《2017-2018学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三(上)期中数学试卷与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三(上)期中数学试卷与解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、百度文库 2017201820172018 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上） 期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1 （4 分）已知 i 是虚数单位，则| AB CD |=（） 2 （4 分）已知集合x|mx22x+1=0=n，则 m+n=（） A0 或 1BC2D或 2 3 （4 分）函数 f（x）=|sin2x|的最小正周期是（） A2BCD 4 （4 分）已知数列an是等差数列，则数列bn一定为等差数列的是（） Abn=|an| B
2、bn=Cbn=anDbn=a 5 （4 分）下列函数有唯一零点的是（） Af（x）=sin2xx2Bf（x）=sinxxCf（x）=sinxx2Df（x）=sin2xx 6 （4 分）在函数 f（x）=（xa）2lnx，aR，若 x=e 为 y=f（x）的极小值点， 则实数 a 的值为（） AeB3eCe 或 3e D无解 1（nN*） ，则“1a12”是“an是递7 （4 分）正项数列an满足 an+ 1=an+ 增数列”的（） A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 有两个零点 x1，x2，且 3x1x25，那么
3、 f （3） ，f（5） （） A只有一个小于 1 B都小于 1 C都大于 1D至少有一个小于 1 第 1 1 页（共 1717 页） 9 （4 分）已知 a，b 为正实数，若直线 y=xa 与曲线 y=ln（x+b）相切，则 的取值范围为（） A （0，）B （0，1） C （0，+）D1，+） ，|，=+（1）（010 （4 分）ABC 中，已知C= 1） ，则| A| |取最小值时有（） | B| | | C | | | D| 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分）分）
4、 11 （6 分）已知 a0 且 a1，loga2=x，则 ax=，a2x+a 2x= 12 （6 分）在ABC 中，已知 AB=3，BC= ABC 的面积为，= ，AC=2，且 O 是ABC 的外心，则 13 （6 分）已知角 始边在 x 轴非负半轴，终边经过直线 y=x与圆 x2+y2=1 的交点，则 cossin=，= 14 （6 分）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，且 S5S6= 15，则 d 的取值范围是，若 a1=7，则 d 的值为 15 （4 分）等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，BD=1，则ABC 面积 的最大值为 16
5、（4 分）若函数 f（x）=（x22x+3） （x2+ax+b）关于直线 x=2 对称，则 f （x）的值域为 17 （4 分）若存在实数 a，对任意的 x0，t（tZ） ，不等式 x|xa|x+4 恒成立，则整数 t 的最大值为 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分）分） 18 （14 分）已知 0，函数 f（x）= （1）若 =，求 f（x）的单调递增区间； cos（2x+）+sin2x 第 2 2 页（共 1717 页） （2）若 f（x）的最大值是，求 的值 19 （15 分）已知函数 f（x）=aln（x+2） （aR） （1）若 f（x）
6、在定义域内存在极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a=，求 f（x）在区间0，4上的最小值 20 （15 分）已知向量 =（2cos，2sin） ， =（cos，sin） ，其中0， 设= + ，= 2 （O 为坐标原点） ，以OA，OB 为邻边所作的平行四边形为 菱形 （1）求 cos（）的值； （2）若 a=0，单位向量 =x +y （x，yR） ，求 x+y 的最大值 21 （15 分）已知函数 f（x）=x3+x2+ax+b（a，b 为常数） （1）设 a=2，若 y=f（x）有两个零点，求 b 的值； （2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得
7、 f（x0）=x0 与 f（x0）=0 同时成立，求实数 b 的取值范围 22 （15 分）已知函数 f（x）=x2+x，x1，+） ，an=f（an 1） （n2，nN） （1）求证： （x+）2f（x）2x2； （2）设数列a 明：2 的前 n 项和为 An，数列 3 的前 n 项和为 Bn，a1=，证 第 3 3 页（共 1717 页） 2017201820172018 学年浙江省杭州地区学年浙江省杭州地区（含周边）（含周边）重点中学高三重点中学高三 （上）期中数学试卷（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小
