常时滞细胞神经网络稳定性分析.pdf

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1、文章编号: 1002- 8743( 2010) 01- 0026- 07 常时滞细胞神经网络稳定性分析 ? 丁明智1, 虞继敏2, 3 ( 1? 广西师范学院 数学科学学院, 广西 南宁 530023; 2? 重庆邮电大学 数理学院, 重庆 400065; 3? 教育部直属神经网络控制和智能仪器重点实验室( 重庆邮电大学) , 重庆 400065) 摘? 要: 该文研究了一类常时滞细胞神经网络的稳定性. 构造 Lyapunov- Krasovskii 函数和线性矩阵不等式 (LMI) 对此类问题进行了探讨, 并得出稳定性判据. 所得判据提供了一些参数来适当地弥补了反馈矩阵与时滞反 馈矩阵之间的

2、平衡关系. 而且所得的判据与时滞无关, 推广了以前文献中出现的结果且具有更少的限制. 数值仿真 说明了该文所介绍的方法的有效性. 关键词: 时滞细胞神经网络; 线性矩阵不等式( LM I); Lyapunov- Krasovskii函数 中图分类号: O231?2? ? 文献标识码: A 1 ? 引 ? 言 在最近二十多年, 神经网络理论和应用得到充分的发展 1 25. 为了处理最优化、 模式识别、 信号 处理等问题, 人们把神经网络不得不设计成有且只有一个平衡点, 并且平衡点是全局渐近稳定 的12 22. 在信息的传递和存储中, 神经网络不可避免地出现时滞现象. 时滞存在可能影响整个网络系

3、统的稳定性而产生振荡和不稳定现象. 因而时滞神经网络平衡点的存在性和唯一性及全局渐近稳定性, 受到许多专家学者的密切关注. 如, 文献 13 指出带有时滞的神经元对神经网络的动力学特性有很重要 的影响. 文献 8 研究了有界时滞激活函数非单调的神经网络的全局渐近稳定性并得出了稳定性的几个 判据. 文献 9 研究了细胞神经网络的全局稳定性, 提出了几个使细胞神经网络在平衡点稳定的, 与时滞 无关的充分条件. 文献 10 用 Lyapunov- Krasovskii 泛函和线性矩阵不等式方法来研究了细胞神经网 络的指数稳定性及其收敛率. 然而, 我们注意到尽管在上面的文献中获得有益的结果, 并在实

4、际中方便进行检验, 但上面的结果 存在过度的限制与保守. 本文研究了时滞神经网络的平衡点唯一性与时滞无关的稳定性问题, 利用 Lyapunov- Krasovskii 稳定性理论和线性矩阵不等式( LMI) 方法, 获得了一些时滞神经网络的平衡点全 局渐近稳定性的充分条件, 比以前文献 7 、 9 、 21 、 22 、 23 的结果更宽松, 特别是文中的稳定性判 据包括了前述文献的一些相关结果. 而且, 稳定性判据都是以线性矩阵不等式的形式给出. 最后, 数值算 例验证了本文结果的有效性. 文中记号说明: 上标 T 表示矩阵的转置; A - 1表示矩阵 A 的逆矩阵; ? m( A ) (

5、?M( A ) )表示方阵 A 特征值的最小值(最大值);A 2=?M( A T A ) ; R 表示实数集合; 把对角矩阵表示为 diag( ?) ; 记号 P 0( P 0 为传输时滞. 在本文, 假定激活函数 为 gi( xi( t) = 0. 5xi( t) + 1 -xi( t) - 1.(2?3) 由条件(2. 3), 可以知系统(2. 1)或( 2. 2) 存在一个平衡点 y * = ( y * 1, y * 2, !, y * n) T. 为了简化证明, 在以 下的分析中, 通过变换 x( t)= y( t)- y * , 将系统(2. 1)转化为如下的模型: ?xi( t)

6、= - cixi( t) + n j = 1 aijfj( xj( t) + n j= 1 bijfj( xj( t -), i = 1, 2, !, n,(2?4) 或等价的系统模型 ?x ( t ) = - Cx ( t) + Af ( x ( t ) + Bf ( x ( t -),(2?5) 其中 x ( t)= x1( t), x2( t ), !, xn( t) T 是新的状态向量, f ( x ( t) )= f1( x1( t), f2( x2( t ), !, fn ( xn( t) T 是新的激活函数. 并且有 f 2 i( xi( t ) #xi( t) fi( xi(

