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1、不等式的证明(二) 【知识点精讲】1. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略3. 放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1，B1B2，BiA，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。 4. 构造法：构造二次方程用“”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。【例题选讲】例1求
2、证 练习1：若 (nN*).求证：证明：练习2：若 (nN*).求证：证明：n2时，由（）知故综上，原不等式成立3求证：453.放缩法：4放缩法：55.放缩法：左边6.若a, b, c, dR+，求证：6.证明：（用放缩法）记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 即原式成立例2.已知 (nN*).证明:证明：例3 已知，且求证： （提示： ）例4 设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证明：（用反证法）
3、设a 0, bc 0, 则b + c -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0同理可证 b 0, c 0例3、已知，求证：中至少有一个不小于。【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设都小于，则，而 ，相互矛盾中至少有一个不小于。思维点拔 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。例4、（1）设，且，求
4、证： ；【证明】 （1）设则 ，=。（2）设，且，求证：（2）设， 。于是。思维点拔（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为或或等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例5、.已知，求证：都属于。【证明】由已知得：，代入中得：，0，即解得，即y 。同理可证x ，z 。变式：设，且，求证：因为，而所以，所以a，b为方程 （1）的二实根而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，则解得。4若a b c, 则放缩法：思维点拔 在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于
5、某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】3. 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4. 换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略3. 放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1，B1B2，BiA，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。 4. 构造法：构造二次方程用“”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。用心 爱心 专心