《灰色系统理论资料1(选讲).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灰色系统理论资料1(选讲).doc（44页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、灰色系统理论（选讲）内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经
2、济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。1.2灰色系统的基本原理1.2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全1.2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。“黑箱”方法着重系统外部行为数据
3、的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。1.2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确解是否唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。1.2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论
4、体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：1.2.5灰色系统的应用范畴 （1）灰色关联分析。（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。（3）灰色决策。（4）灰色预测控制。1.2 灰色关联分析法灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法 一、灰色关联分析的建模过程和机理为利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1根据评价目的确定评价指
5、标体系，收集评价数据设个数据序列形成如下矩阵：其中为指标的个数，2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：常用的无量纲化方法有均值化法（见（123）式）、初值化法（见（124）式）和变换等或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%转化为多少？可进行如下计算： 解之得，即80%转化为74逐个计算每个被评
6、价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值即 （ 为被评价对象的个数）5确定 与6计算关联系数 由（12-5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数 式中为分辨系数，在（0，1）内取值，越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强通常取0.5当用各指标的最优值 （或最劣值），构成参考数据列计算关联系数时，也可用改进的更为简便的计算方法： 改进后的方法不仅可以省略第三步，使计算简便，而且避免了无量纲化对指标作用的某些负面影响7计算关联序 对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为：
7、8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 9依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果二、灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见表（12 3 ）表12 3 教师考评数据编号专业外语教学量科研论文著作出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483确定参考数据列：4计算，见表（124 ）表12 4 绝对差值编号专业外语教学量科研论文著作出勤110124702212426130203
8、3524311156351330161610423515 6依据（125）式，取计算，得 同理得出其它各值，见表（125 ）表（125） 计算结果编号i10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.7787分别计算每个人
9、各指标关联系数的均值（关联序）：同理 ， 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号（），5号（），3号（），6号（），2号（），4号（）1.3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。1.3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为，其数据见下表：序号1234符号数据121.54将上表数据作图得上图表明原始数据没有
10、明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为,并且得到数据如下表所示序号1234符号数据134.57.5上图表明生成数列X是单调递增数列。6.3.2灰色系统预测模型建立1. 数列预测GM（1，1）模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm（1，1）建模过程和机理如下：记原始时间序列为：记原始数据序列为非负序列即其相应的生成数据序列为其中，为的紧邻均值生成序列其中，称为Gm(1,1)模型，其中，b是需要通过建模求解的参数，若为参数列，且， 则求微分方程的最小二乘
11、估计系数列，满足 称为灰微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1.白化方程的解或称时间响应函数为2.Gm(1,1)灰微分方程的时间响应序列为3.取，则4.还原值6.4灰色系统模型的检验定义1.设原始序列相应的模型模拟序列为残差序列 相对误差序列1.对于kn,(其中，k=1n)称为k点模拟相对误差，称为滤波相对误差，称为平均模拟相对误差；2.称为平均相对精度，为滤波精度；3.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。定义2 设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为与的绝对关联度，若对于给定的，则称模型为关联合格模型。定义3设为原始序列，为相应的模拟序列，为残差序列。为的均值，为的方差，为
12、残差均值，为残差方差，1.称为均方差比值；对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型。2.称为小误差概率，对于给定的,当时，称模型为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表指标临界精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。6.5应用举例例6-1设原始序列建立Gm(1,1)模型，并进行检验。求的值解：1）对作1-AGO，得（D为的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Generating Oper
13、ator）2)对作紧邻均值生成，令于是， 3）确定模型及时间响应式 4)求的模拟值 =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出的模拟值，由得 =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验序号号实际数据模拟数据残差相对误差23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%残差平方和=0.0151085平均相对误差 =1.0625%计算X与的灰色关联度=1.7855=1.81
14、44=0.04535=0.99020.90精度为一级，可以用预测。例6-2某大型企业1997-2000年四年产值资料年份199719981992000产值（万元）27260295473241135388试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。解：设时间序列为 =（27260，29547，62411，35388） 2)对作紧邻均值生成，令于是，对参数列作最小二乘估计，得设由于可得Gm(1,1)模型的白化方程其时间响应式为由此得模拟序列 =（27260，29553，32336，35381）检验：残差序列为 =（0，-6，7
15、5，7） 平均相对误差模拟误差 ，精度一级计算与的灰色关联度=11502=11429.5 =72.5精度为一级计算均方差比 所以，均方差比值为一级计算小误差概率所以，小误差概率为一级，故可用进行预测，2001-2005年预测值为 =（38713，42359，46318，50712，55488）例6-3预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值年份20012002200320042005总产值1.671.511.032.141.99建立Gm(1,1)模型的白化方程，预测2006-2015工业总产值。解： 对作紧邻均值生成，令于是， 方程为及时间响应式 求的模拟值 =(1.67,2.96
16、2,4.474,6.202,8.311)还原出的模拟值，由得 =（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）计算X与的灰色关联度=0.2585 =0.0885 =0.940.90精度为一级，关联度为一级，可以用进行预测。 例6-4建立GM(1，1)预测模型所进行的灾变日期预测。譬如，某地区连续17年的降水量数据如表10-4所示。若规定降水量320mm的年份为旱灾年份，试用灾变预测法预测下次旱灾发生的年份。表10-4 某地区年降水量(单位：mm)(1)首先作灾变映射，建立GM(1，1)模型。作映射piq对灾变日期序列p=p(1)，p(2)，p(3)，p(4)，p(5)=3，8，1
17、0，14，17建立GM(1，1)模型为了书写方便，不妨将p(i)记为p(i)(i=1，2，3，4，5)将p中的数据作一次累加处理：p(1)(1)=p(1)=3p(1)(2)=p(1)+p(2)=11p(1)(3)=p(1)+p(2)+p(3)=21p(1)(4)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=35p(1)(5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=52p(1)(t)可用下述微分方程拟合：而系统辨识参数为(12)式中：因此(5)式就为：(13)式的时间响应为：p(1)(i+1)=27.677e-0.25361i-24.677 (14) (2)误差分析：灾变日期数列的预测计
18、算值与实际值的相对误差计算如下：计算值 实际值 相对误差p(2)=7.999 p(2)=8q(2)=0.125p(3)=10.286 p(3)=10q(3)=-2.86p(4)=13.268 p(4)=14 q(4)=5.1p(5)=17.099 p(5)=17q(5)=-0.582显然，最大相对误差为5.1。所以上述模型(14)式可用于预测。(3)预测：将i=5，和i=6分别代入(14)式得：p(1)(5)=51.662，p(1)(6)=73.342因此：p(6)=p(1)(6)-p(1)(5)=21.68由于从n=17算起，21.68与17之差为4.68，所以从现在算起将在4年左右发生下一次旱灾。