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1、 1 / 11 一、选择题一、选择题 1 （2019 烟台） 烟台） 如图， AB 是 O的直径， 直线 DE 与 O相切于点 C， 过点 A， B 分别作AD DE， BE DE，垂足为点 D，E，连接 AC，BC若AD =3，CE =3，则AC的长为（ ） A 2 3 3 B 3 3 C 3 2 D 2 3 3 【答案答案】D 【解题过程】【解题过程】连接连接 OC， 因为因为ADDE，BEDE， 所以所以90ADCCEB= = 所以所以90DACACD+= 因为因为 AB 是是O的直径，的直径， 所以所以90ACB=， 所以所以90BCEACD+=， 所以所以BCEDAC= ， 在在AD
2、C 与与CED, 因为因为90ADCCEB= =，BCEDAC= 所以所以ADCCED, 所以所以 3 3 3 BCCE ACAD = 在在 RtACB 中，中，sin3 BC BAC AC =， 所以所以60BAC=， 又因为又因为OAOC=， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以所以60ACO=， 因为直线因为直线 DE 与与 O相切于点相切于点 C， 所以所以OCDE， 因为因为ADDE，OCDE， 所以所以 AD/OC， 所以所以60DACACO= =， 所以所以9030ACDDAC=， C O DE B A 第 12 题答图 知识点知识点 28等腰三角形与等边三角形等腰
3、三角形与等边三角形 2 / 11 所以所以22 3ACAD=， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以所以2 3OAAC=，60AOC=， 所以所以AC的长为 602 32 3 1803 = 2 （2019娄底）娄底）如图（2） ，边长为2 3的等边ABC 的内切圆的半径为（ ） A. 1 B 3 C 2 D 2 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形 OCD 中，从而解 得 如图（21） ，设 D 为O 与 AC 的切点，连接 OA 和 OD， 等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ODAC，OAD
4、30，OD 即为圆的半径 又 2 3AC = ， 11 2 33 22 ADAC= 在直角三角形 OAD 中， 3 tantan30 33 ODOD OAD= = AD =， 代入解得：OD1 故答案为 1 3.（2019潍坊）潍坊）如图已知AOB，按照以下步骤作图： 以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD 分别以点 C，D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 E，连接 CE，DE 3 / 11 连接 OE 交 CD 于点 M 下列结论中错误的是（） ACEO=DEO BCM=MD COCD=ECD DS四边形OC
5、ED= 1 2 CDOE 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由作图可知 OC=OD，CEDE，OEOE，所以OCEODE，CEO=DEO，选项 A 正 确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CDOE，所以选项 B、D 正确；选项 C 错误；故选 C. 4.（2019衢州）衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分 角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE的度数是（） A.60 B.65 C.75 D.80 【答案】【答案】D
6、 【解析】 本题考查等腰三角形及三角形外角的性质， 因为【解析】 本题考查等腰三角形及三角形外角的性质， 因为 OC=CD=DE， 所以所以O=CDO,DCE=CED. 所以所以DCE=2O，EDB=3O=75,所以所以O=25,CED=ECD=50,所以所以CDE=180- CED-ECD=180-50-50=80，故选 D. 5.（2019重庆 A 卷）如图，在ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把BDC沿 BD 翻折，得 到BDC， DC 与 AB 交于点 E，连结AC，若 AD AC 2，BD3，则点 D 到 BC 的距离为 （） A 2 3 3 B 7 3 21 C7
7、D13 【答案答案】B 【解析】【解析】如答图，过点 D 作 DM BC 于点 M，过点 B 作 BN DC 于点 N，由翻折可知 DC DCAD 2，BDCB DC AD AC 2，ADC是等边三角形，从而ADCB DC BDC 4 / 11 60在 RtBDN 中，DN 1 2 BD 3 2 ，BN 3 3 2 ，从而C N 1 2 于是， BC 22 13 3 ( )() 22 + 7 BDC S 11 22 DCBNBCDM=，DM DCBN BC 3 3 2 2 7 3 21 7 故选 B 6.(2019聊城)如图，在等腰直角三角形 ABC 中,BAC90,一个三角尺的直角顶点与 B
