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1、2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟Advanced Assessment for Admission（AAA）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则ABC一定为( )A直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AMMP，则P点形成的轨迹的长度为_A. B. C. 3 D.3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点
2、做一个四面体，则所作四面体的体积为_A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 A .1 104 B. 1 105 C.1 106 D.1 1075已知，直线与的交点在直线上，则 。A.0 B.1. C-1 D.26设，则。A 1 B 2 C 3 D 47 已知，则 A 4/5 B 3/5 C1 D -4/58顶点在同一球面上的正四棱柱中，则两点间的球面距离为（ ） A B C D9. 在
3、平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/510. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则F1PQ内切圆面积的最大值是 A 2516 B 925 C 1625 D 916二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值二、已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角ABP（字母A，B，P
4、按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。三.（本小题满分25分）已知数列an中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的两个根.（1）求数列an的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+，求证：Tn（nN+）四、已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实
5、验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 （1）求随机变量的数学期望E； （2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟数学答案及详解1 解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。2 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 B
6、。3. B 4. 答：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为 注意到两式相除即得。5解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。6解： 。7 8 B9. 答：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为10. 答：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且F1PQ的周长是定值8，所以只需求出F1PQ面积的最大值。设直线
7、l方程为，与椭圆方程联立得，设，则，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。二、解答题一 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故注重分类讨论二、解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。于是有a5，b3。（2） 解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有因为，所以有。 (A1 )又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（A2），得 从而有 ，即（不合题意，舍去）或。 代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程解法二：
8、 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为。设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为，P点的参数表示为.从上面两式，得到。又由于B点在椭圆上，可得。此即为P点的轨迹方程。三.（I）解：方程的两个根为， （5分） （10分）() 证明：，所以， （15分）当时， （20分）同时，综上，当时， （25分）四、解：椭圆过定点A（1，0），则，。由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。联立方程 ，解得 。，。设抛物线方程为：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在内有根且单调递增， 综上得：。五、（1）由题意知的可能取值为0，2，4指的是实验成功2次，失败2次.指的是
9、实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.故随机变量的数学期望为.（2）由题意知：“不等式的解集是实数R”为事件A.当时，不等式化为10，其解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为，所以解集是R，说明事件A发生；当时，不等式化为其解集，说明事件A不发生. 我们精挑细选推荐“品牌家教”你来优中选优“名师辅导”品牌家教名称及办学特色联系电话及办学地点精锐教育对家教办学特色：6对1服务+心理辅导北京400-690-3425转10364杭州400-690-3425转19734上海400-690-3425转19707南京400-690-342
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