7、t ), ?x R, f (0) = 0.(2?6) ? ? 由上面的分析, 通过变换 x ( t)= y( t)- y * , 将系统( 2?1) 的平衡点 y * 平移到零点. 于是, 下面的研 究就把系统(2. 1) 的平衡点 y * 的全局渐近稳定性问题, 转化为系统(2. 4) 的关于零点的全局渐近稳定 性问题. 3 ? 主要结果 在这部分, 我们研究系统( 2. 5) 平衡点的唯一性和全局渐近稳定性问题. 根据 Lyapunov 稳定性理论 和线性矩阵不等式( LMI)技巧, 我们获得系统(2. 5) 在原点全局渐近稳定的充分条件, 并能够有效利用 内点法进行求解. 下面是本文所用

8、的引理. 引理 1( Shur complement) ? 对于对称矩阵 W = W11W12 W21W22 , 其中, W11 Rm m, 以下三个条件是等价的: (i)W 0, (ii)W11 0, W22- W T 12W - 1 11W12 0, (iii)W22 0, W11- W12W- 122W T 12 0, 可逆矩阵 G, 正数 ? 0, 使得下面的不等式成立: = - 2PC+ PA + A T P+ ? B T G T GB+ ? - 1PG- 1( G- 1)TP 0, (3?1) 那么零点是系统(2. 5)唯一的平衡点, 且是全局渐近稳定的. 证明 ? 引理的证明分两

9、步进行. 首先, 利用反证法证明平衡点的唯一性; 其次, 证明其全局渐近稳定 第 1 期? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 丁明智, 等: 常时滞细胞神经网络稳定性分析?27? ? ? 性. 先证唯一性. 考虑(2?5)式的平衡态方程 - Cx * + Af ( x * ) + Bf ( x * ) = 0,(3?2) 其中, x * 是平衡点. 假设 f ( x * ) %0, 由( 3. 2) 式得 - 2f T( x* ) PCx * + 2f T( x* ) PAf ( x * )+ 2f T( x* ) PBf ( x * )- ? - 1fT( x* ) PG - 1(

10、 G- 1)T Pf ( x * )+ ? - 1fT( x* ) PG - 1( G- 1)T Pf ( x * )= 0.(3?3) 由条件(2?6)得 - 2f T( x* ) PCx * # - 2f T( x* ) PCf ( x * ),(3?4) ? ? - ? - 1fT( x* )PG - 1( G- 1)TPf ( x* )+ 2f T( x* )PBf ( x * )= -? - 1/ 2( G- 1)T Pf ( x * ) - ? 1/ 2GBf ( x* ) T ? - 1/2( G- 1)TPf ( x* )- ? 1/2 GBf ( x * ) + ? f T(

11、 x* )B T G T GBf ( x * ) # ? f T ( x * ) BTG T GBf ( x * ).(3?5) 把(3?4)、 (3?5) 代入(3?3)得 0# - 2f T( x* )PCf ( x * ) + 2f T( x* ) PAf ( x * ) + ? - 1fT( x* ) PG - 1( G- 1)T Pf ( x * )+ ? f T( x* )B T G T GBf ( x * )= f T( x* ) - 2PC+ PA + A TP+ ? BT GTGB+ ? - 1PG- 1( G- 1)TP f ( x* )= f T( x* ) f ( x

12、* ).(3?6) 又由于(3?1)式是负定的, 我们可以得出如下的不等式: f T( x* )- 2PC+ PA + A TP+ ? BT G T GB+ ? - 1PG- 1( G- 1)TP f ( x* ) 0, 即 f T( x* ) f ( x * ) 0.(3?7) ? ? (3. 6)式与(3. 7)式矛盾, 这表明了 f ( x * ) %0, x * 不是系统(2. 5) 的平衡点, 也就是 x * = 0 是系统 (2. 5)的唯一的平衡点. 从而唯一性得证. 再证稳定性. 构造如下正定的 Lyapunov Krasovskii 范函: V( x ( t ) = x T(

13、 t) Px ( t ) + ? 另一方面, 选择合适的参数可以得到许多优美的结果. 在(3. 10)式左边乘以 P - 1右边乘以( P- 1)T: P - 1(- 2PC+ PA + ATP+ ? BT QB+ ? - 1PQ- 1P)( P- 1)T 0, - 2P- 1C+ AP - 1+ P- 1AT+ ? P- 1BT QBP - 1+ ?- 1Q- 1 0, D= Q- 1有 - 2WC + A W + WA T + WBTD- 1BW + D 0, 正定矩阵 D 0, 使得下面的不等式成立: 2PC - ( D + PA + A TP + PBT D- 1BP) 0, 若令 C

