足5.20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B二A2+2A,则|B|=360三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）r 321设三阶矩阵A= 110、0，E为三阶单位矩阵.3求：(1)矩阵 A-2E 及|A-2E|; (2)(A- 2E)-1.广3002 00、r 100、110020=1-10-1 23002-121解：(1) A-2E=| A-2E |=
25、 -1；1001 00、(1 00100A4 .1-100 10T0 -10-110-1210 0102110110 0100暑T0101-10001-22=2：，- = 2 - 2 3.23.讨论a为何值时，线性方程组x 2x2 - 2x3 2x4 二 2x3 - x4 = 1 亠”34 有解?x3 3x4 = ax3 5x4 = -1X2 -X1X2 -Xi _ X2当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换:广12-222、广12-222101-1-1101-1-11A =11-13aT0-111a - 21_115一J0-333一3丿12_222 、1004
26、0、01-1-1101_1-11T0000a -1T0000IIa -100000丿00000丿若方程组有解，则r( A)=r( A)=2，从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为:Xl4X4， X3，X4为自由未知量X2 = 1 xX3X4令x x 0，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T.导出组的同解方程组为:x- 4x4，X3,X4为自由未知量.X X3 X4令3 I分别取 ，得导出组的基础解系：(0, 1,1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.lX4丿l0丿l1丿所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T+C1(0, 1, 1,0)T+C2(-4, 1,0, 1)T，其 中，C1，C2为任意常数.24已知向量组 a =(1,1,2), a2 = (-2, a, 4)严3 = (-1,1, a)，讨论该向量 组的线性相关性.1-2-11_2-1解：因为1a10a + 22