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1、2 实数完备性的基本定理 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。 2.1 实数基本定理的陈述1. 确界存在原理 定理1.2.1 非空有上界数集必有上确界(非空有下界数集必有下确界) 2. 单调有界原理 定理2.1.8 单调有界数列必收敛3. Cantor闭区间套准则定义2.1(区间套) 设是一闭区间序列. 若满足条
2、件(1) 对, 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; (2) . 即当时区间长度趋于零。则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套。简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。区间套还可表达为 。我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减。例2.1 和都是区间套. 但、和 都不是。 定理2.1(Cantor区间套准则) 设是一闭区间套。 则存在唯一的点，使对有。 简言之, 区间套必有唯一公共点。推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有。推论2 若是区间套确定的公共点, 则有单增且收敛于，同时单减且收敛于，。 4. C
3、auchy收敛准则 数列收敛的充要条件 定理2.1.9(Cauchy收敛准则) 数列收敛 是Cauchy列。证 上节3证必要性，现证充分性：根据假设，对任给的，总存在自然数，对一切，都有，即在区间内含有中除掉有限项外几乎所有的项。 据此，令，则存在，在区间上含有中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为。 再令，则存在，在上含有中除有限项外几乎所有项。记，它也含有中有限项外几乎所有的项，且和。照以上的方法，依次令，得一闭区间列，它的每个区间都含有中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件 从而由区间套定理知，存在唯一一个数，现在证明这个就是数列的极限。因为对任给，由定理2.1推论知存在
4、自然数，当时，便有 。因此在内就含有中除有限项外几乎所有的项，这就证得。5. Weierstrass聚点原理 定义2.2(数集的聚点,亦称为接触点) 设是无穷点集。若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点。例2.2 数集=有唯一聚点, 但；开区间 的全体聚点之集是闭区间 ; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间。 定理2.3(Weierstrass聚点原理) 每一个有界无穷点集必有聚点。6. Bolzano致密性定理 定理2.2 (Bolzano致密性定理) 任一有界数列必有收敛子列。 7. HeineBorel有限复盖定理定义2.3 设是一个数集 , 是
5、区间族。 若对, 则称区间族覆盖了, 或称区间族是数集的一个覆盖。 记为。若指标集仅有有限个元素，则称区间族是数集的一个有限覆盖。若区间族的子集族覆盖了数集，则称此子集族为数集的覆盖的子覆盖。若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族。 开区间族常记为。定义2.4(开覆盖) 数集的一个开区间族覆盖称为的一个开覆盖, 简称为的一个覆盖。若 中的开区间的个数是无限的，则称为的一个无限开覆盖。若中的开区间个数是有限的，则称为的一个有限开覆盖。例2.3 覆盖了区间, 但不能覆盖;覆盖, 但不能覆盖。 定理2.4(HeineBorel有限复盖定理) 闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖。2.2 实数基本定理等
6、价性的证明 我们注意到，实数完备性基本定理等价性的证明，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。证明七个实数基本定理等价性的路线:确界原理 单调有界原理 Contor区间套定理 Cauchy收敛准则 Weierstrass聚点原理 Bolzano致密性定理 HeineBorel 有限复盖定理 确界原理。确界原理单调有界原理 证明 参见定理2.1.8的证明。单调有界原理Contor区间套定理 证明 因为，所以有 从而可见数列单增有上界，数列单减有下界故由单调有界定理可知 使得, 使得,且有有，所以 ，于
7、是成立 。又因为，所以。记，从而存在性得证。 假设不唯一，即存在，则仿上面易得。Contor区间套定理Cauchy收敛准则 证明 上节已经证明了Cauchy收敛准则的必要性，在此只需证明充分性。证法一 设为Cauchy列，即，有 。 (1)先证明，Cauchy列有界：事实上，在(1)中取，就可知。其次，我们用Cantor区间套定理找出的一个收敛的子列如下：定义闭区间具有性质 含有数列的无限项。Step(1): 由有界性知，闭区间具有性质。从中任取一项作为。易得。 Step(2): 将对半分为两个闭区间和， 则其中至少有一个闭区间具有性质，不妨记此区间为。易知中仍含有数列的无限项。从中任取一项作
8、为。易得。 Step(k): 将对半分为两个闭区间和，则其中至少有一个闭区间具有性质，不妨记此区间为。易知中仍含有数列的无限项。从中任取一项作为。易得。由此可得一闭区间套满足(i) ； (ii) ； (iii) 。由闭区间套定理可知存在唯一的。且。现在，我们可以证明。事实上，由知，有 。 (2)于是，由(1)和(2)知， 。至此，我们完成了Cauchy收敛准则的充分性证明。 证毕 证法二 设为Cauchy基本列，即有 ，即。定义性质 有。则 Step(1): 令，则使得具有性质，不妨记此区间为。 Step(2): 令， 则使得具有，不妨记此区间为。 Step(k): 令，则 使得具有，不妨记此