8、题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1 （4 分）已知 i 是虚数单位，则| AB CD |= |=（） 【解答】解：| 故选：A = 2 （4 分）已知集合x|mx22x+1=0=n，则 m+n=（） A0 或 1BC2D或 2 【解答】解：集合x|mx22x+1=0=n， 或， 解得或， m+n=或 m+n=2 故选：D 3 （4 分）函数 f（x）=|sin2x|的最小正周期是（） A2BCD 【解答】解：函数 f（x）=|sin2x|=|12sin2x|=|cos2x|， 故它的最小正周期为=， 第 4 4 页（共 1717 页） 故选：C 4 （4 分）已知数列an是等差数
9、列，则数列bn一定为等差数列的是（） Abn=|an| Bbn=Cbn=anDbn=a 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，bn=|an|，若 an=2n+3，|an|不是等差数列，不符合题意； 对于 B，bn=，若 an=2n，则不是等差数列，不符合题意； 对于 C，bn=an，bnbn 1=an+an1=（anan1） ，为常数，是等差数列，符 合题意； 对于 D，bn= 故选：C 5 （4 分）下列函数有唯一零点的是（） Af（x）=sin2xx2Bf（x）=sinxxCf（x）=sinxx2Df（x）=sin2xx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，f（x）=
10、sin2xx2，f（0）=sin00=0，即函数有1 个零点 0，又由f（ =10 且 f（）=00，则函数在（， ） ，当 an=n 时，bn=n2，不是等差数列，不符合题意； ）还有一个零点，不 符合题意； 对于 B，f（x）=sinxx，f（0）=sin00=0，即函数有 1 个零点 0，又由其导数 为 f（x）=cosx10，则函数 f（x）为减函数，则函数有有唯一零点 0，符合 题意； 对于 C，f（x）=sinxx2，f（0）=sin00=0，即函数有 1 个零点 0，又由 f（ =sin（）2=0，f（）=10，则函数在（， ） ）还 有一个零点，不符合题意； 对于 D，f（x）
11、=sin2xx，f（0）=sin00=0，即函数有1 个零点 0，又由f（ =10 且 f（）=00，则函数在（， ） ）还有一个零点，不符 合题意； 第 5 5 页（共 1717 页） 故选：B 6 （4 分）在函数 f（x）=（xa）2lnx，aR，若 x=e 为 y=f（x）的极小值点， 则实数 a 的值为（） AeB3eCe 或 3e D无解 【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，f（x）=2（xa）lnx+ 令 f（x）=0，则（xa） （2lnx+1）=0， 因为 x=e 是 f（x）的极值点，所以 f（e）=0，解得 a=e 或 a=3e 经检验 a=e 时，函数在（0，e）上
12、，f（x）0，单调减，在（e，+）上，f （x）0，单调增 x=e 是函数 f（x）=（xa）2lnx（aR）的一个极小值点 所以 a=e 故选：A 7 （4 分）正项数列an满足 an +1=an+ 增数列”的（） A充要条件B充分不必要条件 1（nN*） ，则“1a12”是“an是递 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：“an是递增数列”an +1an， 正项数列an满足 an +1=an+ 1（nN*） ， 10，解得 1an2，“1a12” 令 f（x）=x+1，x（1，2） f（x）=1 可得 x= =， =21（1，2） 时，f（x）取得极小值， f（1）=f（2
13、）=2 1a12，an（1，2） 1a12 是“an是递增数列”的充要条件 第 6 6 页（共 1717 页） 8 （4 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 有两个零点 x1，x2，且 3x1x25，那么 f （3） ，f（5） （） A只有一个小于 1 B都小于 1 C都大于 1D至少有一个小于 1 【解答】解：由题意可得函数 f（x）=（xx1） （xx2） ， f（3）=（3x1） （3x2）=（x13） （x23） ，f（5）=（5x1） （5x2） ， f（3）f（5）=（x13） （x23） （5x1） （5x2）=（x13） （5x1）（x2 3） （5x2）（ 即 f（3）f
14、（5）1 故 f（3） ，f（5）两个函数值中至少有一个小于 1， 故选：D 9 （4 分）已知 a，b 为正实数，若直线 y=xa 与曲线 y=ln（x+b）相切，则 的取值范围为（） A （0，）B （0，1） C （0，+）D1，+） =1，x=1b，切点为（1b，0） ， ）2（）2=11=1， 【解答】解：函数的导数为 y= 代入 y=xa，得 a+b=1， a、b 为正实数，a（0，1） ， 则=， ，则 g（a）=0，令 g（a）= 则函数 g（a）为增函数， （0，） 故选：A 10 （4 分）ABC 中，已知C= 1） ，则| ，|，=+（1）（0 |取最小值时有（） 第 7
15、 7 页（共 1717 页） A| B| | | C | | | D| 【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示， 根据题意，|， 不妨设 A（2，0） ，B（0，3） ，C（0，0） ； 又 =+（1）（01） ， =（，3（1） ） ， =2+9（1）2=10218+9， 时，| |= |取得最小值为 =， ；且当 = 此时| | | |= | =； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分）分） 11 （6 分）已知 a0 且 a1，loga2=x，则
