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1、同济版高数课件,第五章 定积分 第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题,同济版高数课件,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,同济版高数课件,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,同济版高数课件,曲边梯形如图所示，,同济版高数课件,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,同济版高数课件,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速
2、度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,同济版高数课件,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,同济版高数课件,二、定积分的定义,定义,同济版高数课件,记为,积分上限,积分下限,积分和,同济版高数课件,注意：,同济版高数课件,定理1,定理2,三、存在定理,同济版高数课件,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,同济版高数课件,几何意义：,同济版高数课件,例1 利用定义计算定积分,解,同济版高数课件,例2 利用定义计算定积分,解,同济版高数课件,证明,利用对数的性质得,同济版高数课件,极限运算与对数运算
3、换序得,同济版高数课件,故,同济版高数课件,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,同济版高数课件,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,同济版高数课件,思考题解答,原式,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，
4、矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时，
5、 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,同济版高数课件,第二节 定积分的性质、中值定理 一、基本内容 二、小结 思考题,同济版高数课件,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,同济版高数课件,证,（此
6、性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,同济版高数课件,证,性质2,同济版高数课件,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,同济版高数课件,证,性质4,性质5,同济版高数课件,解,令,于是,同济版高数课件,性质5的推论：,证,（1）,同济版高数课件,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,同济版高数课件,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,同济版高数课件,解,同济版高数课件,解,同济版高数课件,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,同济版高数课件,使,即,积分中值
7、公式的几何解释：,同济版高数课件,解,由积分中值定理知有,使,同济版高数课件,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,同济版高数课件,思考题,同济版高数课件,思考题解答,例,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,同济版高数课件,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,同济版高数课件,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,同济版高数课件,证,性质2,同济版高数课件,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立
8、.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,同济版高数课件,证,性质4,性质5,同济版高数课件,解,令,于是,同济版高数课件,性质5的推论：,证,（1）,同济版高数课件,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,同济版高数课件,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,同济版高数课件,解,同济版高数课件,解,同济版高数课件,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,同济版高数课件,使,即,积分中值公式的几何解释：,同济版高数课件,解,由积分中值定理知有,使,同济版高数课件,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典
9、型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,同济版高数课件,思考题,同济版高数课件,思考题解答,例,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,第三节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿莱布尼茨公式发 四、小结 思考题,同济版高数课件,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,同济版高数课件,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,同济版高数课件,积分上限函数的性质,证,同济版高数课件,由积分中值定理得,同济版高数课件,补充,证,同济版
10、高数课件,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,同济版高数课件,证,同济版高数课件,证,令,同济版高数课件,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,同济版高数课件,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,同济版高数课件,令,令,牛顿莱布尼茨公式,同济版高数课件,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,同济版高数课件,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,同济版高数课件,例6 求,解,由图形可知,同济版高数课件,例7 求,解,解 面积,同
11、济版高数课件,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,同济版高数课件,思考题,同济版高数课件,思考题解答,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,第四节 定积分的换元积分法 一、换元公式 二、小结 思考题,同济版高数课件,定理,一、换元公式,同济版高数课件,证,同济版高数课件,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,同济版高数课件,例1 计算,解,令,同济版高数课件,例2 计算,解,同济版高数课件,例3 计算,解,原式,同济版高数课件,例4 计算,解,令,原式,同济版高数课件,证,同
12、济版高数课件,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,同济版高数课件,证,（1）设,同济版高数课件,（2）设,同济版高数课件,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,同济版高数课件,思考题,解,令,同济版高数课件,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,第五节 定积分的分部积分公式 一、分部积分公式 二、小结 思考题,同济版高数课件,推导,一、分部积分公式,同济版高数课件,例1 计算,解,令,则,同济版高数课件,例2 计算,解,同济版高数课件,例3 计算,解,同济版高数课件,例4 设
13、求,解,同济版高数课件,例5 证明定积分公式,证,设,同济版高数课件,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,同济版高数课件,于是,同济版高数课件,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,同济版高数课件,思考题,同济版高数课件,思考题解答,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,同济版高数课件,第七节 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 思考题,同济版高数课件,一、无穷限的广义积分,同济版高数课件,例1 计算广义积分,解,同济版高数课件,例2 计算广义积分,解,同济版高数课件,证,同济版高数课件,证,同济版高数课件,二、无界函数的广义积分,同济版高数课件,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,同济版高数课件,例5 计算广义积分,解,同济版高数课件,证,同济版高数课件,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,同济版高数课件,例8 计算广义积分,解,瑕点,同济版高数课件,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,同济版高数课件,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,同济版高数课件,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,同济版高数课件,练 习 题,同济版高数课件,练习题答案,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,