9、区间为。由此可得一闭区间套满足(i) ; (ii) ; (iii) 具有性质，即含有某个后的所有项。由闭区间套定理可知存在唯一的。从而。Cauchy收敛准则Weierstrass聚点原理 证明 设为直线上有界点集，则使得。 定义性质 至少含有中的无限多个点。 利用二等分法容易构造出具有性质的区间套满足： 。 (3)由性质任意挑选中不同的点构成的数列使得。，由(3)和极限定义知， 有 。由定义知是Cauchy列。由Cauchy收敛准则知， 使得 。从而可知即为的一个聚点。Weierstrass聚点原理Bolzano致密性定理 证明 设为有界无穷数列(若有无限多相等的项，则命题显然成立)。由Wei
10、erstrass聚点原理知，至少有一个聚点，则由聚点的定义： Step(1) 令 ，则且。Step(2) 令 且 。 Step(k) 令 且 。从而得到的子列使得当时有。即。故 。Bolzano致密性定理HeineBorel有限复盖定理 证明(反证法) 假设区间不能被开覆盖有限覆盖。定义性质 不能被有限个开区间覆盖。 利用二等分法容易得到一个具有性质的区间套满足 (3) 。由于都是有界数列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列，使得 ，。由(3)易证。从而，使得有。从而，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。HeineBorel有限复盖定理确界原理 证明 设是有上界
11、的非空数集，则使得有，取，得到区间 。反证法，假设没有上确界，则，使得满足条件：若是的上界，那么中的点都是的上界；若是中的点，那么中不存在的上界。从而得的一个开覆盖 。 由HeineBorel有限覆盖定理知，存在的一个有限子覆盖 。因此必有一个， 不妨设为，包含。因为是的一个上界，故内的元素全是的上界。从而与相交的中的邻域的点也必为的上界。依次类推下去，将有为的一个上界，这与矛盾，故具有上确界。练习2.21直接证明实数理论命题的两两等价。【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。顶 3 收藏 2【唯美句子】 一个人踮着脚尖，
12、在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。顶 7 收藏 7【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。顶 11 收藏 9【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。顶 0 收藏 2【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看
13、小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。顶 3 收藏 4【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽
14、梦。顶 0 收藏 2【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。顶 1 收藏 3【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。顶 2 收藏 3【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散
15、落在泥土里的花瓣捧在手心。顶 4 收藏 5【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。顶 3 收藏 5【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。顶 4 收藏 3【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是
16、想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。顶 1 收藏 1【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。顶 2 收藏 0【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。顶 2 收藏 1【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看
17、到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。顶 0 收藏 0【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃；母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶
18、 0 收藏 0【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔；生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大；生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然；母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱；母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。顶 0 收藏 0【优美
19、语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳；母爱是滋润心灵的雨露；母爱是灌溉心灵的沃土；母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中；无论多少风雨，都无法将她击垮；无论多少河流，她都可以容纳；我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。76