16、ax=2，a2x+a 2x= 【解答】解：由 loga2=x， 得 ax=2； 第 8 8 页（共 1717 页） 则 a2x+a 2x= 故答案为：2， 12 （6 分）在ABC 中，已知 AB=3，BC= ABC 的面积为， ，AC=2，且 O 是ABC 的外心，则 =1 【解答】解：设外接圆半径为 R， 由 AB=3，BC= sinBAC= ，AC=2，得 cosBAC= ，则 ， ； ，同理可得 cosOBC=在AOB 中，由 OA=OB=R，AB=3，可得 cosOBA= = = ，1 = = ， ， 故答案为： 13 （6 分）已知角 始边在 x 轴非负半轴，终边经过直线 y=x与
17、圆 x2+y2=1 的交点，则 cossin=，= 【解答】 解： 已知角 始边在 x 轴非负半轴， 终边经过直线 y=x与圆 x2+y2=1 的交点（，） ， （，） ， cos=，sin=，或 cos=，sin= 则 cossin= 第 9 9 页（共 1717 页） 由以上可得，tan=，或 tan= ， 当 tan=时，sin2=，=， 当 tan=时，sin2=，=， 故答案为：； 14 （6 分）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，且 S5S6= 15，则 d 的取值范围是 值为3 或 =15，化为： ，若 a1=7，则 d 的 【解答】解：S5S6=1
18、5， +9da1+10d2+1=0， 则=81d28（10d2+1）0，化为：d28，解得 d2 则 d 的取值范围是 或 d2 若 a1=7，则 10d263d+99=0，解得 d=3 或 故答案为：，3 或 15 （4 分）等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，BD=1，则ABC 面积 的最大值为 【解答】解：等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，BD=1， 则：= 则： 故最大值为： =， 第 1010 页（共 1717 页） 故答案为： 16 （4 分）若函数 f（x）=（x22x+3） （x2+ax+b）关于直线 x=2 对称，则 f （x）的
19、值域为（，16 【解答】解：由题意，函数 f（x）=（x22x+3） （x2+ax+b） 可得：f（1）=0，f（3）=0，图象关于 x=2 对称， 从而可知：f（1）=0，f（5）=0， 即有：x2+ax+b=（x+1） （x+5） ， 解得：a=6，b=5 那么：f（x）=（1x） （1+x） （x+3） （x+5） =3（x+2）3+（x+2）（x+2）1（x+2）+1 =9（x+2）2（x+2）21， =16（x+2）25216， 则 f（x）的值域为（，16 17 （4 分）若存在实数 a，对任意的 x0，t（tZ） ，不等式 x|xa|x+4 恒成立，则整数 t 的最大值为6 【解
20、答】解：对任意的 x0，t（tZ） ，不等式 x|xa|x+4 恒成立， 当 x=0 时，04，即不等式 x|xa|x+4 恒成立恒成立， 当 x（0，t，不等式 x|xa|x+4 恒成立|ax| 1ax1+， x1ax+1+， x0，t， 设 f（x）=x1，易知函数 f（x）在0，t为增函数， f（x）max=t1， 设 g（x）=x+1+， g（x）=1=， 第 1111 页（共 1717 页） =1+， 当 0t2 时，函数 f（x）在0，t为减函数， g（x）min=t+1+ ， 故 x1ax+1+恒成立， 当 t2 时，函数 f（x）在0，2为减函数，在（2，t为增函数， g（x）
21、min=g（2）=2+1+2=5， t1 5， t6， y=t为增函数，且 tZ， 当 t=6 时，不等式 t6 恒成立， 综上所述 t 的最大值为 6， 故答案为：6 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分）分） 18 （14 分）已知 0，函数 f（x）= （1）若 =，求 f（x）的单调递增区间； cos（2x+）+sin2x （2）若 f（x）的最大值是，求 的值 【解答】解： （1）由 =，函数 f（x）=cos（2x+ ） ）+sin2x 化简可得：f（x）=cos2x 由 2k+2x+ 得： 2k+2， sin2x+=cos（2x+ x
22、f（x）的单调递增区间为 （2）函数 f（x）= 化简可得：f（x）=（ 则（ ，kZ cos（2x+）+sin2x cos）cos2x sin）2=1， sinsin2x+的最大值为， cos）2+（ 展开可得 cos=0， 第 1212 页（共 1717 页） 0， 即 = 19 （15 分）已知函数 f（x）=aln（x+2） （aR） （1）若 f（x）在定义域内存在极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a=，求 f（x）在区间0，4上的最小值 【解答】解： （1）， 由题意得：f（x）=0 在（1，+）上有非重根 a= =， 实数 a 的取值范围是： （1，+） ； （2） =
23、 在区间0，4上， 当 当 0 时，即 0a3 时，f（x）0， 0 时，即 3a4 时，f（x）0， = f（x）在区间0，3上递减，区间3，4上递增， 20 （15 分）已知向量 =（2cos，2sin） ， =（cos，sin） ，其中0， 设= + ，= 2 （O 为坐标原点） ，以OA，OB 为邻边所作的平行四边形为 菱形 （1）求 cos（）的值； （2）若 a=0，单位向量 =x +y （x，yR） ，求 x+y 的最大值 【解答】解： （1）由题意可得：， 即（2cos+cos）2+（2sin+sin）2=（2cos2cos）2+（2sin2sin）2， 第 1313 页（共