14、= I, 则系统(2. 5)变为 ?x ( t) = - x( t) + Af ( x ( t) ) + Bf ( x ( t -).( 3?11) ? ? 由推论 1, 若令 C= I , D= I, 则有 - 2P + I + PA + A T P + PBTBP 0, - 2P - K + K + I + PA + A T P + PB T BP 0. ? ? 若 PA + A TP+ K 0, 正数 ? 0, 使得下面的不等式成立: = - 2PC + PA + A TP + ? BTPB + ?- 1P 0, 正数 ? 0, 使得下面的不等式成立: = - 2PC + PA + A

15、TP + ? BT B + ? - 1P2 0, 正数 ? 0, 使得下面的不等式成立: = - 2P + PA + A TP + ? BTB + ?- 1P2 0, 那么零点是系统(3. 11)唯一的平衡点, 且是全局渐近稳定的. 由推论 5, 若令 P= I, ?= 1, 则有 = A + A T + ? B T B - I 0,( 3?12) 若 A + A T 0, B 2# 1成立, 那么(3. 12)成立, 于是得文献 7 的结果: 推论 6? 如果 A + A T 0, B2# 1 成立, 那么系统( 3. 11) 的平衡点唯一, 且是全局渐近稳定的. 由推论 5, 若令 P=

16、? I , 则有 = ?( A + A T + B T B - I ) =?( A + A T + ? I - ? I + B T B - I) 0.( 3?13) 第 1 期? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 丁明智, 等: 常时滞细胞神经网络稳定性分析?29? ? ? 若 A + A T+ ? I 0, 使得 A + A T+ ? I 0, B 2#1+ ?成立, 那么零点是系统(3. 11)唯 一的平衡点, 且是全局渐近稳定的. 由推论 5, 若令 P= ?2I, 则有 = ? 2( A + AT + ? - 1BT B - 2I + ? I) 0,( 3?14) 若 A +

17、 A T+ ? I 0, 使得 A + A T+ ? I 0, 显然文献 7 、 9 、 21 、 25 的判据均失效, 无法判定系统 (3?11)是否在平衡点是全局渐近稳定的. 而用我们的定理, 可以判定. 取 ?= 0. 5, Q= I , P= I, 则有 = - 2PC+ PA + A T P+ ? B T QB+ ? 1PQ- 1P= - 0. 781 3- 0. 500 0 - 0. 500 0- 0. 781 3 0. 根据定理 1 知, 系统(4?1)在平衡点是全局渐近稳定的. 取= 0. 3, 用 Matlab 作出系统的解轨线图象, 如下图所示: ? ? 由此可见, 我们提

18、供的方法的确扩展和改善了文献 7 、 9 、 21 、 25 的结果. ?30? ? ? ? ? ? ? ? ? 广 西 师 范 学 院 学 报: 自 然 科 学 版? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 27 卷 5 ? 结 ? 论 本文研究了一类时滞神经网络平衡点的唯一性和全局稳定性质, 使用 Lyapunov- krasovskii 稳定性 定理和线性矩阵不等式( LMI) 方法, 得出一个时滞无关的全局渐近稳定性判据. 这个判据的条件提供了 一些参数来适当地弥补了反馈矩阵和时滞反馈矩阵之间所需要的平衡关系, 并且用此判据可以很方便 地设计和检验全局稳定的网络. 我们的结果扩

19、展和改善了以前一些文献的结果, 条件更为宽松, 限制更 少. 数值仿真的结果验证了所得定理的有效性. 参考文献: 1 ? KOSKO B. Adaptive Bi directional associative memoriesJ. Applied Optics, 1989, 26: 4947 4960. 2 ? KOSKO B. Unsupervised learning in noiseJ. IEEE transaction on neural networks, 1990, NN 1: 44 57. 3 ? KOSKO B. Neural Networks and Fuzzy Syste

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32、University, Nanning 530023, China; 2. College of Mathematics and Physics, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 3. Key Laboratory of Network Control and Intelligent Instrument ( Chongqing University of Posts and T elecommunications) , Ministry of Education, C

33、hongqing 400065, China) Abstract: T his paper deals with the problem of stabilization for a class of cellular Neural Networks with constant time delay. A new stability criterion is derived by utilizing the Lyapunove Krasovskii func tional method and the matrix inequality approach. The condition prov

34、ides some parameters to appropriately compensate for the tradeoff between the matrix definite condition on feedback matrix and delayed feedback matrix. T his criterion is less restrictive, and generalizes some of the previous stability results derived in the literature. Numerical simulation result illutrates the effectiveness of the method proposed in this paper. Key words: delayed cellular neural network; linear matrix inequality ( LMI) ; Lyapunov Krasovskii functional 责任编辑: 班秀和 ?32? ? ? ? ? ? ? ? ? 广 西 师 范 学 院 学 报: 自 然 科 学 版? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 27 卷