8、C 边的中点 O 重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的 两 直角边与 AB,AC 分别交于点 E,F 时,下列结论中错误的是 A.AE+AFAC B.BEO+OFC180 C.OE+OF 2 2 BC D.S四边形AEOF 1 2 SABC 【答案】C 【解析】连接 AO,易得AEOCFO,AE+AFCF+AFAC,故 A 正确；BEO+OFCBEO+ AEO180,故 B 正确；随着三角形的转动,OE 和 OF 的长度会变化,故 C 错误；S四边形AEOFSAEO+S AFOSCFO+SAFO 1 2 SABC,故 D 正确；故选 C
9、. 二、填空题二、填空题 1 （2019绍兴）绍兴）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD，PAD=30 ，以点 B 为圆心，AB 为 半 径作弧，与 AP 交于点 A,M，分别以点 A,M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED， 则ADE 的度数为 . 【答案】【答案】15或或 45 【解析】因为【解析】因为PADPAD30，以点 B 为圆心，AB 为半径作弧，与 AP 交于点 A,M，而而BAMBAM60，所，所 5 / 11 以以BAMBAM 是等边三角形；又以是等边三角形；又以点 A,M 为圆心，AM 长为半径作弧，交点有两个 E 或 B 有两种情况： 由题意
10、AME 是等边三角形，所以EAM60，所以DAE30+120150，又 ADAMAE， 所以ADEAED 1 2 （180150）15；点 E 与 B 重合，所以ADB（E）45. 2 （2019常德）常德）如图，ABC 是等腰三角形，ABAC，BAC45，点 D 在 AC 边上，将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45得到ACD，且点 D、D、B 三点在同一直线上，则ABD 的度数是 【答案】【答案】22.5 【解析】【解析】根据题意可知ABDACD，BACCAD45，ADAD，ADDAD D 18045 2 67.5，D、D、B 三点在同一直线上，ABDADDBAC22.5 3.（2019怀化
11、）怀化）若等腰三角形的一个底角为 72，则这个等腰三角形的顶角为_. 【答案】【答案】36. 【解析】【解析】解：等腰三角形的一个底角为 72， 这个等腰三角形的顶角为 180-722=36. 故答案为 36. 6 / 11 三、解答题三、解答题 1.（2019 浙江省杭州市，19，8 分）（2019 浙江省杭州市，19，8 分）(本题满分 8 分) 如图在ABC 中，ACABBC. (1)已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证:APC= 2B. (2)以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ.若AQC= 3B，求B 的度数
12、. 【解题过程】【解题过程】 （1）证明：线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P， PA=PB，B=BAP， APC=B+BAP，APC=2B； （2）根据题意可知 BA=BQ，BAQ=BQA， AQC=3B，AQC=B+BAQ，BQA=2B， BAQ+BQA+B=180，5B=180，B=36 2 （2019 江苏盐城卷，江苏盐城卷，25，10） 如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （I）将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图； （II）在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B 、处，如图，两次折痕交 于点 O；
13、 （III）展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图 【探究】【探究】 （1）证明：OBCOED ； （2）若 AB = 8，设 BC 为 x， OB 2为 y，求 y 关于 x 的关系式. 图图 图图 图图 图图 【解题过程】【解题过程】 Q B A C （第 1题(2)） P B A C （第 1题(1)） 7 / 11 解：解： （1）由折叠可知 BC=AD=AF=DE， CB=CB 、 ， 由两次折叠可知BCO=DCO =ODE=45O，OCD 是等腰直角三角形，OC=OD OBC OED （2）如图，过 O 向 BC 做 ONBC 于 N，则OCN 是等腰直角三角形， 又OC
14、D 是等腰直角三角形，OC=OD， CD=8，OC=4 2,ON=CN=4，在直角三角形 BON 中，OB2=BN2+ON2 2 2 y(4)4x=+= 2 832xx+（4x8） 3 （2019株洲）（2019株洲）四边形 ABCD 是O 的圆内接四边形，线段 AB 是O 的直径，连结 AC、BD点 H 是线段 BD 上的一点，连结 AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA 的延长线与 CD 的延 长线相交于点 P （1）求证：四边形 ADCH 是平行四边形； （2）若 ACBC，PB5PD，ABCD2(51)求证：DHC 为等腰直角三角形；求 CH 的长度 【解题过程】【解题过程】(1)