24、1717 页） 整理得：12cos（）=3，即 cos（）=； （2）=0， =x +y = ， ， ， 设，则，得， x+y= =（+） 21 （15 分）已知函数 f（x）=x3+x2+ax+b（a，b 为常数） （1）设 a=2，若 y=f（x）有两个零点，求 b 的值； （2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x0）=x0 与 f（x0）=0 同时成立，求实数 b 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）=3x2+5x2， 令 f（x）=0，解得 x=或 x=2， 当 x2 或 x时，f（x）0，函数单调递增， 当2x时，f（x）0，函数单调递减
25、， f（x） 极大值=f（2）=b+6， f（x） 极小值=f（ ）=b y=f（x）有两个零点， b+60，或 b b=6 或 b=， =0 ， （2）函数 f（x）的导函数为由于存在唯一的实数 x0，使得 f（x0）=x0与 f（x0） =0 同时成立， 则， 第 1414 页（共 1717 页） 即 x3+x2+（3x25x1）x+b=0 存在唯一的实数根 x0， 故 b=2x3+ x2+x 存在唯一的实数根 x0， 令 y=2x3+x2+x，则 y=6x 2+5x+1=（2x+1） （3x+1）=0，故 x= 或 x=， 则函数 y=2x3+x2+x 在（， ） ， （，+）上是增函数
26、，在（ ， ）上是减函数， 由于 x=时，y=；x=时，y= 故实数 b 的取值范围为： （， 22 （15 分）已知函数 f（x）=x2+x，x1，+） ，an=f（an 1） （n2，nN） （1）求证： （x+）2f（x）2x2； （2）设数列a 明：2 的前 n 项和为 An，数列 3 的前 n 项和为 Bn，a1=，证 ； ）（，+） 【解答】证明： （1）已知函数 f（x）=x2+x，x1，+） ， 则：f（x） 所以： = ， f（x）2x2=x2+x2x2=xx2=x（1x）0（x1） ， 则：f（x）2x2 即： （x+）2f（x）2x2； （2）由于 an=f（an 1）=
27、 则： 累加得： = =an 1（an1+1） ， 整理得：=， ， （n2，nN） 第 1515 页（共 1717 页） 则： 累加得： = + + ， ， 所以：=， 由（1）得： 所以： 所以： 则： ， ， ， ， 所以： 而 所以： ， ， 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百百 度度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百
28、度百度度百百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百 度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百百 度度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百
29、度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度百度 度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度度百百度百度百度百度
30、百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 第 1616 页（共 1717 页） 百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度 百 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度 百度百度百度百度百度
31、百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度 百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百
32、度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度 度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度百度 度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百
33、度百度百度百 度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度百度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百 度度百百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度 百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度 百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度百度度百百度百度百度百度百度百度百度 第 1717 页（共 1717 页）