15、(1)CBD=CBD=CAD,CAD,ACHACHCBDCBD， CAD=CAD=ACHACH， CHCHADAD， ADADCHCH， 四边形四边形 ADCHADCH 是平行四边形是平行四边形 （2 2）ABAB 是直径，是直径， ADB=ADB=ACB=90ACB=90， 8 / 11 CHCHADAD， CHD=CHD=ADB=90ADB=90， ACACBCBC， CAB=45CAB=45， CDB=CDB=CAB=45CAB=45， DHCDHC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 四边形四边形 ABCDABCD 是是O O 的圆内接四边形，的圆内接四边形， PDA=PDA=PBCPB
16、C， P=P=P P， PDAPDAPBCPBC， 5 PBBC PDAD = , , DHCDHC 和和ABCABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， AB=AB= 2BC,CD= ,CD= 22CHAD= , , 2 5 2 ABBC CD = AD = ABCD2(ABCD2( 51) 1) 5CD+CD=2(CD+CD=2( 51) CD=2， CH= 1) CD=2， CH= 2 4 （2019常德）常德）在等腰三角形ABC 中，ABAC，作 CMAB 交 AB 于点 M，BNAC 交 AC 于点 N （1）在图 12 中，求证：BMCCNB； （2）在图 13 中的线段 CB
17、上取一动点 P，过 P 作 PEAB 交 CM 于点 E，作 PFAC 交 NB 于点 F，求 证：PE+PFBM； （3）在图 14 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 PEAB 交 CM 的延长线于点 E，作 PFAC 交 NB 的延长线于点 F，求证：AMPF+OMBNAMPE 9 / 11 【解题过程】【解题过程】 （1）ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90， 又BCBC，BMCCNB； （2） 连接 OP， PEAB， PFAC， BMCPEC90， CNBPFB90， BOC S BOP S COP S， 1 2 OC BM 1 2
18、OB PF 1 2 OC PE BMCCNB， OBCOCB， OBOC， PE+PFBM； （3）同上连接 OP， BOC S COP S BOP S， 1 2 OCBM 1 2 OCPE 1 2 OBPF，OBOC， PEPF BMBMCANB90，BMONBA，BOMBAN， BMOM BNAN =，OMBN BMAN （PEPF）AN， ABAC， BMCN， AMAN， OM BN （PEPF）AM， AM PF+OM BN AMPE 5.（2019重庆 A 卷）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 E
19、FBC 交 AB 于点 F （1）若C36，求BAD 的度数； （2）求证：FBFE 解：解： （1）ABAC， 图14 图13 图12 F E P F E P A B C O M N A BC O MN NM O CB A 10 / 11 BC36 BAC180BC108 ABAC，D 是 BC 边上的中点， AD 平分BAC BAD 1 2 BAC54 （2）证明：BE 平分ABC， ABECBE EFBC， FEBCBE ABEFEB FBFE 6.（2019重庆重庆 B 卷）卷）如图，在ABC 中，AB=AC,ADBC 于点 D （1） 若C=42，求BAD 的度数； （2） 若点 E
20、 在边 AB 上，EFAC 交 AD 的延长线于点 F 求证：AE=FE 解： （1） （方法一） ：AB=AC，C=42， B=C=42， BAC=180BC=1804242=96 ADBC BAD= 1 2BAC= 1 296=48 （方法二） ：AB=ACC=42 B=C=42 ADBC 于点 D ADB=90 BAD=1809042=48 （2）证明： EFAC CAF=F AB=AC，ADBC CAF=BAF F=BAF 11 / 11 AE=FE 7.（2019眉山）眉山）如图，在四边形 ABCD 中 ABDC，点 E 是 CD 的中点，AE=BE 求证：D=C 证明：证明：AE=
21、BE，EAB=EBA，DCAB，DEA=EAB，CEB=EBA，DEA= CEB，在，在EDA 和和CEB 中，中， DECE DEACEB AEBE = = = ，EDACEB（SAS） ，） ，D=C. 8.（2019无锡）无锡）如图，在ABC 中，AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC 上，BD=CE，BE、CD 相交于点 O； 求证： （1）DBCECB;（2）OB =OC. 证明： （1）AB=AC，ECB=DBC，在DBC 与ECB 中，BD = CE，DBC =ECB，BC = CB， DBCECB（SAS） ； (2)由(1)知DBCECB，DCB=EBC，OB=OC. O A CB E D